Mag 10

21. Voi e le derivate (prima parte) ***

In questo articolo io farò ben poco (era ora). Ricordate le derivate della somma (differenza), del prodotto e del rapporto di funzione? Bene, è ora di applicarle e ...tocca a voi!

Prima di inserire delle vere e proprie funzioni all’interno delle derivate da calcolare, vorrei che provaste a fare qualche esercizio non proprio semplice. Vi permetterà di capire se avete preso dimestichezza con le operazioni… Poi passeremo  a vere funzioni.

Cominciamo con le cose più facili.

Derivate le seguenti funzioni

(1)     y = f(x) + g(x) + z(x)

(2)     y = f(x) + g(x) – z(x)

Tutto banale? Benissimo andiamo avanti e cercate di ragionare con calma…

(3)           y = f(x) g(x) z(x)

(4)           y = f(x)g(x)/z(x)

Dovete “soltanto” trovare la formula finale… ricordando le derivate del prodotto e del rapporto di funzioni. Non c’è assolutamente bisogno di scrivere i rapporti incrementali, ma solo di applicare le regole imparate nel capitolo 19.

Lascerò a tutti il tempo di rispondere (senza andare a cercare in giro per il web, ovviamente). Non aspettatevi, perciò, cenni di assenso o qualsiasi tipo di commento.  Ce la potete fare benissimo da soli e le derivate cominceranno a essere amiche di famiglia…

Funzioni di funzioni di funzioni di ….

Per non terminare troppo in fretta l’articolo, fatemi introdurre un altro tipo di funzione, quella composta, ossia una funzione di un’altra funzione. Qualcosa del tipo:

y = f(g(x))

Prendo la x eseguo su di lei l’operazione indicata da g, trovando una g(x). Poi, su questa funzione  eseguo l’operazione f in modo da ottenere f(g(x)). Volete un paio di esempi?  Eccoli:

(5)     y = sin(x2)

(6)     y= ln(sin(x))

La prima vuol dire: prendi una x, elevala al quadrato (funzione g) e poi calcola il suo seno (funzione f). La seconda significa: prendi una x e calcola il suo seno. In tal modo hai ottenuto la g(x). A questo risultato devi applicare l’operazione di logaritmo naturale. Fin qui tutto facile.

Bene, quanto vale la derivata di una funzione composta? E’ la regola della “cipolla”. Basta moltiplicare le derivate delle funzioni partendo da quella più esterna e andando verso l’interno, ossia:

y’ = f ’(g(x)) g’(x)

In altre parole, si deriva la prima funzione, lasciando inalterato il suo argomento. Poi si deriva la seconda e via dicendo (se ci fossero molte funzioni una dentro l’altra).

Si potrebbe anche dimostrare (ma è un po’ complicato). Accettatela per buona e provate a eseguire le derivate delle funzioni composte (5) e (6)

Non prendetela come un di più… le funzioni di funzioni saranno la norma tra le derivate…

 

QUI il capitolo precedente

QUI il capitolo successivo

QUI l'intero corso di matematica

8 commenti

  1. beppe

    (1)     y = f(x) + g(x) + z(x)
             y' = f'(x) + g'(x) + z'(x)

     (2)     y = f(x) + g(x) – z(x) 
               y' = f'(x) + g'(x) – z'(x) 

     (3)       y = f(x) g(x) z(x)
                 y' = f'(x) g(x) z(x)+g'(x) f(x) z(x) + z'(x) f(x) g(x)

     (4)       y = f(x)g(x)/z(x)
                 y' = f'(x)z(x)-z'(x)f(x)/z2(x)+g'(x)z(x)-z'(x)g(x)/z2(x)
                (ci ho provato però non sono sicuro...) 

     (5)     y = sin(x2)
               y' = 2x cos(x2)

     (6)     y= ln(sin(x))
               y' = cos(x)/sin(x)

    è da più di quarant'anni che non facevo esercizi così, usavo ancora i numeri romani...
               

  2. gioyhofer

    Ciao Enzo,
    provo a risolvere;
    1) y’=f’(x)+g’(x)+z’(x)
    2) y’= f’(x)+g’(x)-z’(x)
    3) y’= g(x)z(x)f’(x)+f(x)g’(x)z(x)+f(x)g(x)z’(x)

    fino a qui sono sicura quasi al 100% 
    4) in questa funzione credo che prima si debba risolvere la moltiplicazione e poi la divisione, quindi:
    y’=(g(x)f’(x)+f(x)g’(x)z(x) – g’(x)f(x)+f’(x)g(x)z’(x))/z(x) elev 2
    5) y’=2sin x elev 2-1  =  2sin x
    6) ????????
    spero di non aver fatto troppi errori…

  3. Alfierecampochiaro - Massimo

    Solo per dirti che ho fatto gli esercizi. Molte, tipo la derivata del prodotto di funzioni, comunque le ricordavo, ma grazie per avermi fatto risentire giovane ...

  4. beppe

    Non c'è nessun altro che ci prova?
    Solo in due dobbiamo fare brutta figura??  :mrgreen:   :mrgreen:

  5. Pier Francesco

    Ha ragione Beppe, ci provo anch'io:
    (1) y'(x) = f'(x) + g'(x) + z'(x)

    (2) y'(x) = f'(x) + g'(x) - z'(x)
    (3) y'(x) = f'(x)g(x)z(x) + f(x)g'(x)z(x) + f(x)g(x)z'(x)
    (4) y'(x) = [(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))*z(x) - f(x)g(x)z'(x)] / (z(x)^2)
    (5) y'(x) = (2x)cos(x^2)
    (6) y'(x) = (1/sin(x))*cos(x) = cos(x)/sin(x) = 1/tan(x) = cotan(x)

  6. vi vedo un po' assenti... :-?
    troppo facili o c'è un po' di paura? Dai... forza! tanti articoli sulla matematica e poi... :-|  

  7. beppe

    Intermezzo leggero:   il punto di vista sulla matematica di Flavio Oreglio  :-P

    https://www.youtube.com/watch?v=dcAgq3-Jw4k

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.