17/05/14

Una curva femminile ****

Avete tutto il tempo che volete, dato che la soluzione ve la darò solo a luglio… Posso solo dire che avete, teoricamente, tutte le possibilità per superare l’arduo ostacolo. Conoscete i triangoli simili e l’equazione di una circonferenza… per cui. A luglio, studieremo anche la funzione che avrete trovato…

Dunque, la nostra cara Maria Gaetana Agnesi, tra i vari studi matematici, descrisse anche una curva che battezzò con il nome di versiera (oggi versiera di Agnesi). In realtà, sembra che l’avessero già determinata prima, ma… noi diamo tutti gli onori a Maria! La curva si può ricavare piuttosto facilmente, da un punto di vista geometrico, ma la sua importanza è notevole dato che vari fenomeni fisici la seguono piuttosto bene. Adesso vi racconto come si può descrivere e lascio a voi la determinazione della funzione y = f(x). Un esercizio non banale, ma… chissà.

Disegniamo il nostro sistema di riferimento cartesiano di assi x e y. Consideriamo una circonferenza di raggio r, che abbia il suo centro nel punto C(0,r), In altre parole, il centro sta sull’asse delle y a una distanza r dall’asse x. Ne segue, ovviamente, che la circonferenza passa dall’origine degli assi (per x = 0, anche y = 0). Questa sarà la parte più difficile: scrivere l’equazione di una circonferenza di questo tipo.

Tracciamo una retta parallela all’asse x che sia tangente alla circonferenza nel suo punto più alto. Essa ha equazione y = 2r. Poi, iniziamo a tracciare le rette passanti per l’origine e determiniamo il punto S in cui esse intersecano la circonferenza. A questo punto troviamo facilmente il punto Q, il punto intersezione tra la retta passante per l’origine e la retta y = 2r. Da Q scendiamo con una retta parallela all’asse y fino a incontrare la retta passante per S e parallela all’asse delle x, in un punto P, le cui coordinate sono proprio x e y (variabili perché varia la retta passante per l’origine).

La curva di Agnesi è proprio quella descritta dal punto P, al variare della retta passante per l’origine. Per descrivere graficamente la curva basta fare ruotare la retta attorno all’origine e ricavare, per ognuna di esse, il punto P corrispondente. Tuttavia, per descrivere matematicamente la curva è necessario ricavare la relazione che esiste tra x e y (in funzione del raggio r) che definisce il punto P, determinato seguendo la spiegazione precedente, rappresentata in Fig. 1.

fig.1
Figura 1

Trovate l’equazione e la curva su Wikipedia e, perciò, ve la scrivo anche io. Quello che importa è riuscire a ricavarla (e questo non è facile da trovare sul web). Insomma, un bell’esercizio di matematica e geometria, nonché una curva finale molto interessante che studieremo con le derivate, dato che ha un massimo, due asintoti e due punti di flesso.

Se non ci riuscite, non prendetevela… è un esercizio difficile per chi ha imparato l’analisi solo attraverso le mie lezioncine. Però, ci sono molti che sono sicuramente all’altezza e non è detto che lavorandoci sopra non ci riusciate proprio tutti!

In ogni modo, il risultato da ottenere è questo

y  = 8r3/(4r2 + x2)

Ovviamente, desidero che scriviate ogni passaggio per arrivare a lei (sia geometrico che matematico).

Buon divertimento!

2 commenti

  1. AlexanderG

    Ciao,
    vedo che nessuno ha risposto a questo post, non so se le risposte sono state date più avanti (assieme alla soluzione), comunque sia, ho provato a ricavare per conto mio l'equazione della curva, ma non ci sono riuscito :(
    Vorrei tuttavia condividere i miei ragionamenti, magari più avanti vedrò da solo la soluzione :)

    Allora,
    sono partito dall'equazione della circonferenza:
    Indico con (Cx,Cy) le coordinate della circonferenza.
    L'equazione è: (x-Cx)^2 + (y-Cy)^2 = r^2
    sostituendo (Cx,Cy) con (0,r) successivamente semplificando si ottiene:
    (x-0)^2 + (y-r)^2 = r^2
    x^2 + y^2 -2ry + r^2 = r^2
    x^2 + y^2 = 2ry
    non so quanto sarà utile, ma intanto l'ho ricavata :)

    Il secondo passo che ho eseguito è cercare similitudini e sfruttare le funzioni trigonometriche nei tanti TRIANGOLI RETTANGOLI che vedo nella figura:

    Indico con "a" (perché sull'iPad non posso usare "alfa") l'angolo del vertice O ottenuto dal semiasse positivo delle ascisse (x) e dalla semiretta che da O va verso Q.
    L'angolo "a", per similitudine è anche:
    - quello in S del triangolo MSO
    - quello in S del triangolo QSP
    - quello in Q del triangolo TQO

    Indico con (Qx,Qy) le coordinate del punto Q(x,2r)
    si ha: Qy = OQ sin(a) = 2r
    da cui: OQ = 2r / sin(a)
    L'ascissa x del punto P sarà quindi:
    x = OQ cos(a) = 2r cos(a) / sin(a) = 2r / tan(a)
    questo è l'andamento dell'ascissa della curva in funzione dell'angolo "a".
    Con ragionamenti simili, l'ordinata è:
    y = OM = OS sin(a) = MS tan(a)

    A questo punto mi sono bloccato perché non sono riuscito ad esplicitare il segmento MS, ovvero l'ascissa del punto S, in funzione dell'angolo "a"; dato che sta sulla circonferenza, sono sicuro che centra in qualche modo l'equazione della circonferenza precedentemente trovata, ma non so in che modo.
    Una volta trovato MS, non dovrebbe essere difficile mettere a sistema x ed y in modo da eliminare l'angolo "a".

    Va bene, più avanti mi vedrò la tua soluzione, ora voglio continuare a recuperare la lettura degli altri post, sono indietro di quasi tre mesi! :)

    Un carissimo saluto,
    Alex.

  2. Hai ragione Alex... nessuno ha risposto e io ho dimenticato di postare la soluzione... Spero di ricordarmi di farlo... Comunque la strada era buona... :wink:

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.