28/03/15

SOLUZIONE del quiz sulla papaperla, ovvero il papapendolo balistico ***

L’esercizio proposto si riferisce direttamente a quello che viene chiamato pendolo balistico, una volta molto usato per calcolare la velocità di un proiettile. Mi rifaccio prima all’esempio classico e poi mi sposto sul caso papalliano.

Utilizziamo la Fig. 1.

Figura 1
Figura 1

Sia M la massa di un pendolo di lunghezza l. Contro di lui viene sparato il proiettile di massa m con velocità incognita v. La “sfera” del pendolo è fatta di un materiale che “assorbe” il proiettile in modo che l’urto sia completamente anelastico. In altre parole, dopo l’urto la massa M e m possono essere considerati un unico corpo.

La conservazione della quantità di moto impone, allora, che la massa dopo l’urto (M + m) si muova con una velocità V tale che il loro prodotto uguagli la quantità di moto del proiettile prima dell’urto. Il pendolo, infatti, era fermo all’atto dello sparo. In semplici formule possiamo scrivere:

mv = (M + m)V      …. (1)

Il pendolo inizia a muoversi con un’energia cinetica data da:

K = ½ (M + m)V2

Il pendolo, però è obbligato a descrivere un cerchio di raggio uguale a l intorno a P. In tale moto la massa (M + m) si alza rispetto al suolo e la sua energia cinetica si deve sommare a quella potenziale dovuta alla gravità, in modo da conservare l’energia totale. Il pendolo raggiunge una certa altezza h dove si ferma per poi tornare indietro. In questo punto di massima altezza, tutta l’energia cinetica si è trasformata in energia potenziale (come succede a un vagoncino dell’ottovolante). Vale quindi la relazione:

½ (M + m)V2 = (M + m)gh

Da cui:

V = (2gh)1/2

Sostituendo questo valore di V nella (1) si ottiene:

v = (M + m)(2gh)1/2/m

Conoscendo la massa del proiettile e del pendolo, si misura h su un’apposita asta graduata e si ricava la velocità del proiettile.  In realtà, si preferisce misurare l’angolo α che è legato direttamente ad h, dalla relazione:

h = l – l cos α

Il nostro papallo conosce molto bene il pendolo balistico e si trasforma egli stesso in tale “strumento” utilizzando la corda e il ramo (resistente) sopra di lui. La lunghezza del papapendolo sia l, valore noto, ovviamente, al papallo. Il nostro amico deve raggiungere il suo punto di massima altezza quando essa vale h, ossia proprio l’altezza a cui è posta la paperla. Non gli rimane che determinare la distanza d a cui deve venire posizionata l’asta con la paperla.

Non gli ci vuole molto, dato che sa che:

d = l sin α

ossia:

sin α = d/l

e che:

h = l - l cos α

ossia:

cos α = (l – h)/l

Ricordando che:

sin2α + cos2α = 1

può subito scrivere:

(d/l)2 + (l – h)2/l2 = 1

d2/l2 + (l2 – 2lh + h2)/l2 = 1

d2 + l2 – 2lh + h2  = l2

d2 = 2lh – h2

e, infine:

d = (2lh – h2)1/2

Conoscendo h (datogli dalla giuria) e l, il papallo calcola la distanza d dove deve essere inserita l’asta con la papaperla.

A questo punto, noto h e conoscendo il concetto del pendolo balistico (che abbiamo descritto prima) può facilmente calcolare la velocità v da impartire al proiettile di massa m, che dopo averlo colpito, gli impartisce la giusta velocità V per arrivare da “fermo” a contatto con la papaperla e vincere l’ambitissimo trofeo, come mostrato in Fig. 2.

Figura 2
Figura 2
Qui trovate la domanda del quiz

6 commenti

  1. Alvermag

    Scusa Enzo, non ho capito se il pendolo balistico era usato FISICAMENTE per valutare la velocità del proiettile o solo TEORICAMENTE.

    Da come l'hai messa mi sembra che sia giusta la prima anche se mi sembra una cosa un pò strana ...

    Si lo so la domanda non è molto ... scientifica, ma sono curioso. Per la verità mi sfugge il senso pratico dell'utilizzo.

    P.S.: immagino che il proiettile utilizzato non fosse di arma da fuoco! 8-O

  2. Alvermag

    Quindi Enzo, niente più Papalla?

    Peccato, cominciavo a divertirmi.

  3. Sì, era effettivamente usato per misurare la velocità di un oggetto che colpiva un pendolo e si incastrava in esso. Sia per proiettili veri che per quello che preferisci...

  4. Sai Alvy,
    ho visto che il numero dei lettori relativo ai quiz scendeva decisamente e ho pensato che la cosa stesse ingolfando coloro che sono meno preparati e/o hanno meno tempo a disposizione. In generale, sugli altri ... siti, si vede che si preferisce parlare di stringhe e non di meccanica classica... anche se non si conosce la seconda (le stringhe fanno scena e ti fanno sentire importante anche se non le capisci assolutamente). Qui da noi la situazione è sicuramente diversa e io voglio comunque continuare. Ma un po' di pausa potrebbe servire a quelli che non hanno ancora avuto tempo di affrontarli. Anzi, ci tengo a tal punto che metterò tutti i quiz in una pagina a se stante. Non è tanto il numero di lettori che mi turba, quanto la paura che aggiungere troppa carne al fuoco crei confusione nei meno preparati: loro devono aver più tempo per ragionare.

  5. Alvermag

    OK Enzo, inutile dire che concordo pienamente.

    E' che mi ero affezionato ai papalli .... :evil:

  6. Fatto come l’avrei scritto io, almeno questa è la mia impressione

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