Apr 15

La Dinamica Relativistica. 5: Soluzione del quiz energetico (ma non solo) ***

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

 

Risolviamo il problema delle trasformazioni e ci accorgiamo che le formule sono esattamente le stesse che avevamo ottenuto trasformando t in t’ e x in x’, ossia le equazioni:

x’ = (x – ut)/(1 – u2)1/2

t’ = (t – ux)/(1 – u2)1/2

diventano

q’ = (q – uE)/(1 – u2)1/2

E’ = (E – uq)/(1 – u2)1/2

In poche parole, le trasformazioni tra quantità di moto ed energia sono esattamente le stesse che si hanno tra lo spazio x e il tempo t. Basta inserire l’energia al posto del tempo (scalare) e la quantità di moto al posto di x (componente di un vettore).

Partiamo dalle due banali e ben note relazioni (1) e (2):

E = m0/(1 – v2)1/2

q = m0v/(1 – v2)1/2

Come possiamo notare, entrambe contengono v, la velocità nel sistema S. Quello che vogliamo fare è calcolare E’ e q’ come vengono misurate in un sistema S’, dove la velocità è v’. La solita vecchia storia della RR.

E’ = m0/(1 – v’2)1/2

e

q’ = m0v’/(1 – v’2)1/2

Non ci resta che far comparire a secondo membro le velocità v relativa a S e la velocità di trascinamento di S’ rispetto a S (u), nello stesso identico modo in cui nelle trasformazioni di Lorentz facevamo comparire t e x per esprimere x’ e t’.

Ancora una volta, non dobbiamo fare altro che eseguire una composizione di velocità lungo l’asse delle x. Ormai la formula necessaria è diventata nostra carissima amica… (ricordiamo che  c = 1).

v’ = (v – u)/(1 – uv)

Cominciamo a scrivere la parte sotto radice quadrata, ossia (1 – v’2)…

Iniziamo con fare il quadrato di v’:

v’2 = (v – u)2/(1 – uv)2 = (v2 + u2 – 2uv)/(1 + u2v2 – 2uv)

E poi  cambiare di segno e aggiungere 1 (e portare tutto allo stesso denominatore):

1 – v’2 = 1 - (v2 + u2 – 2uv)/(1 + u2v2 – 2uv) = (1 + u2v2 – 2uv – v2 – u2 + 2uv)/(1 + u2v2 – 2uv)

1 – v’2 = (1 + u2v2 – v2 – u2)/(1 + u2v2 – 2uv)

1 – v’2 = ((1 – v2) – u2(1 – v2))/(1 – uv)2 = (1 – v2)(1 – u2)/(1 – uv)2

Bene. Adesso mandiamo tutto al… denominatore e facciamo la radice quadrata:

1/(1 – v’2)1/2 = (1 – uv)/((1 – v2)1/2(1 – u2)1/2)           …. (5)   (ci servirà dopo ….)

Non ci resta che moltiplicare per la massa a riposo m0, che rimane sempre la stessa in ogni sistema di riferimento:

E’ = m0/(1 – v’2)1/2 = m0(1 – uv)/((1 – v2)1/2(1 – u2)1/2) = (m0 – m0uv)/((1 – v2)1/2(1 – u2)1/2)

Mamma mia… è stata abbastanza dura e, inoltre, sembra di essere ben lontani dal risultato voluto! Calma e sangue freddo. Divertiamoci un po’ con la matematica. Scriviamo la stessa cosa in modo apparentemente ancora più complicato:

E’ = ((m0/(1 – v2)1/2) – (m0uv/(1 – v2)1/2))/(1 – u2)1/2         …. (6)

Avete eseguito con calma i vari passaggi? Bene. Adesso non è difficile sostituire alle varie parti quello che rappresentano.

Ad esempio:

m0/(1 – v2)1/2 = E

Proprio come dice la (1)

Inoltre:

m0uv/(1 – v2)1/2 = uq

Proprio come ci dice la (2), moltiplicata a sinistra e a destra per u.

Non ci resta che sostituire nella (6) e si ottiene, quasi miracolosamente:

E’ = (E – uq)/(1 – u2)1/2

Non è difficile confrontarla con la ben più celebre:

t’ = (t – ux)/(1 – u2)1/2

Esattamente quello che avevamo preannunciato: per trasformare E in E’ basta sostituire nella formula precedente t con E, t’ con E’ e x con q. E il gioco è fatto!

Scommettiamo che ormai siete più che sicuri che lo stesso succederà anche con q’? Di Einstein ci si può fidare… Comunque, eseguiamo ancora qualche calcoletto divertente… La faccenda è molto più semplice.

Sappiamo dalla (4) che:

q’ = E’ v’

basta sostituire E’, utilizzando la (5) moltiplicata per m0, e la v’ in funzione di v e u.

q’ =  m0(1 – uv)/((1 – v2)1/2(1 – u2)1/2) (v – u)/(1 – uv)

Semplificando tra numeratore e denominatore si ha:

q’ = m0 (v – u)/((1 – v2)1/2(1 – u2)1/2) = (m0v – m0u)/((1 – v2)1/2(1 – u2)1/2)

Scriviamolo in modo più… utile:

q’ = m0v/((1 – v2)1/2(1 – u2)1/2) - m0u/((1 – v2)1/2(1 – u2)1/2)

Ma, sappiamo ormai molto bene, dalla (1), che:

m0v/(1 – v2)1/2 = q

e, dalla (2) che:

m0/(1 – v2)1/2 = E

Ne segue:

q’ = q/(1 – u2)1/2 – uE/(1 – u2)1/2

q’ = (q – uE)/((1 – u2)1/2

del tutto analoga a:

x’ = (x – ut)/(1 – u2)1/2

Sì, è vero, è stata un po' dura, ma, in fondo, sono stati passaggi di semplice matematica, alla portata di tutti o quasi.

Non andremo oltre, ma possiamo facilmente immaginare le fantastiche possibilità pratiche. Ciò che sembrava un espediente matematico e geometrico, ci permette di descrivere graficamente l’energia e la quantità di moto in un diagramma di Minkowski, in accordo con le equazioni di Lorentz. Non solo spazio e tempo che si contraggono e si dilatano, ma grandezze di assoluta importanza fisica come energia e quantità di moto.

Abbiamo anche imparato che nello spazio di Minkowski esistono almeno due grandezze che non variano nelle trasformazioni di Lorentz. Ma sono molte di più...

QUI trovate la domanda del quiz

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