Apr 29

Soluzione del quiz sul canguro papalliano (seconda parte) e la caduta di una mela abbastanza elastica… **

Prima di dare la soluzione della seconda parte del quiz sul canguro papalliano, vorrei richiamare un semplice problema di cinematica che sta alla base dell’esercizio: la caduta della mela di Newton.

Questa fase di “preparazione” la possiamo dividere in due parti.

La prima non è altro che la caduta di un corpo da una certa altezza; la seconda è il lancio di un corpo verso l’alto e la sua ricaduta.

In entrambi i casi vanno ricordate le leggi orarie del moto uniformemente accelerato. Esse descrivono come variano lo spazio percorso e la velocità del corpo in funzione del tempo che scorre. A loro, tra non molto, si dedicherà anche la fisica papalliana…

s = s0 + v0t + ½ at2           …. (1)

v = v0 + at                        …. (2)

s0 e v0 sono la posizione e la velocità del corpo al momento in cui il tempo vale 0, ossia all’inizio del moto; t è il tempo che scorre e a è l’accelerazione che rimane sempre costante. s e v sono la posizione e la velocità per un qualsiasi tempo t. Se proviamo a mettere t = 0, troviamo proprio s = s0 e v = v0.

Il Papallo cade

Utilizziamo la Fig. 1

Figura 1
Figura 1

e poniamo il nostro Papallo a un’altezza h0 dal suolo e lo lasciamo cadere sotto l’azione della gravità. In questo caso abbiamo:

s0 = h0

v0 = 0

a = - g

s = 0

L’origine dell’asse s è il suolo e quindi il verso positivo va verso l’alto. Il Papallo parte da fermo e quindi la velocità iniziale è uguale a zero, così come è zero la posizione finale (il Papallo arriva al suolo). L’accelerazione è quella di gravità che è una costante (g) e che viene presa con il segno meno dato che il verso positivo dell’asse s è verso l’alto.

La (1) diventa:

s = s0 + v0t + ½ at2 = h0 + 0 - ½ gt2

ma s è uguale a ZERO, quindi si ottiene la relazione:

0 = h0 - ½ gt2

E ancora:

½ gt2 = h0              …. (3)

La (2) diventa:

v = v0 + at = 0 – gt = gt

v = gt                  …. (4)

La (3) ci permette di calcolare il tempo impiegato dal Papallo per arrivare al suolo:

½ gt2 = h0

t2 =  (2h0/g)

t = (2h0/g)½         …. (5)

Inserendo la (5) nella (4), otteniamo la velocità con la quale il Papallo arriva al suolo:

 v = gt = g(2h0/g)½  =  (2h0g)½          …. (6)

Il problema è completamente risolto. Conoscendo h0 (e, ovviamente, g) si ricavano sia il tempo impiegato a cadere al suolo (5) sia la velocità con cui si arriva al suolo (6).

Se, invece, non conoscessimo l’altezza di partenza h0, ma solo il tempo impiegato a cadere, basterebbe usare la (3) per ricavare h0.

Se, infine, conoscessimo solo la velocità di arrivo al suolo, la (6) ci farebbe trovare l’altezza h0:

v2 = 2 h0g

h0 = v2/2g           …. (7)

Il Papallo salta e ricade

Manteniamo il solito asse delle s di prima e disegniamo la Fig. 2.

Figura 2
Figura 2

Questa volta il Papallo parte dal suolo con una certa velocità v0 diretta verso l’alto (positiva). Mentre sale, però, subisce la forza di gravità ed è costretto a rallentare fino a fermarsi per poi ricadere. Analizziamo la salita e vediamo come si trasformano la (1) e la (2).

h0 = s0 + v0t + ½ at2 = 0 + v0t - ½ gt2          …. (8)

h0 è l’altezza raggiunta, v0 è la velocità iniziale (costante), - g l’accelerazione di gravità, con il segno meno perché è diretta verso il basso, t il tempo trascorso per giungere nel punto di fermata provvisoria in h0.

La (2) diventa:

v = v0 + at = v0 - gt = 0

da cui:

gt = v0

t = v0/g             …. (9)

Dove t è adesso il tempo necessario per raggiungere la massima altezza h0 con velocità uguale a zero.

Quanto vale l’altezza h0 (adesso è un’incognita del problema)? Ce lo dice la (8):

h0 = v0t - ½ gt2            ….(10)

Il tempo t necessario per arrivare nel punto più alto è dato, però, dalla (9) e basta sostituirlo nella (10), che è poi la (8):

h0 = v0 v0/g - ½ gv02/g2 = v02/g – ½ v02/g = v02/2g      …. (11)

Attenzione: la (11) è perfettamente uguale alla (7), sostituendo v con v0. Cosa vuol dire tutto ciò?

Un fatto piuttosto ovvio: l’altezza necessaria per cadere al suolo con velocità v0 è uguale all’altezza che si può raggiungere saltando con una velocità iniziale v0.

Quanto tempo impiega il Papallo per arrivare a questa altezza massima? Ce lo dice la (9). Infatti, la (11) afferma che:

v02/2g = h0

v0 = (2gh0)½

Sostituendo questo valore nella (9), si ha:

t = v0/g = (2h0/g)½

che è esattamente la (5).

Insomma, ci siamo divertiti a girare in tondo e a fare un po’ di facili calcoli algebrici. Il succo di tutto è che sia la caduta che la salita portano agli stessi risultati, se la velocità di partenza verso l’alto è uguale alla velocità con cui arriva il Papallo al suolo.

Abbiamo detto una banalità? Assolutamente no, pensandoci un attimo sopra. Questa uguaglianza tra salita e discesa non può che farci concludere che è inutile calcolare tempo e velocità della ricaduta del Papallo. Essi saranno uguali a quelli di salita (e, ovviamente, a quelli di sola caduta della prima parte).

Ne segue che il tempo totale di salita e ricaduta sarà esattamente uguale al doppio del tempo di salita e che la velocità al momento della ricaduta sarà di nuovo v0.

Uniamo le due parti: un canguro perpetuo

A questo punto possiamo collegare la prima e la seconda parte e avere una specie di moto perpetuo… Il Papallo cade partendo da h0, tocca il suolo con v0. Se il suolo lo fa rimbalzare in modo perfettamente elastico la sua velocità diretta verso l’alto è esattamente v0 (conservazione della quantità di moto) e il Papallo arriva nuovamente fino ad h0. Poi ricade e tutto continua all’infinito. I tempi di ogni salto (salita e caduta) sono sempre uguali e doppi di quello della prima caduta. Un perfetto canguro instancabile.

Qual è il tempo totale espresso in termini matematici?

Chiamiamo t0 il tempo di sola caduta iniziale… Abbiamo:

T = t0 + 2t0 + 2t0 + 2t0 + …… = infinito           …. (12)

E quanto vale la distanza percorsa dal Papallo?

Chiamando h0 l’altezza della prima caduta, si ha:

H = h0 + 2h0 + 2h0 + 2h0 + …… = infinito     …. (13)

Un Papallo non perfettamente elastico

Nel nostro problema anelastico, cosa cambia rispetto a questa situazione teorica e perpetua? Solo il fatto che la velocità con cui il Papallo piomba al suolo è maggiore di quella con cui il Papallo risale verso l’alto. La velocità del salto ennesimo è uguale alla velocità del salto precedente moltiplicata per il coefficiente di restituzione e, ossia:

vn = - evn-1

Il segno meno tiene solo conto del fatto che si inverte il moto. Tuttavia, a noi poco importa il segno dato che siamo solo interessati al tempo trascorso e alla distanza percorsa (sempre positivi).

Abbiamo in mano tutti i dati necessari per descrivere lo svolgimento dell’intero esercizio. Basta soltanto usare un semplice ragionamento e la faccenda diventa estremamente banale. In particolare, vedremo che la e entrerà pari pari sia nel tempo che nell’altezza  successiva.

Il primo tempo da sommare è quello di sola caduta (5):

t0 = (2h0/g)½          …. (14)

La velocità con cui arriva al suolo il Papallo, dopo la prima caduta, (chiamiamola u0) vale (6):

u0 = (2h0g)½

la velocità con cui risale il Papallo è (usiamo pure sempre il segno positivo dato che c’interessa arrivare al tempo)

u1 = eu0 = e(2h0g)½        …. (15)

Il tempo che impiega il Papallo per salire e per scendere è dato da due volte la (9) con la nuova velocità. Ricordando la (14):

2t1 = 2u1/g = 2e(2h0g)½ = 2et0      …. (16)

Potremmo già fermarci qui, avendo capito come vanno le cose: il tempo dei prossimo salti completi saranno moltiplicati per e… Proviamolo, usando la (16):

2t2 = 2u2/g = 2eu1/g = 2e2t0

2t3 = 2u3/g = 2eu2/g = 2e3t0

…………

Non ci resta che sommare tutti i tempi, sapendo che i salti saranno infiniti. Ma lo sarà anche il tempo totale? Proviamo:

T = t0 + 2t1 + 2t2 + 2t3 + 2t4 + ….

T = t0 + 2et0 + 2e2t0 + 2e3t0 + 2e4t0 ….

T = t0(1 + 2e(1 + e + e2 + e3 + e4 + ….))       …. (17)

Fermi tutti! La somma, dentro la parentesi più interna, non è altro che una serie geometrica (QUI). Inoltre la variabile e è compresa tra 0 e 1 e, quindi, la serie è convergente e la somma vale una quantità finita. In particolare:

Σn=0 en = 1/(1 – e)

Sostituendo nella (17), abbiamo:

T = t0(1 + 2e/(1- e)) = t0(1 - e + 2e)/(1 - e) = t0(1 + e)/(1 - e)

Ma sappiamo quanto vale t0 dalla (14)…

t0 = (2h0/g)½

E, infine, otteniamo:

T = (2h0/g)½ (1 + e)/(1 - e)

Dove si vede che se e = 1 (urto completamente elastico) il tempo totale diventa infinito. Negli altri casi il tempo ha un valore limitato, benché i salti siano infinti, ma sempre più bassi…

Se e = 0, il tempo è solo quello della prima caduta, dato che il Papallo si ferma subito non potendo rimbalzare (non vogliamo nemmeno pensare cosa resta di lui…).

Passiamo alla distanza percorsa…

Dalla (7) abbiamo:

h0 = u02/2g        …. (18)

Usando la (11) e sostituendo la nuova velocità.

h1 = u12/2g = e2u02/2g = e2h0

h2 = u22/2g = e2u12/2g = e4h0

h= u32/2g = e2u22/2g = e6h0

……………………………………

La distanza totale percorsa dal Papallo è allora data dalla prima discesa h0 sommata a due volte le altezze di tutti i salti successivi (ogni salto ha una salita e una discesa che devono essere uguali):

H = h0 + 2h1 + 2h2 + 2h3 + ….

H = h0 + 2e2h0 + 2e4h0 + 2e6h0 + …

H = h0(1 + 2e2(1 + e2 + e4 + ….))

Abbiamo di nuovo la (17) dove però la serie va con e2, ossia possiamo porre:

x = e2

e la parentesi più interna rappresenta una serie geometrica come la precedente:

(1 + x + x2 + x3 +….)

La serie ha quindi come valore:

Σn=0 xn = 1/(1 - x)

Ossia:

Σn=0 e2n = 1/(1 - e2)

Da cui:

H = h0(1 + 2e2/(1 - e2)) = h0(1 - e2 + 2e2)/(1 - e2) = h0(1 + e2)/(1 - e2)

Con poche formule e molta logica siamo arrivati tranquillamente alla fine (o all’inizio per chi vuole divertirsi con vari valori di e o con altri giochini di estrema semplicità).

QUI trovate il testo del quiz

QUI trovate la prima parte della soluzione

18 commenti

  1. cari tutti,

    sono andato un po' di fretta, dato che volevo pubblicare la soluzione prima del fine settimana... Sicuramente, ci saranno parecchi "orrorini", ma sono tranquillo perché Papalscherzone sarà prontissimo a "beccarli"! :mrgreen:

  2. PapalScherzone

    Da quel poco che ho visto per ora, mi sa che ci sono più orrorini in alcune risposte... ora però spero di trovarne qualcuno anche nella tua soluzione, così siamo pari!! :mrgreen:  :-P

  3. PapalScherzone

    Perdindirindina!

    Ho sudato sette camicie (si fa per dire, visto che non saprei come indossarle :lol:  ) per confrontare le formule che hai usato con quelle della Fisica Addormentata e per controllare ogni singolo passaggio algebrico, ma ho trovato un unico insignificante orrorino: hai dimenticato di mettere l'apice 1/2 alla Uo sotto la formula (14)!

    Ragazzi, mi raccomando, controllate bene anche voi, non riesco a credere che non ce ne siano altri!! :-P

     

  4. Daniela

    Che rabbia... ma si può cadere sulle proprietà delle potenze?! Programma di prima media!!  :-?

    PapalPotenza non ti arrabbiare, per favore, ora non dimenticherò più che

    (e^n)^{^{m}}=e^{nm}

    :mrgreen:

     

  5. Mik

    Ciao,

    Devo dire che andando a intuito avevo pensato che l'infinitezza dei rimbalzi portava a un tempo di arresto infinito. Pensavo si dovesse tirare in ballo il fatto che alla fine l'altezza del.rimbalzo diventava insignificante e quindi la si considerava a tutti gli effetti ferma.

    È invece interessante la tua dimostrazione che non è così e pur rimbalzando infinite volte la palla si arresta in un tempo finito.

    Grazie!

     

  6. Daniela

    In termini puramente matematici, Mik, credo che sia più corretto dire che, poichè l'altezza dei rimbalzi tende a zero (ma non lo raggiunge mai, quindi il papallo non si ferma mai), la distanza totale percorsa può essere approssimata (con un errore tendente a zero ma non nullo) con un numero finito.

  7. In realtà Dany,

    la faccenda è un po' diversa... La serie converge per n infinito, ossia il tempo necessario a fermarsi è un numero ben preciso. Tale e quale alla distanza percorsa. Non è diverso dall'elettrone che va avanti e indietro, ma che è costretto a fermarsi quando i due papalli si scontrano o come Achille e la tartaruga trattati con due rette che si devono per forza incontrarsi in un certo punto ben definito. La matematica risolve la questione. Cosa poi succederà quando si entra nelle distanze quantistiche è altra cosa: ricordiamo che il dire due oggetti si toccano non è mai vero, dato che vi è sempre un'azione a distanza, anche se piccolissima.

  8. Daniela

    Quindi, anche in linguaggio matematico, è più giusto dire che il papallo si ferma, non che continua a rimbalzare all'infinito con l'altezza dei rimbalzi che tende a zero?

  9. eh sì, direi che è meglio perché la serie converge e non ha resto... Comunque c'è sempre un limite di mezzo, ma se pensi ad Achille la tartaruga il punto è accurato...

    Siamo ai limiti della lana caprina, insomma... :wink:

  10. Daniela

    Non è lana caprina, qualcuno ha detto che è l'essenza stessa della Matematica...  :wink:

    Grazie per il chiarimento, questo è un punto tutt'altro che banale!

     

  11. Mettiamola così Dany, utilizzando parole "matematiche". Il tempo in cui il Papallo si ferma del tutto è un numero ben preciso, mentre restano comunque infiniti i salti per raggiungerlo. Allora, possiamo dire che preso un tempo piccolo a piacere rispetto al tempo finale è sempre possibile trovare un tempo ancora più vicino in cui il Papallo continua a saltare. Però è anche vero che se prendiamo un tempo piccolo a piacere dopo il tempo finale è sempre possibile trovare un tempo ancora più vicino (maggiore del tempo finale) in cui il Papallo è già fermo. Le due operazioni si avvicinano sempre più al tempo finale e basta prendere la media tra un punto prima e uno dopo per avere il tempo di fermata esatto. Comunque sia siamo sempre in presenza di limiti. La stessa serie converge se passiamo al limite. Se, invece, aggiungiamo termini sempre più raffinati e piccoli ci avvicineremo sempre più ma senza mai raggiungere il tempo finale. Ma la stessa cosa capiterebbe venendo dal alto opposto... La rappresentazione geometrica delle due curve ci darebbe un risultato perfetto, sempre che una matita possa fare un punto veramente perfetto...

  12. Daniela

    RI-GRAZIE !!

    :-D

  13. Mik

    Diciamo che il papallo si fermerebbe comunque, anche in un mondo classico ideale ("papalliano").

  14. Umberto

    Mi è venuto in mente un esempio reale che potrebbe chiarire empiricamente il fenomeno. Vi è mai capitato di far cadere un piatto in cucina? se cade in un certo modo (e non si rompe) comincia ad oscillare intorno a quella che sarà la sua posizione  finale. Il rumore che produce è sempre più frequente (diventa quasi assordante), ciò significa che il periodo di oscillazione tende a zero e la frequenza ad infinito (i rimbalzi). Però poi si ferma, dopo un certo tempo.

  15. ottimo esempio Umby !!!!

  16. Umberto

    Grazie, ma me ne sono accorto perchè in cucina sono molto maldestro

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