Feb 17

QUIZ: un'ellisse relativistica ***/****

Questo è un quiz destinato ai solutori più abili (posso, però, sempre essere smentito…). Si tratta di un problema geometrico che però si svolge nello spaziotempo di Minkowski. Niente di trascendentale, ma ha bisogno di una buona conoscenza dei parametri fondamentali. Ci servirà per l’ellisse di aberrazione (ma pensa un po’…).

Devo ammettere che ho impiegato abbastanza tempo per risolvere il problema, ma potrebbe essere solo colpa della mia mente un po’ arrugginita o del periodo un po' ... nervoso. Per cui, ve lo propongo, sperando che troviate un metodo più veloce di quello usato da me.

Per una volta, consideriamo come spazio (fermo) il piano (x,y). Descriviamo il cono di luce dell’osservatore O. La sua equazione è molto semplice (le coordinate sono tre: x, y e t). Basta scrivere t uguale a qualcosa di immediato.

Questo cono lo vogliamo tagliare con un piano (x’, y’) di simultaneità (t’ = costante) relativo a un oggetto che viaggi con una velocità v/c = β.  L’equazione di questo piano non fa altro che dare la trasformazione tra t’ e t. Voglio essere buono e ve la scrivo:

t’ = γ(t – βx)

Ovviamente, il risultato sarà un’ellisse, dato che tagliamo un cono con un piano inclinato rispetto al suo asse.

La curva finale deve essere descritta, nelle coordinate x e y (in altre parole, vogliamo la proiezione nel piano x,y), nella forma (quasi) classica:

(x – x0)2/a2 + y2/b2 = 1

t' può essere qualsiasi (qualsiasi piano di simultaneità ve bene...) e quindi...

Poniamo anche c = 1 e adesso ... a voi trovare x0, a e b

Quando tratteremo l’ellisse di aberrazione capiremo meglio il perché di tutto ciò…

Forza, fatemi vedere che siete più bravi di me… ( lo dico sinceramente, ve lo assicuro!) e così metterò la vostra soluzione nell’articolo che ne tratterà estesamente. Probabilmente, ho scelto una strada un po’ lunga, che i maghi e i papallicoli sapranno domare con maggiore facilità.

Ovviamente, niente figure… quelle ve le fate da soli.

Soluzione QUI

25 commenti

  1. Umberto

    spero di aver capito qual  è il  il problema.

    Visto ne sistema x,y,t fermo, il cono di luce ha equazione:

    x^{2}+y^{2}=t^{2}\c^{2}dot c=t^{2}, in quanto sul cerchio che lo descrive aumenta il raggio nel tempo con velocità c unitaria.

    Se guardiamo il punto di vista dal sistema in movimento, anche per lui devono valere le stesse considerazioni, essendo anche lui al centro del cono di luce.

    quindi se x',y',t' sono le coordinate, il cono ha equazione

    x'^{2}+y'^{2}=t'^{2} 1)

    la coordinata y' non dipende dal moto relativo, quindi y'=y

    mentre quella x' la esprimiamo con la trasformazione di Lorentz:

    x'=\gamma (t-vx)

    la 1) in sezione rappresenta un cerchio, ma vista dall'altro sistema, quello fermo, rappresenta  una ellisse in ogni caso con assi dipendenti dal tempo; se sostituiamo a x' la sua espressione con Lorentz  e ponendo y'=y otteniamo:

    \gamma^{2} (x-vt)^{2}+y^{2}=t'^{2}

    da qui vediamo già che xo=-vt;

    il legame fra lo scorrere dei due tempi è dato dal fattore di Lorentz per le diverse unità di misura; se devo vedere tutto dal primo sistema ("fermo")sostituendo a t' t in funzione di \gamma e dividendo ambo i membri per normalizzare il secondo a 1 si dovrebbe trovare l'equazione cercata in funzione di t,v,gamma (scusate sono con il cellulare e faccio fatica a fare i calcoli).

     

  2. la strada è quella giusta... basta fare sparire il tempo... (attento alla (1) però...)... la y resta uguale ma sei sicuro che sia un cerchio? Dato che y = y',  x' dovrebbe essere uguale a x, dato che t' è una costante. Sempre che abbia capito bene ciò che stai facendo...

  3. umberto

    per me visto da entrambi i sistemi é u cerchio è quando si guarda uno da un altro che appare un ellisse. Poi appunto spero di aver capito bene il problema io non riesco a vedere l evoluzione indipendente dal tempo

  4. Scusa Umberto... il cono di luce di O è uno e uno solo. Se lo taglio con un piano inclinato non posso trovare un cerchio...

  5. umberto

    scusa tu é un dubbio che ha sempre avuto ognuno dei due dovrebbe essere al centro del cono di luce con se si sdoppiasse ...comunque quello che non mi é molto chiaro nel quiz é se bisogna cercare qualcosa di indipendente dal tempo

  6. caro Umberto, il cono di luce è lo stesso per tutti, sia che si muovano, sia che non si muovano, dato che la velocità della luce è sempre la stessa in tutti i sistemi di riferimento. Il che vuole dire che la luce si muove sempre a 45°. Il viaggiatore percorre una traiettoria, all'interno del cono di luce, piegata, ma si piega anche la linea di simultaneità, e quindi lui rimane al centro del cono, ma mentre y resta costante,  la x' si allunga sempre di più al crescere della velocità. A noi interessa l'intersezione tra il piano di simultaneità in (x',y') e il cono di luce che rimane sempre lo stesso, dato che la luce è partita da O e si allarga in modo uguale per tutti i sistemi. Le distanze in x' tra il bordo sinistro e quello destro del cono rimangono uguali ma lungo una retta inclinata rispetto all'asse del cono che è sempre t. Questo piano deve avere t' = costante, dato che rappresenta la simultaneità per il viaggiatore. In poche parole, bisogna trovare l'intersezione tra un cono e un piano inclinato che nel suo sistema vale t'= cost, ma che nell'altro sistema vale una certa relazione. Ovviamente, ciò vuol dire proiettare la curva finale sul piano (x,y). t' si lega a una t che non è più costante. In breve: oltre la equazione del cono, in cui compare t, bisogna trovare anche l'equazione del piano (che lega t' e t) e poi fare sparire t in modo da avere una curva nel piano x,y. Pensaci bene e sparisce anche t' perché è una costante e la puoi mettere uguale a un numero qualsiasi... Qualsiasi piano taglia il cono secondo una curva che rimane la stessa, a parte allargarsi o stringersi a seconda di dove scegli l'istante t'.

    Prova a fare la figura e vedrai che tutto diventa abbastanza semplice... Il problema (almeno per me) è stato arrivare all'equazione canonica dell'ellisse finale, ma sono convinto che si possa fare più rapidamente.

  7. Umberto

    si, va bene ; il cono è l stesso. io pensavo che a seconda del sistema di coordinate l'equazione dovesse essere sempre un cerchio, poi la trasformazione da uno all'altro generasse un ellisse.  Altre idee semplici non ne ho. Penso che altri smetodi generino calcoli complessi; poi se lo dici tu che li hai fatti..

  8. nessun problema Umberto... non posso fare la figura per non aiutare troppo...

    ma pensa solo a quello che ho detto prima: sei d'accordo che y = y'. OK?

    Ma se x2 + y2 = t2 = cost.  è un cerchio

    per essere un cerchio anche x'2 + y2 = t'2 = cost

    dovrebbe essere  x' = x e t = t'

    Comunque, aspettiamo Paolo o Mau o Arturo o Mr. X :wink:

  9. Umberto

    Non era propriamente quello che volevo dire io. Si, aspettiamo le conclusioni anche degli altri, altrimenti diventa una discussione privata. alla fine vedrò se trovo  altre idee; come sai non mi piace fare troppi calcoli.

  10. Arturo Lorenzo

    Io devo premettere la mia ancora insufficiente dimestichezza con lo spaziotempo di Minkowski, per cui mi limito ad interessarmi del solo aspetto geometrico.

    L'intersezione di un cono con generatrici inclinate di 45° (come il cono di luce) con un piano parallelo all'asse y e inclinato rispetto all'asse x di un certo angolo si ottiene mettendo a sistema l'equazione cartesiana del cono con quella del piano:

    x^{2}+y^{2}-t^{2}=0         (equazione del cono di luce)

    t=mx+q                   (equazione del piano)

    Sostituendo a t  nella prima equazione la sua espressione ricavata dalla seconda e dopo qualche passaggio ottengo:

    x^{2}+\frac{y^{2}}{1-m^{2}}-\frac{2mq}{1-m^{2}}x=\frac{q^{2}}{1-m^{2}}

    Se ora guardo il termine di secondo grado e di primo grado della variabile x, la presenza in quest'ultimo del fattore 2 mi farebbe pensare al quadrato di un binomio, se solo ci fosse anche il termine

    \frac{m^{2}q^{2}}{(1-m^{2})^{2}}

    Beh, basta aggiungerlo e sottrarlo  all'equazione suddetta :wink: che quindi diventa:

    x^{2}+\frac{y^{2}}{1-m^{2}}-\frac{2mq}{1-m^{2}}x+\frac{m^{2}q^{2}}{(1-m^{2})^{2}}-\frac{m^{2}q^{2}}{(1-m^{2})^{2}}=\frac{q^{2}}{1-m^{2}}

    Ora, il primo , terzo e quarto termine del primo membro compongono effettivamente il quadrato del binomio

    (x-\frac{mq}{1-m^{2}})

    mentre il quinto termine al primo membro non serve più per cui lo porto al secondo. Riscrivo allora, dopo qualche passaggio, l'equazione come:

    (x-\frac{mq}{1-m^{2}})^{2}+\frac{y^{2}}{1-m^{2}}=(\frac{q}{1-m^{2}})^{2}

    Divido ora tutto per il termine al secondo membro:

    \frac{(x-\frac{mq}{1-m^{2}})^{2}}{(\frac{q}{1-m^{2}})^{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{q^{2}}{(1-m^{2})}}=1

    A questo punto posso allora dire che, se non ho sbagliato qualcosa nei conti, confrontanto la suddetta equazione con quella di cui occorre determinare i tre parametri, si ha :

    x_{o}=\frac{mq}{1-m^{2}}

    a=\frac{q}{1-m^{2}}

    b=\frac{q}{\sqrt{1-m^{2}}}

    Si tratterebbe ora di sostituire ad m e q il loro significato fisico relativo allo spaziotempo di Minkowski. q ha a che fare con il tempo, m ha a che fare con la velocità v.

    Giusto per visualizzare il discorso dell'intersezione di un cono con un piano inclinato, allego un'immagine ricavata con geogebra.

  11. Paolo

    Caro Enzo vediamo se ho imboccato la strada giusta... :roll: 

    Innanzitutto mi aiuto con un diagramma di Minkowski, in cui ho fissato β = 0,6

    Nella figura i piani sono visti di taglio (comunque deve valere che y=y').

    Ovviamente gli eventi non sono simultanei per entrambi i sistemi dato che visto dal sistema fermo, il sistema in movimento taglia il cono di luce in tempi diversi (misurati con i suoi orologi t), mentre il sistema fermo taglia il cono di luce nello stesso tempo t.

    D'altronde, per il sistema in movimento, è lui quello che taglia il cono di luce nel medesimo tempo t'=1, solo che ciò che è simultaneo per lui non lo è per il sistema fermo.

    Per prima cosa ho provato a verificare se il disegno soddisfa l'equazione del piano t'=1, ossia:

    t’ = γ(t – βx)

    1 = γt – γβx

    1 + γβx = γt

    t = 1/γ + βx

    Parto con x0 = 0, ossia l'asse del tempo t.

    t = 1/γ + βx = 1/γ + β (0)

    t = 1/ γ

    γ = 1/√(1- β²) = 1/√(1-0,6²) = 1,25

    1/ γ = 1/1,25 = 0,8

    t0 = 1/ γ = 0,8

    Lo stesso risultato della figura.

    Per trovare le coordinate del punto di intersezione tra il piano t' ed il cono di luce (a destra), basta ricordare che la retta che descrive quella parte del cono di luce è uguale a t = mx con m=1, t=x

    1 = γt – γβx

    1 = γt - γβt

    1 = γt (1-β)

    t2 = 1/γ(1-β)

    t2 = 1/1,25 (1-0,6) =1/0,5 = 2

    Quindi il punto di intersezione del cono di luce a destra è t=2 e quindi anche

    x2 = 1/γ(1-β) = 2 (dato che per la luce t=x).

    Lo stesso tempo t e le stesse coordinate x indicate nella figura.

    Infine per trovare le coordinate del punto in cui il piano t' incrocia il cono di luce (a sinistra), basta porre

    t = -x:

    1 = γt – γβx

    1 = γt + γβt

    1 = γt (1+β)

    t1 = 1/γ(1+β)

    t1 = 1/1,25 (1+0,6) =1/2 = 0,5

    Quindi il punto di intersezione del cono di luce a sinistra è t=0,5 e

    x1= -0,5 (t =-x)

    x1= -1/γ(1+β) = -0,5

    Anche in questo caso il risultato trovato è lo stesso riportato nel grafico.

    Quindi gli eventi che per il sistema in movimento avvengono simultaneamente al tempo t'=1 non sono affatto simultanei per il sistema fermo, poiché corrispondono a tempi t diversi..

    A questo punto ho provato a realizzare una seconda figura, considerando che un piano orizzontale che taglia un cono genera un cerchio, mentre un piano perpendicolare che taglia un cono in due parti genera un ellisse (se la curva si apre ulteriormente si genera una parabole e poi due iperboli)...

    Il cono ovviamente è quello di luce..


    Il cerchio del piano t (sistema fermo, o meglio solidale con O), si trasforma in un ellisse sul piano inclinato t'=1.

    Il punto equidistante dal cono di luce si muove con O lungo l'asse del tempo t, ma se questo è perfettamente al centro di un cerchio per il sistema fermo, per quello in movimento il punto di fuoco si è spostato di una certa quantità che dipende dalla velocità del sistema in movimento, misurata da quello fermo.

    Se considero l'ellisse che si è formata sul piano t', si potrebbe dire che x0 non è altro che il punto di fuoco xf. che si trova sempre lungo l'asse del tempo t... d'altronde l'asse del tempo t è quello in cui tutti i punti hanno valore x0.

    Per trovare il valore del semiasse maggiore dell'ellisse, provo a considerare i valori di intersezione tra il piano t' ed il cono di luce trovati prima.

    Prima avevo trovato che le due intersezioni tra il cono di luce e il piano t' erano date da:

    x2 = 1/γ(1-β)

    x1 = -1/γ(1+β)

    La loro distanza è data da:

    x2 – x1 = 1/γ(1-β) (-) -1/γ(1+β)

    x2 – x1 = (1+β) +(1-β)/γ(1-β) (1+β)

    x2 – x1 = (1+β +1-β)/γ(1-β) (1+β)

    x2 – x1 = 2/γ(1-β²)

    ma (1-β²) = 1/ γ²

    x2 – x1 = 2/γ 1/ γ² = 2γ²/γ

    x2 – x1 = 2γ

    Dunque se l'asse maggiore dell'ellisse è uguale a 2γ il semiasse maggiore è uguale a:

    semiasse maggiore a = 2γ/2 = γ

    A questo punto provo a trovare di quanto è spostato il punto di fuoco (che sta sull'asse del tempo t) rispetto al centro dell'ellisse sul piano t'...

    Visto dal sistema fermo al tempo t=0 anche t' era uguale a zero, poi O si è spostato lungo l'asse t per il sistema fermo e lungo l'asse t' per il sistema in movimento, perciò la quantità di cui si è spostato dipende dalla velocità del sistema in movimento, ossia:

    Δx = β Δt

    ma l'intervallo di tempo Δt deve “corrispondere” a Δt' = (1-0) = 1

    perciò applicando la trasformazione del tempo si ottiene:

    Δt = γ Δt'

    Δx = β Δt' γ

    quando Δt'=1

    Δx = β γ

    Δx = β γ = 0,6 * 1,25 = 0,75

    proprio come nella figura...

    Quindi la distanza tra il centro dell'ellisse ed il fuoco (vedi ellisse: ae = c) dovrebbe essere uguale a: ae = c = βγ

    A questo punto, sempre che sia corretto il ragionamento, per trovare il semiasse minore dell'ellisse posso usare il rapporto tra a e c, ossia:

    b² = a² - c²

    sostituisco i valori trovati prima:

    b² = γ ² - β ² γ ²

    b² = γ ² (1 - β ²)

    ma (1 - β²) = 1/ γ ²

    b² = γ ²/ γ² =1

    a questo punto sostituisco i valori trovati nell'ellisse di partenza:

    (x – x0)²/a² + y² /b² = 1

    (x – xf)²/ γ² + y² /1² = 1

    (x – xf)²/ γ² + y² = 1

    Non sono molto convinto di tutti i passaggi :roll: , perciò il risultato è tutto da verificare... :roll: 

    Paolo

  12. carissimi,

    a occhio direi che la strada è quella giusta, tranne  -forse- qualche piccolo aggiustamento.

    In poche parole vorrei un risultato in cui comparissero solo β e ϒ (oltre che x e y)... un piccolo sforzo in più... (Arturo, da quel poco che vedo alla fine, temo ci sia qualcosa di sbagliato, ma non ne sono sicuro...)

    Beh... come antipasto direi che è andata piuttosto bene, ora voglio il piatto presentato in bella mostra  :-P

  13. Arturo Lorenzo

    Dal punto di vista esclusivamente geometrico, sembrerebbe che i conti siano corretti. Ho verificato e l'ellisse che ottengo sul piano xOy è esattamente la proiezione ortogonale dell'ellisse ottenuta intersecando il cono con il piano inclinato. Temo, se c'è qualcosa di sbagliato, che sia a monte, ossia nell'applicazione della geometria solida allo spaziotempo di Minkowski. Attendo l'esito finale per capirne di più.

  14. Umberto

    (molto) a fatica sono riuscito a fare questo disegno; io i conti li avevo poi fatti in funzione di v, visto che c=1 e mettendo t come parametro.ma inutile scriverli se in ragionamento non è giusto. Ho fatto la figura  tanto per capire se stiamo parlando della stessa cosa. l'ellisse da  me considerata è quella blu, ed è sul piano (x',y') che corrisponde ad un piano di simultaneità , ed è l'intersezione fra piano e cono di luce ; il centro dell'ellisse sembra proprio l'asse dei tempi t'; l'ellisse sul piano euclideo avrà una certa equazione;  tu vuoi l'equazione di tale ellisse in coordinate (x,y) per un certo t fissato?

  15. caro Arturo...

    per essere sicuro, potresti mettere al posto di m e q i valori corrispondenti in funzione di beta e gamma?

     

    caro Umberto,

    io vorrei la proiezione dell'ellisse blu sul piano x,y (che non è quella tratteggiata, ovviamente).

     

    caro Paolo,

    mi basta solo che tu mi dica quanto vale xF e poi vediamo...

  16. Arturo Lorenzo

    dovrebbe essere:

    m=\beta

    e

    q=\frac{1}{\gamma }

    a queste espressioni giungo partendo dall'equazione del piano che hai pubblicato nell'articolo:

    t{'}=\gamma (t-\beta x)

    ponendo {t}'=1, esplicitando rispetto a t e confrontandola con l'equazione cartesiana del piano inclinato pubblicata nel mio primo commento.

    A questo punto posso calcolare anche x_{o}, che a conti fatti risulta pari a \beta \gamma

     

  17. Arturo Lorenzo

    Quindi, in definitiva, a me risulta:

    x_{o}=\beta \gamma

    a=\gamma

    b=1

  18. umberto

    se provo a sostituire a t' il valore 1,(penso bisognerebbe mettere un k generico così i semiassi vengono parametrizzato con k )invece che gamma mi viene il reciproco. Ho controllato tutti i calcoli e anche quelli di Arturo mi sembrano giusti. Il procedimento è diverso ma im fin dei conti usa sempre lorentz

  19. umberto

    scusate, la formula é nel primo commento che ho fatto

  20. Umberto... nella tua formula, a parte il gamma invertito, vedo ancora un t e un t'. Sei sicuro che siano entrambi corretti?

    aspettiamo ancora Paolino... :wink:

  21. Paolo

    Torno or ora dal lavoro...  se non ho capito male quel famoso X0 dovrebbe valere quello che ho definito

    Δx = β γ... :roll: 

    Paolo

  22. bene ragazzi... molto bene!!!!! domani ci sentiamo in privato per scegliere il metodo analitico migliore e più veloce... beh... siete veramente bravi...

  23. Club dei Maghi

    t'=1 o meglio t'=k; per come ho inteso io , t=\gamma t'=\gamma ; xo verrebbe v\gamma;

    espressa genericamente in k:

    \frac{(x-kv\gamma )^{2}}{1/k^{2}\gamma ^{2}}+y^{2}=1

    Il ragionamento non mi sembra sbagliato, ma comunque penso che come metodo vada meglio quello di Arturo. oltretutto non possono essere entrambi giusti

  24. Umberto

    scusate, ero collegato come club dei maghi. L'ultimo commento è mio.

  25. perfetto Umberto. La soluzione è sempre la stessa ed è sempre quella giusta!

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