10/11/17

Soluzione del quiz "il gatto e il topo"

Soluzione del quiz "Il gatto e il topo"

Devo proprio dire che sono ultra soddisfatto per la partecipazione e le idee nuove espresse nei commenti; Fabrizio (qui) ha praticamente anticipato la mia soluzione, mentre Vincenzo (qui) ne ha trovata un altra in modo originale e molto ingegnoso. Comunque grazie a tutti quanti , e in particolare a Maurizio che è stato un vero trascinatore. Qui il quiz con tutti commenti.

QUIZTOPO

Soluzione facile e intuitiva.

Ricordo brevemente il quesito: un topo vaga in modo casuale fra delle scatole collegate da delle porticine.Inizialmente il topo si trova nella scatola 2; il gatto è fermo nella scatola 5, da dove non si può muovere. Dobbiamo calcolare la possibilità di salvezza del topo.

Col primo spostamento il topo va in 1 con probabilità 1/2, ed allora è salvo, oppure, ancora con probabilità 1/2, va in 3 e muovendosi da questa scatola, che è equidistante (2 spostamenti) sia da 1 che da 5, ha uguale probabilità, cioè 1/2, di arrivare in 1, dove è salvo, oppure in 5 dove viene mangiato.

Si può rappresentare questo susseguirsi di eventi con l'ausilio di quello che in matematica si chiama grafo:

albero

Per calcolare adesso la probabilità di salvezza, basta sommare la probabilità dei due eventi (che sono disgiunti) ovvero delle due alternative,. Chiamiamo P(S) la probabilità di salvezza.

P(S)=1/2+1/2*1/2=3/4. Allo stesso modo , possiamo vedere che , chiamando P(M) la probabilità di morte, P(M)=1/2* 1/2=1/4. Quindi P(S)+P(M)=1

Qualcuno giustamente ha obiettato: e se il topo vagasse avanti indietro fra 2 e 4 senza mai andare in 1 o 2? Questo evento ha però probabilità nulla.Possiamo anticiparlo anche così; ci sono tre eventi logicamente possibili: S salvezza, M morte, AI andare avanti indietro, senza salvarsi nè morire. Sono tre eventi disgiunti, quindi la somma delle tre probabilità deve dare 1, cioè  P(S)+P(M)+P(A)=1. Ma abbiamo già visto che  P(S)+P(M)=1, quindi P(AI)=0.

Tutto quello che ho scritto è strettamente intuitivo; per una dimostrazione rigorosa , per chi vuole, ho preparato una dimostrazione formale.

Soluzione "difficile"

Per risolvere completamente il  problema senza che rimanga alcun dubbio sulla possibilità che il topo vada  avanti e indietro senza mai raggiungere la salvezza, dobbiamo fare dei calcoli un po' più complessi, trovare sia la probabilità di salvezza che quella di soccombere.Generalizziamo   il problema, in quanto ci servirà in futuro. Supponiamo di schematizzarlo  in questo modo; su una retta orientata indichiamo con 0 la posizione iniziale di un segnaposto, una bandierina, che può andare a destra sinistra casualmente, con la stessa probabilità 1/2.  a e b sono due numeri  interi che rappresentino la distanza dall'origine di due posizioni di arrivo. Vogliamo esprimere , data una generica posizione x, la probabilità che da lì si  arrivi in a o in b . Se si arriva in a  a o in b il "gioco" finisce. Chiaramente x è un numero intero, compreso fra -b e a.

Chiamiamo P(0) la probabilità di arrivare in a partendo da 0. Vogliamo trovare P(0)Per far ciò dobbiamo trovare una espressione ricorrente per P(x).

Se mi trovo in x, la probabilità di salvezza posso ottenerla con due alternative, sfruttando la probabilità di arrivare in a da  x+1 e x-1, P(x+1), P(x-1):

  1. P(x)=P(x+1)*1/2+ P(x-1)*1/2 .Cattura

Mi soffermo su questa formula, per vedere di spiegarla bene. Mi trovo in x; con probabilità 1/2 posso andare in x+1; quando sono lì arrivo in a con probabilità P(x+1); altrimenti da x, sempre con probabilità 1/2, posso andare in x-1; da qui arrivo in a con probabilità P(x-1). Compongo queste due alternative ottenendo proprio la 1.P(x)=P(x+1)*1/2+ P(x-1)*1/2 .

Se mi trovo in -b, la probabilità di andare in a è nulla, ovvero P(-b)=0 (e il gioco finisce) mentre  in a tale probabilità è 1, quindi P(a)=1. Sfruttando queste due condizioni,e l'equazione 1)  vogliamo trovare il valore di P(0), ovvero la probabilità di arrivare in a partendo dalla posizione zero (0). E qui ci aspettano dei calcoli , e dei trucchetti.

Proviamo a trovare P(-b+1) usando la 1) che andiamo prima a modificare.

P(x+1)*1/2+ P(x-1)*1/2 =P(x)

P(x+1)+ P(x-1)=2*P(x)

P(x+1)=2*P(x)-P(x-1)

allora:

P(-b+2)=2*P(-b+1)+P(-b)

ma essendo P(-b)=0

P(-b+2)=2*P(-b+1)

poniamo P(-b+1)=z

P(-b+2)=2*z

P(x+1)=2*P(x)-P(x-1)

P(-b+3)=2*P(-b+2)-P(-b+1)=2*2*z-z

P(-b+3)=3*z

.

.

P(-b+i)=i*z 2)

sfruttiamo adesso il fatto che P(a)=1

1=P(a)=P(-b+a+b)=z*(a+b)

quindi z=1/(a+b)

Troviamo adesso P(0).

P(0)=P(-b+b)

per la 2), sostituendo b a i:

P(0)=z*b=b/(a+b)

Abbiamo quindi trovato una espressione generale per il nostro problema.

Adesso vogliamo trovare Q(0), ovvero la probabilità di arrivare in b.  Vista la simmetria basta 

scambiare a con b e si ha che tale probabilità che indichiamo con Q(0), è data da:

Q(0)=a/(b+a)=a/(a+b)

se sommiamo le due probabilità otteniamo:

P(0)+Q(0)=b/(a+b)+a/(a+b)=(a+b)/(a+b)=1

abbiamo quindi due eventi disgiunti, la somma delle loro rispettive probabilità è 1,quindi altri casi non ci possono essere. Ma allora il topo o muore o si salva, non può vagare avanti e indietro per le scatole.

Ma torniamo adesso al calcolo del valore della probabilità nel nostro caso.

b=1, a=3, Q(0)=3/4; Quindi abbiamo accontentato anche Maurizio trovando una espressione generale. se il gatto si trova al centro, a=b la probabilità di salvarsi è 1/2; più si sposta verso il gatto, maggiore è la probabilità di soccombere.Questo naturalmente se resta costante il numero di scatole.

6 commenti

  1. leandro

    Quesito interessante: se il topo vagasse avanti indietro fra 2 e 4 senza mai andare in 1 o 2?

    Tratandosi di passeggiata "random" , è noto che

    "una particella con uguali probabilità di movimento a destra e sinistra lasciata libera di camminare casualmente all'infinito con grande probabilità torna infinite volte al punto da cui è partita".(cfr wikipedia).

    La camminata parte da 2 per cui il topo tornerebbe infinite volte in 2 (se non va in bocca al gatto) ma allora infinite volte avrebbe una prob. =0.5 ,quindi tendente a infinito, di uscire indenne. Caso analogo se si trovasse, nel suo girovagare , momentaneamente nella casella 4, stavolta però sarebbe spacciato.
    Se si trovasse nella casella 3 la sua probabilità di uscire o essere mangiato sarebbe 1/4 ma comunque sempre un numero infinito di volte.

    Schroedinger avrebbe detto che il "topo" è 3/4 vivo e 1/4 morto eh eh eh .

  2. Forse non ho capito... ma non mi torna. Ogni volta che il topo arriva in 2 o in 4, dimezza la probabilità di tornare verso 3  e quindi la probabilità continua a scendere tendendo a zero. O sbaglio?

  3. umberto

    mi dispiace che non si capisca bene la dimostrazione che vagare fra 2 e 4 non e qualcosa di logicamente impossibile..ma ha probabilità nulla. Eppure mi sembra che sia specificato bene bella soluzione

  4. maurizio bernardi

    Direi che ogni volta che il topo torna nella casella da cui è partito, (la 2) giungendovi dalla 3 o dalla 4 , lo fa con il 50% di probabilità per quella specifica scelta. Ma la storia delle N scelte precedenti grava sulla probabilità che possa essere giunto in quella situazione con un fattore 0,5^N, quindi quanto più si procede, tanto più si attenua la probabilità di tornare nella casella 2 e proseguire il circolo vizioso.

    E' vero che i ritorni sono infiniti, ma la probabilità va annullandosi.

    Se non mi sono espresso chiaramente chiedo a Umberto di correggermi.

  5. umberto

    se lanciamo indefinitamente una moneta l' evento "esce sempre testa" non è logicamente impossibile..ma nella schema di ripetizione la probabilità è un p elevato alla n, ed essendo p minore di 1 la probabilità per n tendente a infinito è nulla.questo fa parte sempre degli articoli sul paradosso di Borel

  6. leandro

    La questione è sottile. In probabilità non si fanno mai affermazioni certe del tipo: non arriverà mai o tornerà sempre ma la corretta affermazione è "con grande probabilità, ecc ecc" e questa è la differenza significativa. Niente è certo in questo mondo, però se certi eventi sono molto improbabili, presumibilmente mai nessuno li vedrà. Quando Zermelo fece la sua critica a Boltzmann su un argomento simile , il Grande rispose che "un evento simile, pur possibile, non si sarebbe mai visto in natura" (anche se la questione rimane tuttora aperta).

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