7/01/18

QUIZ: un viaggio su Alpha Centauri (e tante discussioni conseguenti) **

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

 

Il quiz che vi propongo è banalissimo, ma si riferisce al paradosso dei gemelli, gioia e dolore di molti appassionati. La soluzione è quasi immediata, ma noi ne approfitteremo per tornarci sopra e discuterne con calma, per cercare di eliminare qualsiasi concetto sia rimasto ancora un po’ confuso. Soprattutto, vedremo l’importanza della simultaneità, del significato di sistema di riferimento e del ruolo che gioca la velocità della luce.

L’osservatore G parte da una piattaforma spaziale e viaggia alla velocità v = 0.8 c verso Alpha Centauri, che dista dalla piattaforma 4 anni luce. Quando raggiunge la stella, inverte subito la rotta e ritorna alla piattaforma, sempre alla stessa velocità. Quando G ritorna alla piattaforma, confronta la sua età con quella del fratello gemello G, che è sempre rimasto sulla piattaforma. Quali sono le età di G e G’, se al momento della partenza avevano 30 anni ?

Notiamo bene che vogliamo che i due gemelli si incontrino realmente (distanza tra loro = 0).

 

QUI la prima parte della soluzione (quella seria)

QUI tutti (o quasi) gli articoli riguardanti il paradosso dei gemelli

12 commenti

  1. Andy

    Se G' viaggiasse alla velocità della luce, impiegherebbe (solo andata) 4 anni per raggiungere Alpha Centauri , ma siccome viaggia a 0,8 c, per coprire la stessa distanza impiega 4/0,8 = 5 anni, più altrettanti per il ritorno.

    Applicando la formula della contrazione dei tempi (o dilatazione, a secondo dei punti di vista):

    t(G) = t(G')/(1 - (0,8)^2)^(1/2)

    ovvero t(G)=10/(1 - (0,8)^2)^(1/2) = 16,67 anni

    Quando i 2 gemelli si riabbracceranno,

    G rimasto a terra avrà 30 + 16,67 = 46,67 anni

    G' gemello in movimento, 30 + 10 = 40 anni

    Morale della storia, il tempo di che corre scorre più lentamente del tempo di chi guarda correre senza "muoversi", quindi se vuoi invecchiare più lentamente, corri :mrgreen:

  2. Paolo

    Caro Enzo, sarò volutamente sintetico per lasciar spazio ad altri.

    Il gemello rimasto a Terra al ritorno del fratello avrà 40 anni, mentre il gemello astronauta ne avrà 36.  :roll:

    Paolo

  3. Andy

    Oppure il tempo misurato sulla Terra è 10 anni, quello misurato sull'astronave è 10*(1-(0,8)^2)^(1/2) = 6 anni? :roll:

  4. Umberto

    Volevo  provare  a fare il calcolo in altro modo, tanto per cambiare . Sappiamo intanto che se v=0.8, \gamma =\frac{5}{3};

    Alpha dista 4 anni luce, ma gli astronauti che viaggiano alla velocità v,dicono che il viaggio è più corto. e precisamente \frac{4}{\gamma }=4\cdot \frac{3}{5}=2.4; quindi il tempo per arrivare ad Alpha, che sarà poi uguale a quello per tornare, è t=2,4/0,8=3. Supponiamo che per confrontare  i loro tempi propri, gli astronauti decidano di lanciare un segnale luminoso  (o radio) ogni anno sulla terra.

    Guardando il disegno (che scusate, non è un granchè come proporzioni), vediamo gli impulsi mandati dall'astronave sia all'andata che al ritorno ad ogni intervallo t=1.  La differenza fra andata e ritorno è che i segnali arrivano più tardi sulla terra all'andata, e più velocemente al ritorno a causa dell' effetto doppler relativistico. Il fatto che nei due casi il tempo sull'astronave sembra scorrere più velocemente o più lentamente non c'entra niente con la dilatazione dei tempi, è dovuto solo all'effetto doppler.Calcoliamo  il fattore K rapporto fra tempi di emissione  e ricezione (vedi  http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2017/05/16/laberrazione-luminosa-quella-annua-un-viaggio-astronave/) la cui espressione è k=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}=\sqrt{\frac{1,8}{0,2}}=3 all'andata, mentre al ritorno k=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}=\sqrt{\frac{0,2}{1,8}}=1/3

    quindi all'andata sulla terra misuriamo un tempo 3+3+3 fino all'inversione, poi 1/3+1/3+ 1/3 al ritorno

    Questo è il tempo totale passato sulla terra. ed è uguale  9+1=10. mentre il viaggio come già detto 3+3=6

    Quindi come età abbiamo ancora 40 e 36 per le età dei gemelli.

    Sembra quasi di non aver usato la dilatazione dei tempi;in realtà è l'effetto doppler che tiene già conto di tempi propri. Spero non essere andato fuori dal seminato, ma mi piacerebbe che nelle discussioni che seguiranno ci fosse anche il doppler relativistico, come applicato in questo caso.

  5. Tu dici bene Umberto ed è proprio quello che avevo fatto presente a quel lettore di cui non mi ricordo il nome. Avevo già studiato in questo modo il paradosso (lo riprenderò nella risposta), ma non lo gradisco proprio perché si mischia la RR con un effetto di fisica classica (effetto doppler). Come dici tu è solo girare attorno al problema...

    Nella RR quello che conta è dilatazione e contrazione, le quali cose si ripercuotono sull'effetto doppler relativistico, come viene spiegato anche nell'articolo che menzioni tu...

    Comincia a guardare nell'approfondimento su Minkowski, il capitolo:

    Manteniamo il contatto visivo e il paradosso si dissolve

    e le varie figure (da 24 a 29) con le conclusioni relative...

    Direi che è proprio quello che chiedi tu.....

  6. Umberto

    Non piace neanche a me..però putroppo molti lo usano e bisogna conoscerlo lo stesso. Sai che a me piace solo dimostrarlo con l integrale di linea. Del resto ho trovato testi che dimostrano tutte le formule e concetti della relatività partendo dall effetto doppler (calcolano il fattore k partendo dalle coordinate radar). Questi sono i miei veri dubbi? Quale metodo e meglio usare?

  7. Personalmente io propendo per una RR basata sulla relatività della simultaneità, da cui seguono dilatazione e contrazione. Poi seguono tutti gli effetti collaterali. Però, so benissimo che ci sono mille modi per arrivare a bomba. Anch'io penso (e lo scriverò, che l'invariante spazio temporale sia il metodo migliore, ma comporta una conoscenza più approfondita di Minkowski. In ogni modo, parlerò di un po' di tutto nella risposta...

    Penso che, in fondo, l'importante è capire che il tempo e la lunghezza non possono essere valori assoluti. Credo che l'esempio del muone sia la più bella verifica.

  8. umberto

    ok allora attendo la soluzione così capirò qual era il risultato del quiz. Strano tu di solito non ti accontenti di numeri senza alcun significato.

  9. Cercherò di dare tutte le spiegazioni del caso... nei limiti ammissibili...

  10. Simone Lotti

    Provo a rispondere al quiz, in modo conciso.

    Ovviamente considero istantanee le accelerazioni, cosa che nella realtà non è fattibile.

    Il gemello che sta fermo sulla piattaforma vede il viaggiatore percorrere 4+4 anni-luce di spazio.

    Viaggiando alla velocità di 0.8C andata e ritorno sono 8/0.8 ovvero 10 anni di tempo.

    Per il gemello sedentario passano 10 anni, ovvero al ritorno dell’astronauta, ha 40 anni.

    Di conseguenza il tempo del viaggiatore viene misurato dal gemello sedentario in modo rallentato (dilatazione dei tempi).

    Se il fattore di Lorentz è di 1.66, si ha che il tempo vissuto dal viaggiatore, misurato dal gemello fermo sulla piattaforma, è di 10/1.66 ovvero 6 anni.

    Al ritorno l’astronauta ha 36 anni.

    Se invece analizziamo la cosa dal punto di vista del viaggiatore si ha quanto segue.

    Il tempo del viaggiatore scorre regolarmente, ma il percorso che compie non è più 8 anni luce, ma 8/1.66 ovvero 4.81 anni luce (contrazione delle lunghezze), dato che lui si sente fermo ed è tutto il resto che si muove.

    Quindi viaggiando a 0.8C impiega 6 anni, ovvero al ritorno ha 36 anni.

    Dal suo punto di vista è il tempo del gemello fermo sulla piattaforma a scorrere più lentamente (dobbiamo mantenere la simmetria).

    Quindi se per il viaggiatore passano 3 anni nell’andata e 3 nel ritorno, lui misura che per il gemello fermo passano 1.8 anni nell’andata e 1.8 nel ritorno, totale 3.6 anni.

    Ma il viaggiatore è l’unico a cambiare sistema di riferimento, per cui cambia la percezione della simultaneità nel momento dell’inversione di rotta.

    Nella fattispecie dal suo punto di vista il gemello sulla terra segnava 31.8 anni prima dell’inversione, e 38.2 anni dopo l’inversione.

    L’evento simultaneo sulla piattaforma dopo l’inversione del moto, visto dal viaggiatore, è diverso dall’evento di un istante prima di invertire il moto.

    Quindi 38.2 più 1.8 anni per il ritorno si ha che per il gemello sedentario sono passati 40 anni.

    In pratica entrambi i gemelli concordano sulle età, e concordano che comunque il tempo dell’altro gemello scorre più lentamente del proprio, ma alla fine solo uno risulta essere più giovane.

    :wink:

  11. A parte la prima versione di Andy, il problema mi sembra afferrato bene. Tuttavia, nella prima risposta che darò vorrei proporvi un metodo ancora diverso (apparentemente)... sempre che non sia una "bufala"... voglio esserne sicuro! Sembrerebbe fin troppo banale...

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