Mag 19

QUIZ geometrico: uno strano terreno **

Pippo, Pappo e Peppa si sono comprati degli appezzamenti di terreno per costruirsi tre casette separate. Purtroppo, la forma totale ABECD non è certo l’ideale per essere diviso equamente.

I nostri tre amici hanno già misurato tutti gli angoli più importanti e gliene mancano solo due, che non sembrano proprio mostrare grandi difficoltà di calcolo (ABE e BEA).

trecasette

Prima di eseguire gli ultimi calcoli, ecco giungere, senza preavviso alcuno, il padrone del terreno che confina con i lati BE ed EC. Indovinate chi è? Sì, è lui, proprio lui… il malefico Prof. Nobody.

Il suo sorriso mefistofelico non lascia dubbi: ne sta preparando una delle sue…

Si rivolge ai nostri tra amici e dice: “Sono disposto a regalarvi una parte del mio terreno per aiutarvi nella divisione. Prima, però, dovrete risolvere un piccolo problema di geometria. Nel caso che non ci riusciate mi prenderò tutto il vostro terreno e mi costruirò un campo da golf! Accettate la proposta?”

Peppa, Pappo e Pippo ci pensano solo un attimo e poi all’unisono rispondono: “Sicuramente sì! Esponici il problema…”

“Bene” dice Nobody, “è molto semplice: tracciate il segmento BC e il triangolo BEC sarà vostro. Basta solo che mi diciate, senza fare calcoli trigonometrici e solo lavorando sulla mappa, quanto valgono gli angoli EBC ed ECB …”.

Pappo, Peppa e Pippo si mettono a ridere. Conoscono così tanti angoli che sarà veramente un gioco da ragazzi dare la risposta.

Ma è proprio così “facile?”. Forse no, anche se alla fine i nostri amici riescono a rispondere esattamente usando due strategie diverse.

Trovatele anche voi (magari ce ne sono anche altre), ma, mi raccomando… senza usare formule trigonometriche!

Maghi e affini aspettate un paio di giorni... chissà che non si muova un silenzioso inaspettato... grazie!

 

Le soluzioni sono molteplici, QUI ne trovate alcune

31 commenti

  1. leandro

    Tracciata la parallela a FG ad AC,
    l'angolo AFD=80 (è corrispondente a BAE) .
    ECD=60 per la somma degli angoli di ACD.
    Segue CDG =60 (alterni interni).
    Segue ADF=20.
    Segue FAD=80 quindi il triangolo ADF è isoscele,
    quindi AD=FD .

    Teorema della bisettrice applicato al triangolo ADC (la bisettrice è DE che spicca due angoli uguali di 50):
    AD: DC = AE:EC (1)

    Invece di Talete utilizziamo il fatto che
    ABE è simile a FBD avendo due angoli corrispondenti uguali
    ABE=FBD, BAE=BFD

    quindi i lati corrispondenti sono in proporzione
    AE:FD = BE:BD (2)

    idem per i triangoli DBG e EBC ove l'angolo in comune è EBC (incognito)

    EC:DG = BE:BD (3)
    per la (2) uguagliando si ha
    AE:FD =EC:DG cioè

    AE:EC=FD:DG

    per la (1) allora

    AD:DC=FD:DG
    ma AD=FD quindi DC=DG
    CDG è equilatero e l'angolo DGC = CDG=60

    Da cui y=60 perché corrispondente a DGC.
    da cui DBG= 180-50-60-60 = 10

  2. bene, bene... grazie Leandro! Come vedi vi erano molti passaggi dentro una singola frase... :-P

  3. Andy

    Posto il mio secondo disegno con 2 aggiunte.

    Traccio la parallela ad AC' che chiamo JK;

    traccio la linea h (tratteggiata in rosso) perpendicolare a JK (e ad AC') passante per C:

     

    angolo DCE° = 90° - 60° = 30°    =>   GCO° = DCE° = 30°   (angoli opposti al vertice)

    il triangolo rettangolo GOC possiede così un angolo GCO° = 30°, il suo complementare OGC° = 90° - 30° = 60°;

    GOC è un triangolo rettangolo del tipo "30°, 60°, 90°", che è un particolare triangolo rettangolo dove l'ipotenusa è il doppio del cateto minore;

    ovvero GOC è la metà di un triangolo equilatero (CFG) avente per base (FG) il doppio del cateto minore del triangolo rettangolo GOC (FG = 2OG) e per altezza il cateto maggiore (OC) del triangolo rettangolo GOC;

    essendo CFG equilatero, l'angolo FCG° = 60°

     

    = 180° - C'CF° - GCF° = 180° - 60° - 60° = 60°

    = 180° - BEC° - 60° = 180° - 110° - 60° = 10°

     

    That's all folks :wink:

  4. Andy

    Scusate, errore di battitura :mrgreen: :

     = 180° - C'CG° - GCF° = 180° - 60° - 60° = 60°

  5. grazie Andy... lo inserisco senz'altro... :wink:

  6. caro Andy,

    stavo controllando la tua soluzione, ma... molte cose non mi tornano (o almeno non mi sono chiare...), Innanzitutto c'è un doppio E e crea confusione. Poi non capisco come tu possa dire" GOC è la metà di un triangolo equilatero (CFG) avente per base (FG) il doppio del cateto minore del triangolo rettangolo GOC (FG = 2OG) e per altezza il cateto maggiore (OC) del triangolo rettangolo GOC". Inoltre, a cosa serve tutta la costruzione a destra?

    Forse mi sono perso qualcosa, ma se dai per assodata una prima parte, ti chiederei di mettere tutto assieme...

    Grazie...

  7. caro Gianni,

    non so come mai, ma il tuo doppio commento era finito negli spam(?)... me ne sono accorto solo oggi...

    La tua dimostrazione potrebbe anche essere giusta, ma alcune cose vanno corrette:

    HECD non è detto che sia un rombo e potrebbe essere solo un parallelogramma... per come è stato costruito.

    Inoltre tu dici che:

    I triangoli DGL e ACB sono uguali

    e questo non mi torna proprio...

    Controlla meglio, anche se penso che il procedimento sia alla fine corretto, anche se può essere accorciato. L'idea del trapezio e delle due parallele è buona, ma cerca di scrivere per bene ogni singolo passaggio...

  8. Gianfranco28/08/16

    Provo a completare la dimostrazione che avevo iniziato, di quanto valgono gli angoli EBC ed ECB.

    Aggiungo alla mappa una retta parallela ad AD passante per B, e la perpendicolare a BD passante per C che interseca AD nel punto G.

    Traccio la retta passante per GE a ottenere il triangolo BFG.

     

    Si calcola prima l’angolo in a di 60°, poi l’angolo in b 40+20= 60°

    Si ottiene che il triangolo BFG è con gli angoli di 60°

    Osservando l’aquilone BCDG si ottengono gli angoli EBC 10° e ECB 60°.

  9. Gianfranco28/08/16

    Si dovrebbe tracciare anche la perpendicolare a BG passante per A e dimostrare che l’angolo di 120° si divide in due 60° e 60°

  10. Gianfranco28/08/16

    Per dimostrare che l’angolo di 120° si divide in due, bisogna tracciare anche una linea orizzontale e una verticale nel punto H.

    Considerando l’angolo noto in G di 60°, 180-120-30= 30°

  11. Beh... ringraziando Gianni, Giacomo e Andy per i loro sforzi, direi che potremmo concludere il quiz. Chissà quante altre soluzioni ci sono... :roll:  :wink:

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