8/06/18

Geometria dello spazio - settima parte (altri esempi di superfici di rotazione)

Nell'ultimo articolo sul tema ho fornito alcuni primi esempi, più semplici, di superfici di rotazione, come il cilindro ed il cono. Ci eravamo lasciati con l'annuncio che nel successivo articolo avremmo visto cosa viene fuori facendo ruotare attorno all'asse z una retta sempre inclinata di 45 gradi rispetto al piano coordinato xy, ma non passante per l'origine. Iniziamo dunque questo nuovo articolo rispondendo a questo interrogativo.

Abbiamo visto che facendo ruotare attorno all'asse z una retta passante per l'origine degli assi e inclinata di 45 gradi rispetto al piano coordinato xy, otteniamo una superficie conica con il vertice nell'origine degli assi. Se, invece, la retta che ruota attorno all'asse z non passa per l'origine, otteniamo una superficie di rotazione differente.

Applichiamo al solito il metodo illustrato a suo tempo per ricavare l'equazione di una qualsivoglia superficie di rotazione:

a) determiniamo una qualsiasi terna di parametri direttori dell'asse di rotazione. Anche stavolta, trattandosi dell'asse z, la terna di parametri direttori più semplice è (0,0,1)

b) consideriamo un qualsiasi punto appartenente alla curva che ruota intorno all'asse. Nel caso in argomento, la curva che ruota è una retta non passante per l'origine degli assi e inclinata di 45 gradi rispetto al piano coordinato xy. Consideriamo, per semplicità, la retta inclinata di 45 gradi rispetto al piano xy , passante per il punto di coordinate (5,0,0) e parallela al piano yz. Una tale retta sarà individuata dalle equazioni:

x=5   (tutti i punti della retta, poiché parallela al piano yz, saranno alla stessa distanza da questo, cioè avranno tutti la stessa coordinata x)

y=z   (la retta è inclinata di 45 gradi rispetto al piano xy, quindi tutti i suoi punti hanno la coordinata z uguale alla coordinata y)

Un qualsiasi punto P di tale retta avrà, dunque, coordinate (5, zp, zp). Troviamo ora l'equazione del piano passante per P e perpendicolare all'asse di rotazione (utilizzando i parametri direttori trovati in a):

0*(x-xp)+0*(y-zp)+1*(z-zp)=0

cioé:

z-zp=0               (1)

c) consideriamo un punto P0 qualsiasi dell'asse di rotazione e determiniamo l'equazione della sfera avente centro in P_{o} e raggio pari a \overline{PP_{o}} . Naturalmente, poiché anche stavolta l'asse passa per l'origine degli assi, per rendere semplici i conti, prendiamo come punto P_{o} proprio l'origine degli assi O(0,0,0). La sfera cercata, quindi, avrà equazione:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=x_{P}^{2}+y_{P}^{2}+z_{P}^{2}

cioè, ricordando le coordinate del punto generico P della retta r:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=25+z_{P}^{2}+z_{P}^{2}

cioé:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=25+z^{2}+z^{2}

quindi:

x^{2}+y^{2}-z^{2}=25             (2)

Questa è, dunque, l'equazione della nostra superficie di rotazione.

La rappresentazione grafica di tale superficie è quella visualizzata nella seguente figura. In essa è visibile la retta , di colore blu, la cui rotazione attorno all'asse z ha generato la superficie.

superfici di rotazione : iperboloide a una falda

Essa è definita "iperboloide di rotazione ad una falda". Perché "iperboloide" ? Se andiamo a sezionarla con il piano coordinato yz (di equazione x=0) otteniamo proprio un'iperbole. Basta mettere a sistema la (2) con l'equazione del piano secante:

\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-z^{2}=25 \\x=0 \end{matrix}\right.

da cui:

y^{2}-z^{2}=25

cioè:

\frac{y^{2}}{25}-\frac{z^{2}}{25}=1                 (3)

che è , appunto, l'equazione di una iperbole equilatera (a=b=5) appartenente al piano yz.

In pratica, la stessa superficie di rotazione ora ricavata facendo ruotare attorno all'asse z una retta inclinata di 45 gradi rispetto al piano xy e parallela al piano yz potremmo ottenerla anche facendo ruotare, sempre attorno all'asse z,  l'iperbole equilatera di equazione (3). Il risultato finale sarebbe sempre la (2).

Iperboloide di rotazione ad una falda era l'immagine animata che chiudeva la parte quarta di questa serie di articoli  e che riporto qui per comodità:

superfici di rotazione : animazione iperboloide

Ora abbiamo imparato come ricavarne la rappresentazione analitica.

A questo link potete visualizzare e manipolare il modello geometrico da me realizzato con geogebra. Noterete un punto celeste posto sulla retta. Facendoci click sopra con il mouse e tenendo premuto il pulsante, potrete spostarlo lungo la retta vedendo modificarsi la posizione del piano secante e della sfera di costruzione.

A questo link, invece, potete visualizzare lo stesso modello in 3D, servendovi degli occhiali anaglifici. Se in futuro il team di geogebra implementerà la tecnologia VR, potrebbe essere possibile entrare "dentro" l'iperboloide con un semplice visore di cartone come la cardboad di google. Per ora accontentiamoci degli occhiali anaglifici.

Perché iperboloide "a una falda" ? Perché ciò che otteniamo è un "pezzo" unico, pur se indefinitamente esteso. Esistono anche iperboloidi di rotazione a due falde, ottenuti sempre facendo ruotare un'iperbole equilatera attorno ad un asse, ma costituiti appunto da due "pezzi". In fondo,  avevamo incontrato una siffatta superficie di rotazione già in questo articolo, in cui eravamo partiti da una iperbole equilatera riferita agli asintoti e giacente sul piano xy. Nel nostro caso, vediamo cosa viene fuori, sempre seguendo il solito metodo, se facciamo ruotare l'iperbole equilatera di equazione (3) non più attorno all'asse z ma attorno all'asse y, di parametri direttori (0,1,0).

a) terna parametri direttori asse di rotazione: 0,1,0

b) punto P appartenente all'iperbole equilatera di equazione (3):  (0, y_{P},\pm \sqrt{y_{P}^{2}-25}) ; piano per P perpendicolare all'asse y di rotazione: y=y_{P}

c) sfera con centro nell'origine e passante per P: x^{2}+y^{2}+z^{2}=y_{P}^{2}+(y_{P}^{2}-25)

da cui:

x^{2}-y^{2}+z^{2}=-25

e questa ne è la rappresentazione grafica:

superfici di rotazione : perboloide a due falde

Nel prossimo articolo, faremo la conoscenza analitica di una ulteriore superficie di rotazione che ricorda tanto una ciambella..

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Quelli che seguono sono i links a tutti gli articoli di geometria solida sinora pubblicati, prima di questo:

  1. Introduzione alla geometria dello spazio (prima parte)
  2. Introduzione alla geometria dello spazio (seconda parte)
  3. Introduzione alla geometria dello spazio (appendice)
  4. Geometria dello spazio (terza parte)
  5. Geometria dello spazio (quarta parte)
  6. Geometria dello spazio (quinta parte)
  7. Geometria dello spazio (sesta parte)

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