Lug 17

Un quiz..rilassante.

Un quiz non troppo difficile , ma nemmeno troppo facile. In ogni caso spero sia rilassante. Sono però sicuro che verranno fuori in ogni caso discorsi interessanti.

Vogliamo trovare tutte le coppie di interi positivi  (x,y) tali che:

\dpi{200} \dpi{200} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}

Chiaramente sono ammessi tutti i metodi . Non è richiesta poi alcuna conoscenza particolare.

 

37 commenti

  1. maurizio bernardi

    Cari amici, da me ci sono 35 gradi e capisco che faccia caldo anche dove vi trovate voi.
    Non è il caso quindi di scaldarsi ulteriormente.
    Rispondo a Enzo...

    Quando scrivevo che la scomposizione del 36 è la base che va arricchita per arrivare ai valori degli interi, intendevo proprio quello che hai scritto poi nel tuo commento (aggiungendo 6). Tutto OK.

    Excel non disegna gli asintoti, ma nella cella segnala la divisione per zero.
    Nel grafico la linea inizia da x=1 perché nei dati forniti è stato escluso il valore x = 0.

    Sulla necessità di formulare i quiz spingendo il lettore a far funzionare il cervello e non il PC sono d'accordo, questa volta ci siamo presi una vacanza e sappiamo che non è la regola.

    Rispondo a Umberto.

    Nel quiz precedente di Vincenzo ho usato excel solo perché Arturo si era posto l'interrogativo se la cosa fosse fattibile. Non era esclusa a priori la possibilità di usare quello strumento.

    Questo nuovo quiz che hai proposto con la apertura ad utilizzare qualsiasi mezzo (anche la divinazione) può dare ottimi spunti e lo vedremo di certo. Poco importa se in un commento salta fuori excel.
    Io ho interpretato il quiz  come un invito a fare una passeggiata con il mezzo che si vuole. Si può andare a piedi (ossia a mano - con il ragionamento) o in bicicletta ( con excel). A me sta anche bene, perché un quiz ogni tanto può essere anche di semplice evasione.

    Insomma, non è il caso di prendersela. Lo dico per tutti, anche per il povero excel che potrebbe sentirsi vilipeso.
    (Quasi lo disinstallo, per evitare tentazioni in futuro...)
    Via, amici.. un sorriso !

  2. umberto

    non ho detto che tu sia autoritario, ho detto che non lo sono io. E secondo te cosa dovevo dire? Non usate Excel? Non usate il computer. O dire usate questo o quello? É un po' difficile. Sta alla persona capire il senso del metodo usato. Quando ho detto usate il metodo che volete mi riferivo chiaramente alla matematica in genere.

  3. scusa, Umberto, basterebbe dire di non andare per tentativi ripetitivi, ma risolverlo con la propria testa e senza aiuti "meccanici". In questo caso ci stava benissimo. Ognuno può gestire il proprio quiz come vuole e quindi anche chiedere di ragionare e non di andare in moto al giro di Francia. Tutto lì... Non è questione autoritaria, ma di spirito del blog... Comunque fa caldo e lasciamo perdere... Mi prenderò un po' di vacanza...

  4. umberto

    mi sembrerebbe di offendere i lettori.chi segue il circolo senz altro non è Un bambino. Certe cose non riesco proprio a dirle. Visto appunto il caldo volevo solo fare un quiz leggero e rilassante. E invece guarda cosa é venuto fuori.

  5. rilassante sì, ma escludendo soluzioni celestiali... :-P

  6. Direi che lo studio di un iperbole era cosa alla portata di tutti...

  7. umberto

    non serviva nemmeno l iperbole né lo studio di funzioni. Comunque vedrai.

  8. Arturo Lorenzo

    Giusto per stemperare un po', che ne direste del grafico della funzione z= 1/x + 1/y tagliato dal piano z=1/6 ?..... :mrgreen:

    Ok, ok, decisamente piu' semplice e istruttivo lo studio della funzione y=f(x), che poi altro non e' che quella della curva intersezione tra le fue suddette entita' geometriche in 3D.

    Qui oggi 32 gradi, fortunatamente in diminuzione per intervenuto amico maestrale  :wink:

  9. maurizio bernardi

    Grazie Arturo, stavo disegnando proprio quelle superfici, ma come sempre sei più veloce. (in più hai anche qualche grado di vantaggio)

  10. finalmente soluzioni logiche e lucide... Ben vengano, ma non le celestiadi... :-P  Ovviamente, per fare le figure chiare l'uso di programmi computerizzati è tutta un'altra cosa. Malgrado il caldo, spero di essere stato capito...

    se no... pazienza... :wink:

  11. maurizio bernardi

    Vorrei tornare su questo mio commento precedente ..

    17 luglio 2018 at 15:35

    La soluzione si ottiene manualmente senza dover studiare rigorosamente la funzione e senza demandare a programmi i facili calcoli da fare. Probabilmente esistono modi più raffinati e formalmente eleganti, tuttavia posso dire  che ... 

    1/x  +  1/y   = 1/6          può essere scritto  come  1/12  +  1/12  = 1/6     (significa  x=y =12 )      coppia (12,12)

    1. diminuendo progressivamente il denominatore del primo termine ( ossia la x ) di 1  avrò sempre valori di x interi e ricavando y posso verificare se anche questo valore è intero.     Infatti     1/y  = 1/6 - 1/x   ossia y = 6x/(x-6).

      1/11 +1/y  = 1/6          ricavo  y =   66/5  non è intero

      1/10  + 1/y = 1/6                     y = 60/4 = 15         coppia (10,15)

      1/9 +1/y  =  1/ 6                     y = 54/3  = 18         coppia (9,18)

      1/8 + 1/y  = 1/6                      y = 48 /2  =24        coppia (8,24)

      1/7  +1/y  =1/6                       y = 42/  1  = 42       coppia (7,42)

      A questo punto, assegnando a x il valore 6, avremmo uno zero al denominatore della y.

      Se poi scendessimo ulteriormente con la x avremmo valori di y negativi, non richiesti.

      Le coppie trovate sono quindi 5  a cui vanno aggiunte altre 4 coppie ottenute invertendo x e y  laddove i valori di x e y sono diversi.

      Questo approccio parte da una evidenza lampante   ( 1/6 = 1/12 +1/12) e opera solo sui numeri interi inferiori al 12, fino a giungere al limite a cui si annulla il denominatore e poi diventa negativo.

      I calcoli , rigorosamente a mano, riguardano solo 5 valori e generano tutti i risultati ottenibili. In altri termini non ci sono calcoli "inutili".

      Mi sembra un metodo veloce e sicuro, comprensibile a tutti e basato su un ragionamento logico.

  12. umberto

    ti dico solo una cosa Maurizio; questo tipo di equazioni si chiamano diofantee e venivano risolte con metodi e trucchi . Al tempo non conoscevano le funzioni. Uno può anche usarle, ma allora..

  13. Fabrizio

    Ho trovato 10 coppie di interi positivi che soddisfano la relazione proposta da Umberto. Poichè c'è una simmetria tra x e y le coppie (x,y) "originali" sono 5:  (12,12), (10,15), (9,18), (8,24) e (7,42). Le altre 5  si ottengono scambiando i due valori.

    Il metodo che ho utilizzato è piuttosto ingarbugliato, ma finora è questo quello che ho trovato.

    Riscrivo la relazione come x=6 \frac{y}{y-6}.     x è intera se \frac{y}{y-6}= \frac{n}{6}\; o\; \frac{n}{3}\; o\; \frac{n}{2}\; o\; n dove n è un intero.

    Parto con la prima possibilità. Risolvo l'equazione \frac{y}{y-6}= \frac{n}{6} ottenedo y=6\frac{n}{n-6}.

    L'altro elemento è x=6\:\frac{n}{6}=n

    Affinché y sia intera n può avere solo alcuni valori tali che n-6 sia 6 o un sottomultiplo di 6. A questi valori di n corrispondono altrettante coppie di (x,y)

    \begin{align*} n &= 7\:\rightarrow x=7,\;y=42\\ n &= 8\:\rightarrow x=8,\;y=24\\ n &= 9\:\rightarrow x=9,\;y=18\\ n &= 12\:\rightarrow x=12,\;y=12 \end{align*}

    Proseguo con la seconda possibilità \frac{y}{y-6}= \frac{n}{3}, che significa avere y=6\frac{n}{n-3} e x=2n

    Anche qui, affinché y sia intera n può avere solo alcuni valori ai quali corrispondono altrettante coppie  di (x,y)

    \begin{align*} n &= 4\:\rightarrow x=8,\;y=24\\ n &= 5\:\rightarrow x=10,\;y=15\\ n &= 6\:\rightarrow x=12,\;y=12\\ n &= 9\:\rightarrow x=18,\;y=9 \end{align*}

    Tra questi valori solo il secondo non era già tra i 4 precedenti, considerando anche lo scambio tra x ed y.

    Si potrebbe continuare con le altre possibilità, ma si ottengono solo coppie già presenti tra quelle già trovate.

  14. umberto

    ok Fabrizio grazie. Sarà anche ingarbugliato ma è un metodo originale e diverso dagli altri

  15. maurizio bernardi

    Non conoscendo le funzioni occorre trovare un modo per aggirare l'ostacolo. Forse seguendo questo ragionamento...

    Considero intuitiva la seguente relazione:

    1/12 + 1/12 = 1/6 da cui ho subito la prima coppia (12,12)

    Ora riscrivo l'espressione in questo modo:     1/6 * a + 1/6 * b = 1/6            ove a+b = 1

    Il primo termine corrisponde a 1/x   e il secondo termine  a 1/y

    dato che 1/6 * 6/x = 1/x          ne deriva che         a = 6/x      e quindi:            b= 1- 6/x

    In termini generali ho questa uguaglianza:
    1/6 * 6/x + 1/6 *(1- 6/x) = 1/6

    Sostituisco progressivamente a    x    i  valori interi, positivi,  decrescenti a partire da 11.
    Tutte queste espressioni valgono 1/6.

    Ricordo che la x è l'inverso del primo termine e la è l'inverso del secondo termine.

    1/6 * 6/11   +   1/6*(1-6/11)   = 1/6              x=11 ;     y=66/5            non intero
    1/6 * 6/10  +   1/6*(1-6/10)   =1/6               x=10;     y=60/4                   intero = 15
    1/6 * 6/9    +   1/6 *(1-6/9)   = 1/6               x= 9;      y=54/3                    intero = 18
    1/6 * 6/8    +   1/6 *(1-6/8)   = 1/6               x= 8;     y=48/2                    intero = 24
    1/6 * 6/7    +   1/6 *(1-6/7)    = 1/6               x =7;      y=42/1                    intero = 42

    Scendendo sotto x = 7 troviamo:

    1/6 * 6/6    +  1/6 *(1- 6/6)    = 1/6              x=6 ;       y= infinito            non valido
    1/6 * 6/5    +  1/6 *(1 - 6/5)   = 1/6              x=5;        y=negativo           non valido
    eccetera...

    In conclusione le coppie trovate , oltre alla prima (12,12), sono;
    (10,15) ( 9,18) (8,48) (7,42)           e le loro simmetriche, scambiando x e y:
    (15,10) (18,9) (48,8) (42,7)

    Sarà abbastanza "truccato" ?

  16. Fabrizio

    Un altro modo per trovare le nostre coppie di valori può essere questo.

    L'obiettivo è sempre quello di evitare di andare per tentativi, anche se mirati.

    Riscrivo la relazione \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} come \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{6}.  Quindi se x+y=n, allora x\, y=6\,n.

    Da queste due equazioni elimino  la y ed ottengo x^2-n\,x+6\,n=0.   Ricavo la n ed ottengo:

    n=\frac{x^2}{x-6}    Per essere intera, il denominatore deve essere composto di fattori che sono all'interno del numeratore.   Nel numeratore ci sono i fattori di x presi due volte. Quindi in x-6 ci possono essere alcuni fattori di x presi 2 volte , altri presi una volta ed altri fattori non presenti.

    Quindi se x=f_1\,f_2\,f_3 , dove le f sono i tre tipi di fattori elencati sopra,

    allora se in x-6  f_1 è preso due volte, f_2 è preso una volta e f_3 non è prese

    x-6=f_1^2\,f_2\rightarrow \:f_1\,f_2\,f_3-f_1^2\,f_2=6\rightarrow \boldsymbol{f_1\,f_2\,(f_3-f_1)=6}

    Quindi f_1 ed f_2 devono essere fattori di 6. Da questi si ricava f_3 e dai tre fattori si ricava x  come

    \boldsymbol{x=f_1\,f_2\,f_3}  ed y come \boldsymbol{y}=\frac{6n}{x}=6\frac{f_2\,f_3^2}{f_1f_2f_3}=\boldsymbol{6\,\frac{f_3}{f_1}}

    I 9 possibili casi sono riassunti in questa tabella

    \begin{matrix} f_1 & f_2 & f_3 & x & y \\ 1 & 6 & 2 & 12 &12 \\ 1 & 3 & 3& 9 & 18\\ 1 & 2 & 4& 8 & 24\\ 1 & 1& 7& 7& 42\\ 2 & 1& 5& 10& 15\\ 2 & 3& 3& 18& 9\\ 3 & 1& 5&15 &10 \\ 3& 2& 4& 24& 8\\ 6&1 &7 & 42&7 \\ \end{matrix}

  17. umberto

    scusa Fabrizio ho già pubblicato la soluzione senza accorgermi del tuo ulteriore commento. Se vuoi aggiungere qualcosa puoi farlo lì

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