Nov 19

Una catastrofe relativistica (con risposta nascosta) **

Un quiz non quiz che riguarda un dramma spaziale. Proprio per la sua semplicità e per il valore didattico aspetteremo un paio di giorni prima di inserire la risposta. Provate a risolverlo, così valuterete la vostra comprensione dei principi base della relatività speciale e farete contento il Dott. Einstein… La soluzione è nascosta, ma basta schiacciare e appare senza problemi. Useremo questo nuovo sistema per i prossimi quiz-non quiz.

Due astronavi sono le protagoniste di un dramma spaziale. A entrambe si sono rotti i motori (non è possibile, perciò, rallentare e/o accelerare e/o spostarsi dalla propria rotta). Ma questo sarebbe ancora il meno, se le due astronavi non fossero perfettamente in rotta di collisione.

Dal sistema Terra il dramma è visto in tutta la sua portata. L’astronave A viaggia alla velocità di 0.8c e ha un equipaggio di 57 persone. L’astronave B viaggia, in senso perfettamente opposto, alla velocità di 0.6c e ha un equipaggio di 72 persone. Il centro terrestre cerca di salvare il salvabile e predispone due astronavi di soccorso che possano recuperare i due equipaggi. Tutto è pronto, ma il problema è che, a causa dei tempi necessari per  passare nelle varie camere di decompressione, i membri degli equipaggi possono uscire, uno alla volta, ogni minuto: l’orologio delle navi manda un segnale ogni minuto in modo da gestire l’evacuazione in modo perfetto. Al momento in cui viene dato, ai due equipaggi, il comando “Abbandonare l’astronave”, la distanza tra le due, misurata da terra, è di 2.52·10 9 km.

Poi non c’è più niente da fare se non attendere e sperare che tutto vada per il suo verso. In questo caso, quanti membri degli equipaggi riusciranno a salvarsi prima dell’urto?

RISPOSTA

dramma

Chi vuole conoscere subito la risposta, non deve fare altro che schiacciare "mostra risposta" (invitiamo, però, chi conosce le basi della RR  a provare, prima, da solo...)

Ancora un piccolo problema da risolvere con le solite formulette e poi ci dedicheremo a Minkowski...

 

 

26 commenti

  1. Augusto

    O.T. Questo articolo del Fatto non può non essere letto da tutti noi: MICIDIALE DAVVERO! Ma chi è sto giornalista-scienziato che mostra di saperne davvero tanto di clima??!! Roba da matti!!! Da leggere per come è straconvinto di ciò che scrive. Quasi un giudice che scrive una sentenza!!!!!

    https://www.ilfattoquotidiano.it/2018/11/19/incendi-in-california-tutti-che-gridano-al-colpevole-peccato-sia-quello-sbagliato/4775716/

  2. Caro Augusto,

    ormai sappiamo come vanno le cose e il dogma deve essere seguito se vuoi essere nel sistema. Anche insultando gratuitamente (e senza argomenti scientifici) i colleghi che osano dire il contrario...

    La storia ci insegna che cose del genere sono sempre capitate... Per il momento, almeno, non vengono ancora messi al rogo... per il momento... :roll:

  3. Marco

    Ciao a tutti, secondo i miei calcoli si salvano 48 persone per ogni astronave, attendo con ansia la soluzione  :wink: 

  4. caro Marco,

    grazie per avere rotto il ghiaccio. Sarebbe bene, però, che esponessi il ragionamento che hai fatto...

  5. Marco

    Allora, ho sommato le due velocità con la relatività ottenendo 0,945c poi ho calcolato la restrizione dello spazio ottendendo 0,824 10^9 km e poi ho diviso per la velocità di prima ottendendo poco più di 48 minuti, da qui le 48 persone.

  6. perché sommare le due velocità? Noi vogliamo solo sapere l'intervallo di tempo proprio, prima della collisione, di entrambe le astronavi. Solo lui ci dirà quanti se ne possono salvare...

    E' molto più semplice...

  7. piccolo aiuto...

    noi conosciamo le velocità delle due navi rispetto a un sistema in quiete. In questo sistema si sa anche la distanza tra le due astronavi al momento dell'inizio salvataggio. E' possibile sapere il tempo che ci vuole prima dell'urto nel sistema in quiete? Se conoscessimo quel tempo, sarebbe immediato sapere il tempo proprio di ciascuna astronave... Basta collegare le due navi, separatamente, al sistema in quiete...

  8. Paolo

    Caro Enzo, se non ho fatto male i calcoli si salvano tutti.

    Purtroppo in questo momento non posso disegnare un diagramma di Minkowski, per cui mi tocca affrontare il problema matematicamente.

    Innanzitutto, è meglio trasformare lo spazio che separa le due astronavi quando inizia l’evacuazione, viste dal sistema in quiete, da Km in minuti luce.

    Prima divido lo spazio misurato in Km in spazio percorso dalla luce in 1 secondo (299792,458 Km)

    2520000000/299792,458 = 8405,8152 secondi luce

    Poi lo trasformo in minuti luce, ossia:

    8405,8152/60 ≃ 140 minuti luce

    Ora conviene trovare il punto di incontro tra le due astronavi.

    La prima percorre 0,8 minuti luce ogni minuto di tempo del sistema in quiete, la seconda percorre 0,6 minuti luce ogni minuto del sistema in quiete.

    Pertanto dopo 100 minuti la prima ha percorso 80 minuti luce e la seconda 60 minuti luce e dato che 80 + 60 = 140 minuti luce, le due astronavi, secondo il sistema in quiete, si incontrano dopo 100 minuti.

    Questo però è il tempo misurato dal sistema in quiete, mentre l’equipaggio lascia l’astronave ogni minuto secondo il proprio tempo e non quello del sistema in quiete.

    Quindi non resta che tener conto della dilatazione del tempo, trasformando i 100 minuti del sistema in quiete in tempo misurato da ognuna delle due astronavi, ossia:

    t’ = t √(1-v²/c²)

    La prima astronave, vista dal sistema in quiete, viaggia a 0,8 c, ossia v/c = 0,8:

    t’ = 100 √(1-0,8²) = 100 √(1-0,64) = 100 √(0,36) = 60 minuti

    La seconda astronave, vista dal sistema in quiete, viaggia a 0,6 c, ossia v/c = 0,6:

    t’’ = 100 √(1-0,6²) = 100 √(1-0,36) = 100 √(0,64) = 80 minuti

    Considerato che l’equipaggio della prima astronave (che viaggia a 0,8 c) è composto da 57 persone, in 60 minuti tutti si possono mettere in salvo.

    Lo stesso accade con la seconda astronave (che viaggia a 0,8 c) dato che l’equipaggio è composto da 72 persone, in 80 minuti tutti si possono mettere in salvo.

    Spero di non aver commesso errori. :roll:

    Paolo

     

  9. Marco

    Ma in questo modo si presuppone che le due astronavi si avvicinino a una velocità di 1.4 c! E la velocità della luce non può essere superata! Sbaglio qualcosa?

  10. In realtà, volevo proprio che si risolvesse senza usare il diagramma di Minkowski, ma solo attraverso le formulette della RR. Per Minkowski ho già pronte parecchie avventure... :wink:

    Non dico niente sul risultato... per adesso...

  11. Sbagli qualcosa Marco... le velocità sono 0.8c e 0.6c nel sistema terrestre. Perché dici che esse si avvicinano a 1.4c? Ognuna percorre un suo spazio in un certo tempo, andando alla propria velocità minore di quella della luce.

  12. Marco

    Perché se percorrono 140 minuti luce in 100 minuti significa che si avvicinano a 1.4c, dove sbaglio?

  13. Paolo

    Scusa Marco, perché mai dovrebbero viaggiare a 1,4 c?

    Nessuno percorre 140 minuti luce in 100 minuti.

    Un’astronave in 100 minuti secondo il sistema in quiete percorre 80 minuti luce, mentre l’altra astronave in 100 minuti percorre 60 minuti luce, ossia per il sistema in quiete un’astronave viaggia a 0,6 c e l'altra a 0,8 c.

    Per l’astronave a l’altra astronave viaggia a (vedi composizione relativistica delle velocità):

    u = u’ + v /(1 + u’v/c²)

    dove u’ è la velocità dell’altra astronave secondo il sistema in quiete e v è la velocità del sistema in quiete secondo l’astronave a, pertanto (c = 1, dato che le velocità sono espresse come frazioni di c):

    u = 0,6 + 0,8 /(1 + 0,6 x 0,8) = 1,4/1,48 = 0,945

    Per l’astronave b l’altra astronave viaggia a:

    u = u’’ + v /(1 + u’’v/c²)

    dove u’’ è la velocità dell’altra astronave secondo il sistema in quiete e v è la velocità del sistema in quiete secondo l’astronave b, pertanto :

    u = 0,8 + 0,6 /(1 + 0,8 x 0,6) = 1,4/1,48 = 0,945

    Come vedi la velocità della luce non viene mai superata, qualunque sia il sistema di riferimento usato.

  14. dice bene Paolo...

    caro Marco,

    non c'è bisogno di calcolare la velocità della seconda astronave rispetto alla prima e viceversa... Stiamo lavorando nel sistema della Terra e solo dopo calcoliamo il tempo proprio delle due astronavi.

  15. Marco

    Grazie Vincenzo, adesso ho capito  :)

  16. grazie a te Marco per aver partecipato senza timore. Solo così si entra veramente nei problemi!!!

  17. Caro Marco (e non solo),

    tra poco inizierò una serie di "avventure" risolvibili con il diagramma di Minkowski... Ti divertirai sicuramente !

  18. Marco

    Ok, ci tengo a capire bene la relatività, grazie per quello che fai Vincenzo.

     

  19. Paolo

    Giusto così per completezza e per divertimento, vorrei aggiungere due parole sulla contrazione delle lunghezze (distanze).

    L’astronave A, che per la Terra viaggia a 0,8c, dopo 100 minuti terrestri ha percorso 80 minuti luce.

    Per l’equipaggio, però, sono passati solo 60 minuti.

    Qualcuno potrebbe obiettare, ma come fa l’astronave A in 60 minuti a coprire la distanza di 80 minuti luce, (anche se in realtà per l’equipaggio è il punto distante 80 minuti luce che si avvicina all’astronave) viaggia forse più veloce della luce?

    Semplice, la lunghezza propria Lo, che per la Terra è pari a 80 minuti luce, per l’astronave A è contratta, ossia:

    L = Lo √(1-v²/c²) = 80 √(1- 0,8²) = 80 x 0,6 = 48 minuti luce.

    Quindi, dal punto di vista dell’astronave A, il punto d’impatto (che secondo la Terra dista 80 minuti luce) si trova solo a 48 minuti luce e ci vogliono 60 minuti perché questo raggiunga l’astronave, per cui non vi è alcun superamento della velocità della luce, ossia rispetto al sistema terricolo, se il tempo si dilata (60 minuti invece di 100) la distanza si contrae (48 minuti luce invece di 80)…

    Inoltre, l’astronave B, vista dalla Terra, in 100 minuti ha percorso 60 minuti luce, ma per l’equipaggio di minuti ne sono passati 80.

    Anche in questo caso la lunghezza propria Lo, che per la Terra è pari a 60 minuti luce, per l’astronave B è contratta, ossia:

    L = Lo √(1-v²/c²) = 60 √(1- 0,6²) = 60 x 0,8 = 48 minuti luce.

    Quindi, dal punto di vista dell’astronave B, il punto d’impatto si trova a 48 minuti luce (e non a 60 minuti luce come per il terricolo) e ci vogliono 80 minuti ( e non 100 minuti come per il terricolo) perché questo raggiunga l’astronave.

    D’altronde se la velocità del luce è sempre la stessa per qualunque sistema di riferimento, se si modifica il tempo (dilatazione) necessariamente deve modificarsi anche lo spazio (contrazione distanza) dello stesso fattore…

    Paolo

  20. Grazie Paolo,

    da qui probabilmente i 48 di Marco nella prima risposta...

  21. Paolo

    Probabilmente Marco  ha fatto scendere l’equipaggio ogni minuto luce di tragitto percorso… :roll:

    A parte ciò, meno male che c’è chi si cimenta nei quiz, invece di rimanere silente. :-D

    Trovo encomiabile provare, oltre che un ottimo modo per capire a fondo la RR.  8)

    Paolo

  22. Eh sì, caro Paolino... capire bene la RR è veramente un esercizio fondamentale per affrontare la RG, la nuova visione del Cosmo che, pur avendo ormai circa 100 anni, non viene ancora insegnata normalmente nelle scuole.

    E' un po' come non fare studiare la prima guerra mondiale... E non parliamo poi della meccanica quantistica...

    Speriamo che la soluzione "nascosta" spinga qualcuno di più a provare, pur mantenendo la privacy.

  23. Guido

    Buongiorno e grazie per l'esercizio proposto. Giusto per capire meglio e per riuscire a visualizzare il fenomeno:

    dall'astronave A esce un uomo ogni minuto (tempo astronave A) e deve raggiungere l'astronave di soccorso che immagino in quiete e pertanto con un "suo" tempo diverso da quello di A e che scorre più velocemente. Cosa percepisce l'uomo che compie il breve tragitto da A all'astronave di soccorso? Il suo orologio da polso scandisce il tempo sempre allo stesso modo per l'uomo e lui quindi non ravvisa nulla di particolare. Ma se dall'astronave di soccorso potessi vedere l'orologio da polso dell'uomo proveniente da A vedrei le lancette girare sempre più velocemente via via che si avvicina?

  24. caro Guido,

    l'astronave di soccorso deve seguire l'astronave alla sua stessa velocità... altrimenti addio tempo proprio di uscita e quindi deve far parte del suo sistema di riferimento. Se stesse ferma l'equipaggio dovrebbe viaggiare verso di lei con velocità uguale e opposta. Impossibile, ovviamente.

    Ogni minuto dell'astronave senza controllo esce una persona e deve essere raccolta istantaneamente.  La persona che esce continua viaggiare alla stessa velocità dell'astronave (principio di inerzia). Per l'astronave di soccorso vi è tutto il tempo di fare il pieno e poi cambiare rotta per non rischiare anch'essa l'impatto.

  25. Gino

    Interessante, grazie anche per noi che non siamo del settore.

    Condivido Professore la sua riflessione sul fatto che essendo ormai passati oltre 100 anni le istituzioni scolastiche ignorino completamente la relatività.

    Continuate a divulgare!!!

    Saluti

  26. grazie Gino! E mi aspetto un tuo contributo alle soluzioni... Chi la pensa come te riesce in molto più di quello che pensa...

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.