13/01/19

L'asteroide, questa specie di ellisse... ***

Potevo non accogliere la gentile richiesta che il Grande Capo Asteroide Tonante ha espresso al termine di QUESTO ARTICOLO?!? Ovvio che non potevo... ecco a voi, quindi, l'equazione dell'asteroide!

L'asteroide, o astroide, così chiamato perché la sua forma evoca quella di un astro, può essere descritto mediante equazioni parametriche  ma, come vedremo, anche in altre forme.  E' anche chiamato ipocicloide perché lo si può ottenere, analogamente alla cicloide, facendo rotolare una circonferenza, in questo caso non lungo una retta, ma a contatto con l'interno di una circonferenza fissa di raggio maggiore.

Nel nostro esempio sceglieremo un rapporto 1 a 4 tra le due circonferenze, in modo che quella in movimento compia un giro completo rotolando sul primo quadrante della circonferenza fissa.

Ecco una prima figura che illustra la costruzione della curva. La circonferenza (gialla) che rotola, ha diametro un quarto di quella ferma (azzurra)

aster01

La posizione I è quella iniziale e la F quella Finale.    La lettera  O rappresenta il centro della circonferenza fissa,  O1  è  il centro della circonferenza mobile e  T è il punto di contatto tra le due circonferenze.

A seguito della rotazione dell'angolo alfa ( rotazione che porta il centro della circonferenza mobile in O1) il punto P che traccia la curva si muove dalla posizione I alla posizione attuale P,  mentre la circonferenza mobile, rotolando senza strisciare compie una rotazione beta che è esattamente il quadruplo di alfa.  Naturalmente,  alla fine dei 90° di rotolamento nel primo quadrante della circonferenza fissa, la circonferenza mobile avrà compiuto un giro di 360°, un quarto esatto della figura completa.

Chiamando r il raggio del cerchio fisso, il raggio di quello mobile vale r/4  , come abbiamo stabilito all'inizio

Ora, facendo riferimento alla figura, notiamo che la rotazione del punto P, rispetto al sistema di riferimento fisso è data dall'angolo-differenza  tra beta e alfa , perché al rotolamento ( beta)  che avviene nel senso antiorario, si sovrappone una rotazione ( alfa)  che avviene in senso orario.

Le coordinate di P si ottengono con la combinazione dei segmenti illustrati, come segue:

x = OA - AX

y= OB+BY

Esprimiamo questi segmenti in funzione dei raggi e degli angoli, tenendo conto che per quanto riguarda i raggi :  OO1= 3/4 r    e   O1P = 1/4 r   e, per quanto riguarda gli angoli ,   \beta =4\alpha ,   quindi \beta -\alpha =3\alpha

x=\frac{3}{4}rsen\alpha -\frac{1}{4}rsen3\alpha      applico la formula di triplicazione degli archi

x=\frac{3}{4}rsen\alpha -\frac{1}{4}r(3sen\alpha -4sen^3\alpha )       semplificando

x=rsen^3\alpha

Analogamente scrivo l'espressione della  y

y=\frac{3}{4}rcos\alpha +\frac{1}{4}rcos3\alpha      anche qui uso la formula di triplicazione

Per una spiegazione delle formule di triplicazione   potete aprire il testo che segue :

 

y=\frac{3}{4}rcos\alpha +\frac{1}{4}r(4cos^3\alpha -3cos\alpha )    semplificando

y=rcos^3\alpha

Le precedenti equazioni possono essere scritte  in funzione dell'angolo complementare di \alpha, ossia l'angolo \theta , riferito alla coordinata orizzontale:

x=rcos^3\theta

y=rsen^3\theta

Ora queste due equazioni sono parametriche in \theta  e posso eliminare il parametro nel modo seguente:

elevo entrambe alla potenza di 2/3 , ottenendo

x^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}cos^{2}\theta

y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}sen^{2}\theta

Sommando le due equazioni ottengo

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}

Non a caso questa equazione ha una struttura che ricorda una ellisse...

x^{2}+y^{2}=r^{2}

Ma ricorda anche una retta...

x+y=r

Insomma sono tutte riconducibili alla forma seguente

x^n+y^n=r^n       e al variare di n danno curve che si muovono all'interno di un quadrato, degenerando in segmenti adagiati sugli assi, diventando asteroidi, poi rombi, poi cerchi, poi avvicinandosi sempre più ai lati del quadrato. Il loro nome è "Superellissi" o curve di Lamè, dal nome del matematico e fisico francese, Gabriel Lamè, che le studiò esattamente due secoli fa.

Per la precisione,  la formulazione generale di queste curve , non limitata al primo quadrante, è la seguente \left | \frac{x}{a} \right |^{n} + \left | \frac{y}{b} \right |^n=1

Nella figura vediamo le varie forme che assume la funzione al variare dell'esponente n nel caso che i coefficienti a e b siano uguali. Da notare l'illusione ottica per cui il cerchio ( rigorosamente circolare) appare leggermente deformato a causa delle linee circostanti.

Il nostro asteroide corrisponde alla curva in azzurro, con esponente n=2/3.

superellisse

 

Concludo con una figura che mostra come costruire per punti, con riga e compasso l'asteroide o ipocicloide che dir si voglia.

punto asteroide bianco

 

Per ogni raggio, diversamente inclinato, ricavo il corrispondente punto P.

La x è costruita elevando al cubo il coseno, mediante tre proiezioni consecutive sull'asse delle ascisse,  la y è il risultato della elevazione al cubo del seno, con tre proiezioni consecutive sull'asse delle ordinate.

Abbiamo così rappresentato  in forma parametrica  (\theta ) le equazioni dell'asteroide.

x=rcos^3\theta

y=rsen^3\theta

Per il momento è tutto. Alla prossima!

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