Il numero di Nepero è trascendente. Parte terza.******
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Premessa
Questa terza parte può sembrare la più difficile, anche se in realtà non lo è. Avremo a che fare solo con dei "semplici " polinomi, sicuramente però non ci avventureremo nello svilupparli. Ci basterà fare degli ragionamenti sui gradi di tali polinomi. Ragionamenti molto semplici. Poi usando il nostro integrale fondamentale :
che ci fa passare da un integrale definito a dei numeri interi, riusciremo a trovare delle proprietà interessanti per P1.
Nella seconda parte abbiamo elaborato delle espressioni, definendo:
e
Il risultato delle nostre elaborazioni, è che se è vero che e è un numero algebrico, allora
. Il tutto è naturalmente conseguenza dell'aver supposto per assurdo che:
.
Questa è adesso la nuova condizione di cui dobbiamo dimostrare la falsità:
. Sicuramente se riusciamo a dimostrare che uno dei due è intero e l'altro no, avremmo concluso la dimostrazione.
Analizziamo i due termini, cominciando da P1;
P1 è definito come:
Vogliamo dimostrare che P1 è un intero divisibile per . Per far questo dobbiamo dimostrare che ogni singolo fattore della somma che compone P1 lo è.
Cominciamo con .
e ricordiamo ancora il nostro integrale fondamentale:
Per chi vuole leggere questo esempio "semi-numerico":
Consideriamo il polinomio formato dal prodotto di n binomi :
; consideriamo banalmente tutti i prodotti possibili; il termine di grado massimo sarà quello che si ottiene moltiplicando z*z*....*z n volte; cioè
; quello di grado minimo sarà quello ottenuto moltiplicando i termini noti, ovvero (-1)(-2).....(-n) che si può anche scrivere come
a seconda che n sia pari o dispari; in mezzo ci stanno tutti termini di grado g compreso fra
. Il polinomio ottenuto viene poi elevato alla
:
Dopo aver eseguito l'elevamento a potenza, il risultato ottenuto sarà un certo polinomio, i cui termini avranno grado compreso fra
Il polinomio sarà (per evitare inutili complicazioni con gli indici, indichiamo con un termine in posizione variabile all'interno del polinomio):
( di k sappiamo con certezza che è maggiore di 1;i bk sono numeri interi.)
e se moltiplichiamo per :
se adesso integriamo tale espressione:
ricordandoci che qualsiasi sia
;
essendo per esempio (termine di grado maggiore):
=
un numero intero maggiore di
, allora
o sarà divisibile per
. Questo vale anche per gli altri termini . Un qualsiasi termine interno alla somma,
, ha k>1,quindi in
l'esponente di z complessivo è maggiore di
, e quindi l'integrale è divisibile per
. In particolare il termine di grado più piccolo, sarà uguale a
Quindi è divisibile per
!.
E cosa dire di ,...
? Tramite le sostituzioni z--->z'+1, z--->z'+2,..ecc riusciamo a ridurre gli integrali definiti allo stesso intervallo di integrazione, dove vale
. Prendiamo ad esempio
:
sostituendo z--->z'+1:
(ripeto,le sostituzioni che facciamo servono per ridurre allo stesso intervallo di integrazione, )
Notiamo la comparsa di un termine in z' all'interno delle parentesi quadre; questo fa sì che il polinomio che si ottiene dai prodotti interni alle parantesi quadre, in questo caso non ha termine noto. Abbiamo anche portato 1/e fuori dall'integrale grazie all'eguaglianza . Ora il polinomio in z' dentro parentesi quadre (risultato dei prodotti) che chiamiamo Q(z'), ha grado minimo uguale a 1; viene elevato alla
; quindi il risultato di tale elevazione sarà un polinomio S(z') di grado minimo
; tale polinomio in z' va poi moltiplicato per
;
S(z')*
Ora, ha sì un termine noto, che è 1, ma il risultato del prodotto è ancora un polinomio in cui il grado minimo è ancora
; quindi abbiamo una somma i termini in z' di esponente k>=
; se li moltiplichiamo per
e poi li integriamo otteniamo un intero divisibile per
, ricordiamoci però che davanti va un fattore pari a 1/e. Dunque
è divisibile per
. Per le altre sostituzioni non cambia niente; se sostituiamo z--->z'+2, avremmo un
davanti al segno di integrale; Quindi sarà
ad essere divisibile per per
.
Pertanto sarà divisibile per
. Ricordiamo infatti che per ora ci risulta che solo gli a1,...an sono divisibili per
, mentre abbiamo visto sopra che
è solo divisibile per
.
La prossima volta analizzeremo P2, e giungeremo alla conclusione che P1+P2<>0!