25/01/19

Parabola ...si fa presto a dire parabola ***

Un proiettile sparato verso l'alto da un cannone si allontana progressivamente dal centro della Terra. Ad ogni altitudine sarà soggetto a valori di g diversi, dato che l'effetto gravitazionale è inversamente proporzionale al quadrato della distanza.  Se quest'ultima aumenta, si avrà un decremento quadratico inverso del valore della gravità rispetto a quella a livello del mare che indichiamo con go

g (h) =g0*(R/(R+h))2

go è la accelerazione al livello del mare, dove si trova il lanciatore (cannone), vale il solito 9,81 m/sec2

R è il raggio della terra,  circa  6,37  * 106 m

Sviluppando il quadrato contenuto nella formula abbiamo

g=g0*(R2)/(R2+2*R*h+h2)

Se l'altezza h  è piccola rispetto a R, allora h2  sarà ancora più piccolo rispetto a  R2   ed anche 2* R*h   sarà molto maggiore di  h2.

In tal caso possiamo trascurare il termine  h  e dire che

g=g0*(R2)/(R2+2*R*h).

Quindi  g=g0*1/(1+2*h/R).

Moltiplicando numeratore e denominatore per  (1-2*h/r)  otteniamo:
g=g0*(1-2*h/R)/(1-4*h2/R2),

ma sappiamo che  h/R è piccolo, quindi   h2/R2  sarà minuscolo  e anche il suo quadruplo sarà trascurabile rispetto ad 1.

Arriviamo quindi, con le semplificazioni e approssimazioni suddette, alla formula seguente:

g = go (1 - 2h/R)

Valida solo se h è molto piccolo rispetto a R .

Calcoliamo, come esempio, qual è il valore di g ad una distanza di 100 Km dal suolo, dove  g0 vale 9,8, sapendo che il raggio terrestre è di 6370 Km.

g=  9,8*( 1- 2*100/6370) = 9,5 m/sec2

La variazione percentuale corrisponde a (9,5-9,8)/9,8 = -3%

Alla distanza di 200 Km dal suolo il valore di g sarebbe, invece

g=9,8*(1-2*200/6370) = 9,2      con una variazione percentuale di  -6%

La linearità di questa variazione dipende dalla approssimazione h<<R    (200km sono solo un 3% di R).

Per distanze maggiori dovremo ricorrere alla formula non approssimata.

Seguendo il moto del proiettile, le equazioni che determinano la sua traiettoria non conterranno un valore costante di g, ma un valore funzione della coordinata verticale y  (che passerà da 0 alla massima altezza raggiunta dal proiettile).

Questo implica una forma della traiettoria diversamente arcuata ed un bersaglio reale diverso da quello teorico, in cui la g è costante per ogni altezza lungo il percorso.

 

Di tutto questo era ben consapevole il Maggiore Oreste Pautasso IV, della base lunare terrestre (cioè, la base dei Terrestri sulla luna).

Sul candido satellite, con g = 1,62 m/sec2, raggio  1740 Km  tutta la tecnica  dell'artiglieria andava rivisitata. Questo pensava, il Maggiore, in vista dello  scontro con il nemico (i perfidi LGM alieni, noti anche come piccoli omini verdi).

Dopo lunghe riflessioni e calcoli riuscì a valutare quali correzioni di puntamento erano necessarie per tenere conto del fatto che la g non è costante e fu così che nella storica battaglia del Polo Nord, (nella foto sottostante) diede la vittoria ai Terrestri.

polonord luna

Tra le sue carte (computerizzate, naturalmente) abbiamo ritrovato il ragionamento che, con la raffinatezza del suo avo raccoglitore di marroni in Cuneo, ha saputo elaborare per giungere alle conclusioni.

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Poniamo V_{0} = alla velocità iniziale del proiettile  e    \theta =  l'angolo di inclinazione (alzo) alla partenza

L' equazione della traiettoria  x è data dal seguente sistema in forma parametrica

x=(V_{0} cos\theta) t

y=(V{_{0}sen\theta })t - \frac{1}{2}gt^{2}

elimino il parametro t , ricavandolo dalla prima:             t=\frac{x}{V_{0}cos\theta }             e sostituendolo nella seconda:
y=V_{0}sen\theta (\frac{x}{V_{0}cos\theta })-\frac{g x^2}{2( V_{0}cos\theta )^2}         da cui...

y=xtan\theta-\frac{g x^2}{2( V_{0}cos\theta )^2}

A questo punto introduciamo l'informazione che g è variabile:

g=g_{0}(1-\frac{2y}{R}){\color{DarkBlue} }

y=xtan\theta -\frac{g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\theta }x^{2}

Sostituendo a g, nella seconda, il valore della prima:

y=xtan\theta -g{_0}\frac{1-\frac{2y}{R}}{2v_{0}^{2}cos^{2}\theta }x^{2}      da cui occorre  ricavare la forma esplicita y= f(x)

y*(2v_{0}^{2}cos^{2}\theta -\frac{2g_{0}}{R}x^{2}) = xtan\theta*2v_{0}^{2}cos^{2}\theta -g_{0}x^{2}   da cui

y=\frac{xtan\theta *2v_{0}^{2}cos^{2}\theta -g_{0}x^{2}}{2v_{0}^{2}cos^{2}\theta -\frac{2g_{0}}{R}x^{2}}       che appare ben più complessa di una semplice parabola.

introducendo delle costanti ( facilmente riconoscibili) la struttura della equazione è la seguente:

y=\frac{ax-bx^{2}}{c-dx^{2}}

Ipotesi sui parametri del tiro

Angolo di tiro (Teta) 45°     tan = 1   cos = 0,707   cos2 = 0,5

Velocità iniziale (V0) = 330 m/sec   = 330

Valori dei coefficienti :

a=2*330*330*0,5 =  108.900

b=9,81

c=2*330*330*0,5 = 108.900

d=9,81*2/6380.000  = circa 0

Constatiamo che al denominatore il coefficiente d è del tutto trascurabile, quindi la traiettoria assume una forma molto vicina alla parabola, anche se, facendo i conti con i dati dell'esempio, l'altezza raggiunta risulta superiore dello 0,3%  rispetto alla parabola.

Tuttavia, dal punto di vista strutturale la curva è qualcosa di diverso e, in presenza di valori iniziali che portassero al raggiungimento di una quota massima y maggiore (velocità iniziale superiore a quella ipotizzata), l'incidenza del termine trascurato cambierebbe e il culmine della traiettoria  risulterebbe sensibilmente più alto di quello parabolico.

cannone luna

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Non ci è possibile mostrarvi il seguito degli appunti perché ancora coperto da Segreto Militare, ma dall'ultima frase che avete letto  si intende chiaramente che non tutte le traiettorie  sono paraboliche, come di notte non tutti i gatti sono neri.

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