12/04/19

La relatività ristretta per tutti. L'orologio a pallina di Galileo Galilei (prima parte)*

 Questo articolo fa parte della serie "La Relatività Ristretta per tutti"

Dicono che Galileo Galilei avesse costruito un simpatico e semplice strumento atto a misurare il tempo in modo molto intuitivo e divertente. Forse l'aveva fatto per i suoi nipoti... la storia non ce lo dice. In realtà, aveva avuto qualche problema con la gravità e quindi preferiamo descriverne una versione schematica ma altrettanto interessante e istruttiva. Lui, dicono, l'avesse chiamato orologio a pallina e noi ne conserviamo volentieri il nome.

Costruiamo l'orologio a pallina

Per non avere i suoi problemi con la gravità terrestre che tende a far cadere le “cose” verso il suolo con una certa accelerazione, portiamoci idealmente lontano da ogni massa planetaria o stellare, in modo da non risentire di alcuna forza esterna. L'apparecchiatura è molto semplice. Ai due estremi di una struttura trasparente inseriamo due piastre perfettamente elastiche. Indichiamone una come “bassa” e una come “alta” (al di fuori della gravità non avrebbe senso parlare di alto e basso...). In qualche modo (senza entrare nel tecnico) imprimiamo a una pallina posta sulla piastra bassa una certa velocità u COSTANTE che la faccia andare fino a quella superiore. Qui la pallina viene rimandata indietro con la stessa velocità, ma in in direzione opposta. Se non esistessero attriti, la pallina continuerebbe a fare lo stesso gioco fino alla fine del tempo, rimbalzando da una piastra all'altra. Il tempo che impiega ogni volta che percorre la distanza tra le due piastre lo poniamo uguale all'unità di tempo, t = 1. E' allora facile “vedere” direttamente il tempo che passa contando quante volte la pallina percorre il tratto tra le due piastre che indichiamo con d.

Il semplice congegno lo disegniamo nella Fig. 3. Per non farci mancare niente indichiamo anche i tempi intermedi a meta salita (t = 0.5) e a metà discesa (t = 1.5). Ogni rettangolo indica, ovviamente, la situazione dello stesso orologio a pallina in tempi diversi

Figura 3
Figura 3

Possiamo spingerci facilmente a calcolare la velocità della pallina che sarà sempre la stessa , una volta in un verso e una volta in verso opposto. Non abbiamo nemmeno problemi a disegnarla (come già aveva fatto il nostro amico Vittore). Essa è un vettore, ossia ha una certa intensità, una certa direzione e un certo verso. L'intensità è rappresentata da un segmento, la direzione dalla direzione del segmento rispetto (ad esempio) a un sistema di assi cartesiani x e y, il verso dalla tanto amata freccia di Vittore. Nel nostro caso la direzione è la perpendicolare alle due piastre e il verso si inverte ad ogni rimbalzo. Quanto vale la sua intensità? Beh... basta scrivere la semplice formula che definisce l'intensità di una velocità. Essa è data dal uno spazio diviso un tempo, ossia:

u = d/t           .... (1)

il che vuole anche dire che l'intensità di u è data dallo spazio percorso nell'unità di tempo. Ma, la nostra unità di tempo è proprio il tempo trascorso dalla pallina tra un urto e l'altro e, quindi, nella formula (1) possiamo inserite t = 1. Ne segue immediatamente che

u = d.

L'intensità della velocità (possiamo anche chiamarla più tecnicamente modulo) è data proprio dalla distanza percorsa tra un rimbalzo e l'altro. Dovevamo intuirlo fin da subito dato che abbiamo detto che la pallina percorre d in un tempo unitario, ricordate? “il tempo che impiega ogni volta che percorre la distanza tra le due piastre lo poniamo uguale all'unità di tempo, t = 1”. Nessun problema quindi a disegnarla nella Fig. 3. Ovviamente, per indicare il cambiamento di verso, inseriamo un segno meno davanti (ma basterebbe il cambiamento della punta della freccia...).

A questo punto il nostro orologio sarebbe completato. Possiamo, allora cominciare a giocare un po' con lui? Per maggiore chiarezza, noi che possiamo, inseriamo anche un vero orologio vicino alla lastra inferiore. Come si vede bene nella Fig. 3, ogni unità di tempo corrisponde a metà quadrante (la nostra mezz'ora o mezzo minuto o quello che volete). Per far fare un giro completo all'orologio, la pallina deve tornare alla base di partenza.

Un secondo orologio in movimento

Innanzitutto, introduciamo un secondo orologio a pallina (di colore blu) che funziona esattamente come il primo. In particolare, il tempo trascorre in modo identico. A mano a mano che le palline vanno su e giù, gli orologi le seguono perfettamente: stessa velocità della pallina e stessa distanza d tra le due lastre elastiche. Vediamo la perfetta corrispondenza in Fig. 4.

Figura 4
Figura 4

Fino ad ora abbiamo considerato i due orologi fermi uno rispetto all'altro. E' ora di farne muovere uno dei due. Ad esempio muoviamo quello blu verso destra. L'importante è che non acceleri, ma si muova con velocità costante v. La velocità v gli fa percorre una una certa distanza s nel tempo unitario. In altre parole nel tempo che la pallina sale di d (tempo unitario), tutto l'orologio blu si sposta di un tratto uguale a s. Notiamo bene che s può essere qualsiasi, o più lungo più corto di d (Fig. 5)

Figura 5
Figura 5

Nella figura ci siamo limitati soltanto a un tratto di percorso uguale a s, pari a un intervallo di tempo unitario (la pallina ha toccato la piastra superiore).

Tutto quello che vogliamo fare, anche se sembra ovvio, è di vedere se il tempo dell'orologio rosso continua a trascorrere nello stesso modo anche quando è in movimento. Dobbiamo perciò misurare tre tempi: (1) il tempo che passa per l'orologio rosso; (2) il tempo che passa per l'orologio blu; (3) il tempo che passa per l'orologio blu VISTO dall'orologio rosso. Sembrerebbero delle risposte banali, ma non lo saranno più quando passeremo a un altro tipo di... pallina.

Per rispondere al primo problema basta stare sull'orologio rosso e contare i rimbalzi della pallina, controllando sull'orologio con la lancetta. Il secondo problema è altrettanto semplice: basta mettersi sull'orologio blu e muoversi con lui. Sicuramente, non ci accorgeremmo assolutamente di muoverci, perché sia la pallina sia le lastre sia l'orologio (sia noi stessi) si muovono all'unisono con velocità v. Tutto, quindi, ci appare fermo. Per convincersene basta pensare a quando si viaggia in treno. Se vogliamo versare dell'acqua (o del vino) in un bicchiere non abbiamo nessun problema, dato che sia il bicchiere che il tavolino che noi con la bottiglia ci muoviamo alla stessa velocità e quindi non c'è nessun movimento tra una cosa e l'altra. Questo risultato che sembra del tutto ovvio prende il nome di principio d'inerzia: se non viene disturbato da una forza esterna (uno spintone?) ogni oggetto mantiene il suo stato di quiete (sta fermo) o di moto rettilineo uniforme (si muove a velocità costante). In altre parole se qualcosa si muove con velocità costante, lo continuerà a fare per l'eternità. Purtroppo è un principio del tutto teorico nella vita quotidiana... Se, infatti, lanciamo una pallina sul pavimento, prima o poi si fermerà a causa dell'attrito o di qualche ostacolo che incontra. Ma questi disturbi sono proprio quelle antipatiche forze che intervengono a disturbare il principio di inerzia.

Più difficile è calcolare il tempo che trascorre sull'orologio blu se VISTO dall'orologio rosso.

La luce ci prende in giro

Pensiamo, innanzitutto, che lui sta fermo per definizione, mentre quello blu si sposta. Come facciamo a vedere quello che capita sull'orologio blu restando fermi sull'orologio rosso? E' un bel problema, soprattutto se il percorso che compie è abbastanza lungo (o se la nostra vista non è tanto acuta). Lo possiamo notare nella Fig. 5. Ma non basta... più l'oggetto (orologio blu) si allontana da noi (orologio rosso) per potere vedere cosa capita su quest'ultimo dobbiamo aspettare che la sua luce ci raggiunga. Purtroppo, sappiamo benissimo che la luce viaggia velocissima, ma impiega, comunque, del tempo a percorre una certa distanza. Pensiamo al Sole e a alla Luna. La luce di quest'ultima impiega solo poco più di un secondo per arrivare ai nostri occhi, mentre quella del Sole impiega ben otto minuti.

Ciò vuol dire che la luce della Luna che arriva da noi ADESSO è partita dopo di quella del Sole che vediamo ADESSO. In poche parole l'orologio della Luna ci appare segnare un tempo diverso da quello del Sole. Oppure, in modo inverso: se la Luna e il Sole sparassero un raggio luminoso identificabile in qualche modo (magari di colore violetto) nello stesso istante, per il nostro orologio, noi vedremmo arrivare prima quello della Luna e poi quello del Sole, concludendo che i due segnali sono arrivati da noi in tempi diversi. La faccenda è descritta in Fig. 6.

Figura 6
Figura 6

In alto, consideriamo la luce dei due astri che giunge a noi nello stesso momento (t3):  a causa della differente distanza e della "lentezza" della luce, quella del Sole è dovuta partire in t1, quasi otto minuti prima di quella che riceviamo dalla Luna, partita in t2 > t1.  In basso, invece, facciamo partire un  raggio di luce viola sia dal Sole che dalla Luna nello stesso istante t1. Sulla Terra arriverà prima quello della Luna in t2 e solo dopo otto minuti circa quello del Sole, in t3 > t2.

Attenzione, però... questo effetto NON è assolutamente legato alla relatività di Einstein, ma solo al fatto che la luce non viaggia a velocità infinita. Pensiamo alle stelle: noi vediamo nello stesso momento la luce di una stella partita 10 miliardi di anni fa e una partita 10 anni fa. Tutto ciò solo perché la distanza delle due stelle è enormemente diversa e la luce andando alla sua velocità costante in un caso ha impiegato 10 miliardi di anni per arrivare fino a noi e nell'altro solo dieci. Attenzione, quindi a non fare confusione! Per metterci al sicuro e non nominare parole come VEDERE qualcosa, creiamo un sistema virtuale estremamente utile allo scopo...

I sistemi di riferimento

L'orologio rosso è uno e uno solo, ma ha un numero infinito di “sosia” che seguono in modo perfetto tutte le sue mosse. Potremmo immaginarcene infiniti , inseriti in qualsiasi punto dello spazio. Ovviamente non si possono vedere in Natura, ma essi ci sono e possiamo rappresentarli benissimo nelle nostre figure. Ognuno di loro lancia la pallina, la vede rimbalzare e tornare indietro nello stesso identico modo dell'orologio “reale” di partenza. Può anche darsi che alcuni di questi sosia sia anch'essi visibili. Ad esempio, ve ne potrebbe essere uno a qualche chilometro o migliaia di chilometri o addirittura miliardi di chilometri di distanza che indichi la sua posizione. Basta pensare che ve ne sia uno vicino al Sole e uno vicino alla Luna. Cosa potrebbero fare? Beh, dirci esattamente a che ora è partito un certo raggio di luce dai due astri. D'altra parte essi sono obbligati a segnare sempre lo stesso tempo di quello su cui siamo saliti. In poche parole è come se noi fossimo sempre capaci di vedere direttamente il tempo che segna il nostro orologio anche se parliamo di oggetti celesti (e di orologi a pallina) molto lontani. Ogni oggetto ha vicino a lui un orologio a pallina nella posizione in cui si trova in qualsiasi istante. Insomma, una vera rete di  "spie", in pieno accordo con l'orologio rosso, che può vedere da vicinissimo tutto e tutti. Non c'è più nessun bisogno di aspettare che l'informazione luminosa parta da molto lontano e giunga fino a noi, prendendoci in giro riguardo al momento in cui è partita dalla sorgente. Un sistema così composto viene chiamato sistema di riferimento. Dobbiamo anche aggiungere che se si muove uno dei suoi orologi reali o virtuali si devono muovere tutti gli altri in moto solidale. Ovviamente se due sistemi di riferimento si muovono uno rispetto a un altro a velocità costante essi formano dei perfetti sistemi di riferimento inerziali. La Fig. 7 ci mostra una parte piccolissima del sistema di riferimento inerziale che accompagna l'orologio rosso.

Figura 7
Figura 7

Ci siamo limitati a qualche "sosia" lungo la linea orizzontale, sia a destra che a sinistra dell'orologio "reale". Per riconoscerli abbiamo tratteggiato il percorso rosso della pallina. Ricordiamo ancora che ne abbiamo segnato solo qualcuno, dato che le "spie" esistono in qualsiasi punto dello spazio. Nella parte bassa facciamo notare come tutti gli orologi segnino sempre la stessa ora e come le palline si muovano all'unisono.

Nella prossima puntata studieremo il moto dell'orologio blu...

Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio "La Relatività Ristretta per tutti" all'interno della sezione "Velocità della luce, Relatività e Buchi Neri".

9 commenti

  1. Per tutti

    ripeto ancora: questo è solo un tentativo di arrivare ai principi base della relatività ristretta a piccoli passi, mantenendo una semplicità alla portata di tutti. Non è facile stare sempre terra-terra... Vi prego, perciò, di contribuire al tentativo sollevando critiche e suggerendo modifiche che possano rendere sempre più comprensibile e chiaro il percorso didattico. GRAZIE!!!

  2. Paolo

    Caro Enzo, giusto per ribadire alcuni concetti, vorrei aggiungere due cose, dividendo il mio intervento in due distinti post.

    La prima riguarda i sistemi di riferimento inerziali.

    Come faccio a riconoscere e costruire il mio sistema di riferimento inerziale?

    Semplice, nel mio sistema di riferimento inerziale la distanza tra tutti gli orologi spia (o qualunque altro oggetto appartenente al mio sistema) non cambia mai.

    Per esempio se metto un orologio a Milano ed uno a Roma e non li sposto, per me che sono comodamente seduto davanti a una scrivania, la loro distanza sarà sempre la stessa.

    Nulla cambia se metto due orologi su due vagoni dello stesso treno, per me che sto sul treno la distanza tra i due orologi non cambia mai.

    Basta controllare la mia distanza dagli estremi del vagone e dai due orologi per accorgersi che questa non cambia!

    Quindi se io sono seduto sul treno, rispetto a quest’ultimo sono io che non mi muovo e sono fermo, mentre guardando dal finestrino vedo il paesaggio che si muove.

    Solo se il treno accelera o frena, in seguito allo scossone ricevuto io vengo spinto in avanti o indietro, per cui per un breve lasso di tempo la mia distanza dagli estremi del vagone cambia, ma in tal caso il sistema non è più inerziale, poiché la velocità del treno è variata a causa di una forza (che ha prodotto un’accelerazione o una decelerazione) che ha disturbato l’inerzia.

    Tornando al mio sistema inerziale, per me che sto seduto sul treno, invece, la distanza degli orologi posizionati dai ferrovieri accanto ai binari cambia continuamente… quindi gli orologi spia dei ferrovieri non appartengono al mio sistema di riferimento inerziale.

    Al contrario, per i ferrovieri che si trovano fermi lungo i binari, la distanza dei loro orologi spia non cambia mai.

    Quello, quindi è il loro sistema di riferimento inerziale, dove tutto è fermo e le distanze non cambiano.

    Per i ferrovieri sono loro ad esser fermi, rispetto ai loro orologi spia, mentre il treno si muove.

    Ovviamente per i ferrovieri la distanza degli orologi spia posizionati sul treno cambia continuamente, per cui questi non appartengono al loro sistema di riferimento inerziale.

    Probabilmente per molt@ ho detto solo cose ovvie, ma provati a pensarci bene.

    A cosa serve un sistema di riferimento?

    Innanzitutto ad avere dei “punti spaziali” di riferimento fissi, validi per tutt@ quell@ che appartengono allo stesso sistema di riferimento inerziale.

    Poco importa se io sto seduto a Roma e mio cugino sta seduto a Milano, per entrambi la distanza tra noi  è la stessa e non cambia con lo scorrere del tempo.

    Poco importa se io sono seduto sul vagone di coda del treno e mio cugino sul vagone di testa del treno, per entrambi la distanza tra noi non cambia con lo scorrere del tempo.

    Avere dei punti spaziali di riferimento comuni, consente per esempio anche di misurare la velocità di ciò che per noi si sta muovendo.

    Per esempio, se un treno impiega un certo intervallo di tempo per muoversi da Roma a Milano, dato che per noi la distanza tra Roma e Milano è nota e non cambia, ci vuole un attimo per calcolare la velocità del treno (che  si muove a velocità costante), ossia:

    v = S/t = (Distanza Roma – Milano)/ (intervallo di tempo impiegato).

    Paolo

  3. caro Paolo,

    ho parlato solo di tempo, proprio perché volevo separare distanze e tempi. L'esempio del treno l'ho fatto anch'io così come l'effetto movimento (prossima puntata). L'aver detto che in un sistema di riferimento gli orologi possono essere dappertutto indica praticamente che creano un sistema solidale e che ovunque tu vada ne trovi uno adatto allo scopo. Facciamo così... quando avrò finito anche la seconda parte, vediamo se c'è da aggiungere qualcosa... agendo direttamente sul testo scritto... OK?

  4. Guido

    Buongiorno, il percorso didattico fin qui mi sembra molto chiaro. Va letto con molta attenzione ma mi sembra assolutamente chiaro. Faccio una confessione: sto riportando esattamente nello stesso modo e passo passo il discorso ai miei figli (terza media e seconda liceo) e mi pare che l'efficacia sia evidente.

  5. grazie Guido! questa è proprio una di quelle prove che speravo si facessero. Saranno proprio loro, magari, a trovare i punti critici. E' bello poter lavorare in stretto contatto per riuscire a ottenere qualcosa di utile!

  6. Guido

    Segnalerò prontamente le eventuali perplessità che i ragazzi dovessero riportarmi.

  7. grazie Guido... ci conto!

  8. Dario

    Fantastici! Vi segnalo a mio figlio, ricercatore in ambito astrofisico presso l'università di Francoforte.

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