18/04/19

LA RELATIVITÀ RISTRETTA PER TUTTI. 3. L'OROLOGIO A PALLINA DI GALILEO GALILEI (SECONDA PARTE) *

 Questo articolo fa parte della serie "La Relatività Ristretta per tutti"

Concludiamo  la relatività galileiana, proprio quella che ha fatto sobbalzare il nostro amico Vittore. Ci servirà per iniziare a dare alcune definizioni che diventeranno essenziali per il passo successivo che ha visto Einstein come ideatore. Vedremo che le difficoltà sono veramente irrilevanti e basterà applicare quanto imparato finora, ricordandosi della scoperta di Vittore.

L'orologio rosso si fa aiutare

Per rispondere correttamente al terzo problema temporale sollevato precedentemente, l'orologio rosso approfitta degli infiniti amici del suo sistema di riferimento. A noi basta disegnarne qualcuno nella Fig. 8, quelli che bastano per segnare esattamente il tempo che vedono nell'orologio blu che si sta muovendo.

Figura 8
Figura 8

In ogni istante c'è, infatti, un sosia dell'orologio rosso che VEDE perfettamente cosa sta facendo (si trova proprio nello stesso posto dell'orologio blu!) . In realtà, come già accennato, ne potremmo mettere infiniti, ma lo spazio delle figure ce lo impedisce. Tuttavia bastano quattro orologi rossi virtuali (li abbiamo tratteggiati) per darci una risposta più che accettabile e definitiva. L'importante è che ce ne sia sempre uno che possa controllare l'ora di quello blu nei momenti più significativi.

Via allora, lasciamo libero di muoversi l'orologio blu. Lui parte esattamente quando la pallina è in basso sia per lui che per quello rosso. Se chiedessimo all'orologio blu come si sente, lui risponderebbe : “Benissimo, mi sento perfettamente fermo e vedo la mia pallina salire e scendere in pieno accordo con l'orologio con la lancetta". Ma questo non ci stupisce di certo, dato che sappiamo bene che tutto ciò che fa parte dell'orologio blu si muove alla stessa velocità e quindi qualsiasi cosa rimane sempre nella stessa posizione.

Tuttavia, anche i sosia dell'orologio rosso, possono confermare che l'orologio blu si comporta come loro. Abbiamo perfino controllato quando la pallina era a metà strada tra la piastra inferiore e quella superiore. L'ultimo sosia non può che commentare: “Fantastico! Abbiamo compiuto un giro nello stesso identico tempo”. Qualcuno potrebbe dire: “E' una ovvietà!”. E, invece, no... l'aver detto che il tempo che trascorre sull'orologio blu, visto dal sistema rosso, è lo stesso tempo che segna l'orologio rosso (e quello blu) è una grande conquista e … un grande errore!

Dobbiamo ricordare, però, che ai tempi di Galileo non era ancora nato il Sig. Vittore e la felicità di Galileo era più che giustificata. In realtà, il fatto stesso che ci siano voluti cinque orologi rossi per controllare il tempo totale che scorre nell'orologio blu la dice molto lunga. I cinque sosia possono, infatti, confermare un fenomeno molto importante: “L'orologio blu funziona molto bene ed è in accordo con i nostri, ma è indubbio che lui si è mosso verso destra. Il percorso della pallina dell'orologio blu non è certo andata su e giù, per gli orologi rossi. Loro possono giurare che la pallina ha seguito un percorso molto strano, muovendosi in diagonale.

Ci pensano un attimo e poi fanno in fretta a capire il perché. La pallina dell'orologio blu, per noi che siamo fermi, ha subito due velocità: una è quella che la porta verso l'alto e il basso (che abbiamo chiamato u) e un'altra è quella di tutto l'orologio blu che si muove verso destra (che abbiamo chiamato v). La pallina si è mossa quindi di una velocità V che deve essere la somma di u e di v. Una velocità decisamente più grande sia di u che di v, ma proprio quella giusta per farle percorrere nello stesso tempo un percorso a zig zag decisamente più lungo.

Nella fisica galileiana, questo è un risultato di estrema banalità: se devo percorrere uno spazio più lungo nello stesso tempo, è ovvio che devo aumentare la velocità.

Gli orologi rossi si possono anche divertire a fare il calcolo sommando u e v con la “vecchia” regola del parallelogramma (meno male che non era ancora nato Vittore!). Sanno come trovare la distanza percorsa dalla pallina nel percorrere il tratto dal basso all'alto, dato che conoscono bene il teorema di Pitagora :

d2 + s2 = L2

che si traduce nel calcolo della somma della velocità (il tempo è stato considerato unitario per i percorsi d e s):

u2 + v2 = V2

se e solo se i tempi sono tutti tre unitari (quello dell'orologio rosso, quello dell'orologio blu e quello dell'orologio blu che viene “visto” dal sistema di riferimento rosso). Se accettiamo come valida la somma delle velocità con il metodo galileiano tutto torna perfettamente. Quanto detto lo vediamo benissimo nell'ultimo riquadro in basso a destra della Fig. 8, che mostra l'andamento della pallina dell'orologio blu visto dal sistema di riferimento rosso.

Diamo qualche definizione. Il tempo misurato da un solo orologio lo possiamo chiamare tempo proprio e così avremo tPR = tPB. Tale è sia il tempo segnato dall'orologio rosso sia da quello blu. Il tempo proprio è uno e uno solo e coincide sia per chi è fermo sia per chi si muove. Il tempo dell'orologio blu misurato da più di un orologio del sistema rosso lo possiamo già chiamare tempo improprio (fa uso di molti orologi...) tIR. Gli abbiamo messo la lettera R come pedice, dato che è un "qualcosa" relativo al sistema rosso. Per Galileo non c'era nessuna differenza tra tempo proprio e tempo improprio... ma ciò che vedremo, grazie al Sig. Vittore, darà una brutta bastonata alle conclusioni del genio pisano.

Un breve riassunto

Abbiamo compreso che nello stesso spazio possono esistere infiniti sistemi inerziali, dato che essi sono definiti dal movimento reciproco e sono caratterizzati da infiniti orologi che segnano TUTTI  lo stesso tempo. Abbiamo già visto che se il movimento reciproco avviene con velocità costante, qualsiasi sistema considerato in movimento scandisce il tempo come quello che è considerato fermo. Ciò che potrebbe cambiare è solo e soltanto il tempo di chi è visto muovere, se osservato dal sistema fermo. Ma non per Galileo...per lui sono uguali tutti e tre, ossia il tempo scorre nello stesso modo sia per chi guarda il proprio orologio sia per chi vede gli orologi dell'altro. Il tempo è un qualcosa di assoluto che non dipende dal sistema di riferimento di chi guarda gli orologi degli altri sistemi. Il tempo NON è relativo!

Ma ha veramente un senso parlare di orologio fermo e di orologio in moto? In realtà assolutamente NO. Ogni sistema inerziale può considerarsi fermo e imputare il moto agli altri sistemi. Il che vuol dire che quanto abbiamo trattato fin qui deve essere assolutamente simmetrico. Niente può cambiare se cambiamo sistema di riferimento. Vediamo di dimostrare questa ovvietà in modo accurato anche se, giocoforza, ripetitivo.

Chi è che si muove?

Finora ci siamo divertiti con un orologio rosso FERMO e un orologio blu in movimento. Ma, parliamoci chiaro, chi è che stabilisce chi si muove e chi no? Abbiamo già accennato al fatto che, per l'orologio blu, tutto funziona come quando era fermo. Solo l'orologio rosso e i suoi “sosia” (ossia il suo sistema di riferimento) affermano che l'orologio blu si muove.

Pensiamo un attimo a un fenomeno che pensiamo sia capitato un po' a tutti. Siamo fermi in una stazione e non vediamo altro che il treno a fianco del nostro. Non vediamo lampioni, palazzi o oggetti che ci possano indicare se ci muoviamo oppure no. A un certo punto, ci rendiamo conto che il treno a fianco si è mosso. Ce ne accorgiamo perché vediamo finestrini e porte che si muovono. Possiamo tranquillamente considerare quei finestrini e quelle porte come dei sosia di un orologio a pallina.

Ci poniamo subito una domanda: “Siamo noi che ci muoviamo o è il treno vicino a noi?! Una domanda più che plausibile che ottiene una risposta non appena il treno a fianco sparisce e riusciamo a vedere tanti oggetti immobili o tanti oggetti in movimento. Nel primo caso possiamo concludere che ci siamo illusi: è il treno a fianco che si è mosso (il nostro sistema-treno è lo stesso sistema del paesaggio...). Nel secondo caso tiriamo un sospiro di sollievo: siamo in orario, dato che siamo proprio noi a muoverci (è il secondo treno che fa parte del sistema paesaggio).

Cosa ci dice questo banale esperimento della vita di tutti i giorni? Ci dice che non è possibile sapere chi si sta veramente muovendo di moto rettilineo uniforme, se non ci fossero segnali chiari che identifichino un certo sistema di riferimento, ad esempio, quello della stazione.

Tuttavia, se eliminassimo tutti i segnali di riferimento come la stazione e il paesaggio, chi potrebbe mai dire di essere in movimento? La realtà è proprio questa: il movimento è del tutto relativo (ecco entrare alla grande una parola fondamentale!). Noi possiamo benissimo considerarci fermi e concludere che è l'oggetto blu che si muove. Ma l'orologio blu può benissimo dire che lui sta fermo ed è l'orologio rosso che si muove! Nessuno sarà mai in grado di dire che un sistema inerziale (ossia che viaggia a velocità costante ) sia fermo oppure in moto. Anzi, potremmo dire che hanno ragione tutti e due. Se un sistema di riferimento appare in moto per un altro sistema di riferimento, quest'ultimo appare in moto per il primo sistema di riferimento. Ovviamente, cambiando sistema, si inverte il verso della velocità.

Se vogliamo una prova pratica per tutto ciò, torniamo ai nostri orologi rosso e blu, i cui tempi sono, come prima, tPR = tPB. Questa volta, però, ci spostiamo sull'orologio blu. Gli permettiamo anche di mettere in evidenza tutti i suoi orologi sosia che individuano il suo sistema di riferimento. Cosa vedremmo rifacendo l'esperimento di prima? Noi ci sentiremmo fermi e vedremmo l'orologio rosso spostarsi verso sinistra e il suo tempo tIB  venire controllato passo dopo passo dai nostri sosia apparsi nel nostro sistema di riferimento. Useremmo la Fig. 9 e le conclusioni sarebbero le stesse ottenute prima: i tre tempi che volevamo misurare continuano a restare sempre uguali tra loro.

Figura 9
Figura 9

Potremmo anche ripetere, senza possibilità di errore, che ciò che abbiamo visto è un andamento a zig zag della pallina dell'orologio rosso che si è spostato rispetto a noi, ma che è stato spiato perfettamente dai nostri sosia.

La conclusione è che l'orologio rosso ha segnato un tempo proprio tPR(anche se per noi è in movimento) e che anche noi abbiamo segnato un tempo proprio tPB, dato che non ci siamo mossi. Non solo però... , il tempo misurato da noi, nel sistema blu, tIB del sistema rosso è stato controllato da diversi orologi del nostro sistema, ed è apparso perfettamente uguale al tempo proprio tPR = tPB.

Anche in questo caso basta un triangolo rettangolo e una somma di velocità per darci la conferma definitiva (ultimo riquadro in basso a destra).

Possiamo dire, con nuova sicurezza , che nessuno può provare di essere fermo o in movimento se appartiene a un sistema inerziale e che sia considerandosi fermo sia considerandosi in movimento il tempo scorre sempre nello stesso modo. Vi è una perfetta simmetria tra i due punti di vista.

Lasciateci dire una frase preveggente e ben compresa da Vittore: i tre tempi, anzi quattro, coincidono solo perché possiamo considerare come valida la somma di due velocità. Galileo Galilei niente sapeva della velocità della luce (anche se se la aspettava molto grande) e non poteva fare altro che credere nella composizione delle velocità. Potremmo anche dire che si aspettava un limite alla sua teoria, così perfetta per il mondo che lo circondava, ma per poterlo superare doveva avere conoscenze maggiori sulla velocità della luce. In qualche modo si era reso conto dell'approssimazione della sua teoria, ma anche che era più che sufficiente per descrivere la realtà. In pratica ha fatto un qualcosa di simile a quanto racconta il Vasari su Giotto e Masaccio. Il primo ha lasciato in vista il suo pennello che è stato ripreso in mano dal secondo. Così Galileo sembra aver lasciato sospesa la sua teoria in attesa che potesse essere perfezionata da Einstein (con l'aiuto del nostro amico Vittore).

Un diagramma illuminante

Finora abbiamo tracciato figure un cui lo spazio era considerato a due dimensioni e le ripetevamo in tempi diversi. Adesso facciamo un passo in più e cerchiamo di legare insieme spazio e tempo. Per far ciò siamo costretti (per semplicità di figura) a considerare lo spazio a una dimensione.

La prossima figura, più in là, si rivelerà molto utile, ma  anche adesso ci spiegherà molto bene l'errore di Galileo, dovuto solo al fatto di non aver potuto lanciare i suoi orologi a velocità veramente grandi.

Costruiamo un semplice diagramma in Fig. 10, in cui poniamo lo spazio (considerato a una sola dimensione) sull'asse x e il tempo sull'asse y. Prendiamo come sistema di riferimento FERMO quello rosso.

Figura 10
Figura 10

Ciò vuol dire che il tempo dell'orologio rosso si misura sull'asse y. Disegniamo adesso il sistema dell'orologio blu. Lui si muove con velocità v e quindi si sposta a destra, mentre passa il tempo t, di un certo spazio s. Cosa possiamo concludere? Se tracciamo una retta parallela all'asse x dello spazio, esso ci indica perfettamente lo stesso tempo sia per l'orologio rosso, sia per l'orologio blu, sia per il tempo dell'orologio blu visto dal sistema rosso considerato fermo (parte sinistra della figura).

Vediamo subito che per il sistema rosso, per  misurare il tempo passato nell'orologio blu, ha bisogno di tanti orologi rossi , posti a diverse distanze, che ne controllino l'esatto valore. L'orologio blu, invece, per misurare il suo tempo ha bisogno solo di un orologio che si muove lungo la sua traccia. Analogamente l'orologio rosso se vuole misurare il suo tempo può fare tutto da solo. Abbiamo nuovamente individuato i tempi propri (quelli misurati da un solo orologio) e quello improprio, misurato utilizzando molti orologi posti vicini a quello in movimento (ma sappiamo che essi esistono virtualmente e fanno parte essenziale di qualsiasi sistema di riferimento).

A costo di essere noiosi, ribadiamo ancora che sia per Galileo, ma anche dopo l'arrivo di Vittore e di Einstein, il tempo proprio è sempre lo stesso per qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Non facciamoci ingannare dagli orologi virtuali. Se si comprende questo punto essenziale, la relatività ristretta diventa proprio un gioco (o poco di più) del tutto comprensibile già nelle scuole medie. Forza insegnanti, prendete il coraggio a due mani e colmate un vuoto assurdo durato più di cento anni! Questa è la fisica moderna e quella del futuro.

La perfetta simmetria di cui abbiamo parlato poco fa si può vedere considerando fermo l'orologi blu e facendo muovere l'orologio rosso (parte destra). L'unica cosa che cambia è che il percorso dell'orologio rosso è caratterizzato da una velocità -v. Tutte le altre considerazioni rimangono valide.

Un ultimo appunto preveggente... Possiamo spostarci comunque lungo lo spazio, ossia andare a velocità diverse, ma il tempo non cambia a assolutamente. Il che vorrebbe dire che lo spazio e il tempo sono variabili del tutto indipendenti. Legate solo dalla velocità. Potremmo anche spostarci di una quantità enorme in un tempo piccolissimo e il diagramma non farebbe una piega. Ma questo porterebbe a poter viaggiare a velocità qualsiasi, mentre Vittore si è trovato in grande difficoltà proprio perché ha compreso che oltre una certa velocità non si può andare.

Fino a qui abbiamo seguito Galileo Galilei, ma adesso siamo costretti ad abbandonarlo, dato che troppe cose non tornano più andando un po' troppo veloci. Eppure sembrava tutto così perfetto... La verità è che il concetto dell'orologio a pallina è in esperimento magnifico, ma dobbiamo cominciare a convincerci che il tempo che trascorre normalmente (tempo proprio) su un sistema in movimento, diventa veramente improprio, ossia diverso, se viene visto da un sistema considerato fermo. La cosa, però, è del tutto simmetrica e se chi stava muovendosi si considera fermo, anche nel suo sistema il tempo, che trascorre tranquillamente nel sistema considerato in movimento, sarà visto trascorrere in modo diverso, ossia improprio.

In parole stringate: “Il tempo proprio si misura soltanto quando si usa un solo orologio

 

Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio "La Relatività Ristretta per tutti" all'interno della sezione "Velocità della luce, Relatività e Buchi Neri".

1 commento

  1. NOTA BENE: ricordo ancora a tutti che questo è solo un "lavoro in corso". Qualsiasi problema sorga o qualsiasi miglioramento riteniate opportuno (in quanto semplificatore) lo aspetto con grande piacere! (So già che Guido lo sta facendo...)

    GRAZIE: uno per tutti e tutti per uno...

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