4/05/19

La relatività ristretta per tutti. 5. Le distanze si accorciano *

 Questo articolo fa parte della serie "La Relatività Ristretta per tutti"

 

Introdotti  e definiti il tempo proprio e il tempo improprio, siamo entrati nel cuore della relatività ristretta. Abbiamo anche capito che il tempo scorre in modo diverso solo se si guardano e si misurano i tempi dall'esterno, utilizzando molti orologi. All'interno di ogni sistema di riferimento il tempo scorre sempre nello stesso modo ed è sempre quello proprio, il più corto in assoluto. Dedichiamoci, ora, alla ovvia relazione che deve intercorrere tra lunghezze proprie e improprie. Basta come sempre utilizzare la sola formula della velocità o poco di più.

Anche le lunghezze si accorciano

Parliamoci chiaro... non possiamo illuderci. Abbiamo visto, arrivandoci con tutte le dovute cautele, come il tempo che scorre in un sistema in movimento venga osservato passare più lentamente da un sistema che si considera fermo. Ricordiamo che un'unità di tempo del sistema in movimento deve essere uguale a quella di un sistema in quiete, ma se viene osservata da quest'ultimo appare dilatarsi a tal punto che una sola unità appare uguale a più di un'unità di quello in quiete. Purtroppo (o per fortuna) abbiamo già capito che il tempo è relativo al sistema di riferimento e ne deve seguire che lo stesso capiti anche allo spazio. D'altra parte, ricordiamo che la velocità è uno spazio diviso un tempo... se lei è una costante e se cambio il tempo deve cambiare anche lo spazio percorso, in perfetto accordo con il tempo che viene misurato. L'importante è stare bene attenti di quale tempo parliamo: proprio o improprio.

Vi sono vari modi per dimostrare la variazione dello spazio. Il modo più semplice e sicuro sarebbe quello di utilizzare le formule di trasformazione di Lorentz, ma abbiano promesso di non toccare formule, se non quella della velocità e manterremo la promessa (al limite abbiamo applicato il teorema di Pitagora a un triangolo).

Continuiamo a utilizzare l'orologio di luce di Einstein come fosse un vero e proprio orologio. Questa volta, però, nel sistema fermo rosso segniamo un punto di partenza A e un punto di arrivo B per l'orologio in moto (Fig. 16).

Figura 16
Figura 16

La distanza tra A e B la può misurare molto bene il sistema fermo: basta che venga riportato un certo numero di volte un righello di lunghezza unitaria. Eseguita la misura, il sistema fermo rosso può essere sicuro che la distanza tra A e B è proprio una lunghezza propria LPR.

Non staremo a disegnare nuovamente la salita e la discesa del fotone dell'orologio blu, dato che sappiamo già bene come funziona e come venga visto dal sistema di riferimento rosso che si considera fermo. Il tempo trascorso perché l'orologio blu passi da A a B sarà misurato da molti orologi rossi e porterà alla misura di un tempo improprio rosso tIR. Per il sistema rosso quello è il tempo passato durante il viaggio dell'orologio blu da A a B.

Il sistema rosso scrive la velocità dell'orologio utilizzando i dati in suo possesso:

v = LPR/tIR …. (2)

Cosa deve fare l'orologio blu per conoscere la distanza che ha percorso da A a B? Molto facile: deve moltiplicare la velocità v per il tempo misurato dal lui stesso per andare da A a B. Il tempo trascorso è misurato da un solo orologio ed è quindi il tempo proprio tPB. Deve perciò scrivere:

LB = v tPB             .... (3)

Abbiamo indicato la distanza solo come LB, dato che non sappiamo ancora a cosa sarà uguale.

Non ci vuole molto a scoprirlo, dato che la velocità v è quella che è per entrambi i sistemi: inseriamo la velocità, scritta precedentemente nel sistema rosso (2), nella relazione (3)

LB = LPR · tPB/tIR

Sappiamo bene quanto vale il tempo proprio rosso tIR:

tIR = γ tPB

Da cui:

LB = LPR · tPB/(γ tPB )

LB = LPR/γ

Beh... la lunghezza LB è decisamente diversa da quella propria LPR e possiamo tranquillamente chiamarla lunghezza impropria LIB:

LIB = LPR

Il fattore 1/γ = ( 1- v2/c2)1/2 è sempre minore di 1, per cui la distanza impropria calcolata dall'orologio blu è sempre minore di quella propria che è, ovviamente, uguale in tutti i sistemi. Infatti, ogni sistema può misurare una tale distanza all'interno del suo sistema, utilizzando lo stesso righello unitario utilizzato dal sistema rosso. Ne consegue che la lunghezza propria è la più lunga in assoluto.

Riassumendo, in modo analogo a quanto fatto per i tempi, la lunghezza impropria è una lunghezza misurata da un sistema di riferimento che è diverso da quello in cui è stata misurata una lunghezza propria. Così come il tempo improprio è un tempo misurato da un sistema di riferimento diverso da quello in cui è stato misurato un tempo proprio.

Notiamo anche un fatto molto interessante (che fa il paio con quanto trovato per i tempi). Nel caso che la velocità v sia uguale a zero otteniamo ovviamente che LIB = LPR, ossia si ricade nel caso galileiano (le distanze non cambiano cambiando sistema di riferimento), Se, invece, poniamo v = c, otteniamo che LIB diventa zero. Andando alla velocità della luce le distanze si annullano.

Dato che vale una perfetta simmetria, nel sistema di riferimento supposto fermo, un qualsiasi oggetto che viaggi alla velocità della luce apparirebbe di dimensioni nulle. Una ulteriore ragione per poter dire che è impossibile per oggetti materiali raggiungere tale velocità. Dovremo proprio rassegnarci!

Attenzione: non abbiamo certo perso la simmetria del risultato. Nel caso illustrato prima, l'orologio poteva trovarsi su un'astronave (che aveva anch'essa una lunghezza propria misurata con un righello). Il suo capitano ha misurato una lunghezza impropria contratta nelle distanze tra corpi celesti od oggetti qualsiasi che popolano il sistema fermo (ad esempio il Sistema Solare). Lo stesso deve capitare, però, anche per chi risiede nel sistema fermo che misura una lunghezza contratta dell'astronave!  Lo faremo subito, ritrovando la relazione tra lunghezza propria e impropria in modo un po' diverso. E' un metodo più articolato che da un lato è sicuramente più intuitivo graficamente ma che, dall'altro, ha bisogno di qualche passaggio algebrico in più (cose da scuole medie, comunque ...). Ognuno scelga quello che preferisce...

Corichiamo l'orologio di luce

Abbiamo dimostrato che, se visto da un sistema esterno (in quiete), il segnale luminoso deve compiere un tragitto più lungo di quello misurato da un orologio in quiete. Questo fatto comporta un tempo maggiore perché il segnale parta , si rifletta e torni al punto di partenza. Se ogni volta che torna al punto di partenza l'orologio fa un "tic", possiamo concludere (e l'abbiamo studiato più che attentamente) che l'orologio in moto viene visto fare, da chi sta fermo,  i suoi “tic” molto più distanziati tra di loro: gli orologi in moto girano più lentamente di quelli fermi quando vengono osservati da un sistema in quiete (attraverso molti orologi)

Qualcuno potrebbe dire: “Sì, è vero, ma solo per quel tipo di orologio... Se lo mettessi in un altra posizione le cose potrebbero cambiare”.

Sì, sì, sappiamo che la luce si comporta in modo un po' strano. Tuttavia, esiste un principio spesso tralasciato, ma fondamentale per la relatività ristretta: lo spazio può essere considerato isotropo! Il che vuole dire che, all'interno di un sistema, lo stesso fenomeno fisico si ripete qualsiasi sia la direzione in cui venga compiuto. Possiamo perciò dire che gli orologi di luce funzionano allo stesso modo in qualsiasi direzione vengano sistemati.

Torniamo al nostro orologio di luce e piazziamolo, questa volta, in senso orizzontale. Siamo sicuri che quanto ricavato per l'orologio sistemato in verticale sia completamente valido anche per l'orologio di luce orizzontale.

La lunghezza propria dell'orologio sia LP, mentre il suo tempo proprio sia tP. Questi due valori possono essere calcolati con un solo orologio e con un righello solidale con l'orologio.

Chiamiamo invece LI la lunghezza dell'orologio, osservata da fuori. Si lavora come prima con molti orologi virtuali, attraverso i quali si riesce a esprimere questa distanza. Utilizziamo la Fig. 16bis dove non abbiamo più bisogno di disegnare gli orologi del sistema in quiete (ormai il trucco lo conosciamo bene)

rel16bis

Guardiamo il tutto dal sistema rosso fermo. La luce parte da A e viaggia verso B alla velocità della luce. Sì, però nel frattempo tutto l'orologio si sposta con velocità v. Non ci resta che misurare il tempo di partenza da A e di arrivo in B attraverso gli orologi virtuali del sistema in quiete. Il percorso compiuto è sicuramente uguale a ct1 (la velocità della luce non cambia). Tuttavia, possiamo scrivere che questo percorso è uguale alla lunghezza dell'asta LI vista dal sistema fermo più il tratto percorso dall'orologio nello stesso tempo t1. Ossia, vale la relazione:

LI + vt1 = ct1

In pratica abbiamo detto che la luce che parte da A deve fare un percorso apparentemente più lungo per raggiungere B.

Raggiunto B, la luce torna indietro per andare a segnare il suo primo "tic" in A.

Questa volta, però, il punto A  le viene incontro e il percorso appare più corto e vale la relazione:

LI – vt2 = ct2

Il tempo totale improprio necessario per ottenere il primo “tic”  è quindi:

tI = t1 + t2

Ricaviamoli dalle due relazioni precedenti (matematica elementare...)

ct1 – vt1 = L

t1(c - v) = L

t1 = L/(c – v)

 

ct2 + vt2 = L

t2(c + v) = L

t2 = L/(c + v)

 

tI = t1 + t2 = L/(c – v) + L/(c + v) = (L(c + v) + L(c – v))/(c2 – v2)

abbiamo eseguito un prodotto notevole di uso molto comune: (a+ b) (a - b) = a2 – b2

tI = (Lc + Lv + Lc – Lv)/(c2 – v2) = 2Lc/(c2 – v2)

dividiamo numeratore e denominatore per c2

tI = (2Lc/c2)/((c2 – v2)/c2)

tI = (2L/c) (1/(1 – v2/c2))            …. (4)

Sappiamo quanto vale la relazione tra tempo improprio e tempo proprio:

tI = tP/(1 – v2/c2)1/2                       …. (5)

per cui, sostituendo la (5) nella (4)

si ha:

tP/(1 – v2/c2)1/2 = (2L/c)/(1 – v2/c2)

semplificando si ha:

tP = (2L/c)/(1 – v2/c2)1/2                  …. (6)

Sappiamo anche, però, quanto vale la lunghezza propria dell'orologio:

2LP = ctP

ricaviamo tP:

tP = 2LP/c

e lo sostituiamo nella (6)

si ha:

2LP/c = (2LI/c)/(1 – v2/c2)1/2

semplificando:

LP = L/(1 – v2/c2)1/2

e, infine, si ricava la lunghezza impropria LI misurata dal sistema in quiete:

LI= LP (1- v2/c2)1/2 = LP/γ

Possiamo concludere che il sistema in quiete misura una lunghezza impropria che è decisamente più corta di quella propria. Ne consegue che la lunghezza propria è la massima lunghezza misurabile, come già ricavato precedentemente.

Ancora una volta abbiamo dimostrato, con passaggi di algebra elementare, la celebre contrazione delle lunghezze. In parole povere: un qualsiasi oggetto che si muove rispetto a un sistema in quiete appare (in realtà lo è proprio!) accorciato. E più la velocità è alta e più  grande è l'accorciamento.

 Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio "La Relatività Ristretta per tutti" all'interno della sezione "Velocità della luce, Relatività e Buchi Neri".

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