16/05/19

La relatività ristretta per tutti. 7. Completiamo un grafico *

Questo articolo fa parte della serie "La Relatività Ristretta per tutti"

E' giunto il momento di cercare di inserire tutto ciò che è stato descritto in un unico grafico che permetta di riassumere ogni risultato ottenuto. Lo abbiamo già iniziato e non ci resta che completarlo, localizzando esattamente l'asse dello spazio di un sistema in movimento rappresentato in un sistema considerato fermo.

Completiamo un grafico

Abbiamo visto come il diagramma spaziotemporale di Galileo (Fig. 10) si sia modificato tenendo conto della dilatazione dei tempi (Fig. 15). Tuttavia, quel diagramma che abbiamo imparato a comprendere e ad accettare come estremamente utile per riassumere con poche linee un concetto fondamentale per la nuova visione della fisica (fa quasi ridere definire “nuova” un qualcosa che dovrebbe essere di dominio pubblico da almeno cento anni!) è ancora decisamente incompleto.

Abbiamo solo visto che non esiste più un solo asse dei tempi, ma tanti quanti possono essere i sistemi inerziali. Ogni asse è sempre più inclinato rispetto all'asse verticale del tempo (relativo al sistema considerato fermo a cui riferire il tutto) al crescere della velocità del sistema in moto rispetto a quello fermo. Ovviamente, ogni sistema può essere considerato fermo e la figura non cambia assolutamente come forma generale se scegliamo un altro sistema come sistema fermo.

Avendo scelto come unità di tempo l'anno e come unità di spazio l'anno luce, la retta inclinata di 45° è il tracciato che compie la luce, relativa alla massima velocità possibile. Ne consegue che gli assi dei tempi di qualsiasi sistema di riferimento inerziale devono essere compresi nel triangolo superiore della figura. Notiamo ancora che la velocità della luce deve essere sempre la stessa in ogni sistema, per cui essa sarà sempre inclinata di 45° anche se si riferisce a un sistema che si muove a grande velocità rispetto a quello considerato fermo.

Non è difficile capire che manca ancora qualcosa nel diagramma... Che cosa? E' ovvio... lo spazio. Abbiamo già capito, parlando di contrazione delle lunghezze (e della simultaneità, soprattutto), che non è più possibile mantenere un asse dello spazio uguale per tutti i sistemi. Ognuno di loro ne deve avere uno particolare dato che il legame con il tempo è ormai stato dimostrato essere strettissimo.

In altre parole, così come l'unità del tempo proprio dei sistemi in movimento è sempre lo stessa, ma appare allungarsi sempre più aumentando la velocità e guardando tutto dal sistema fermo, così anche la lunghezza propria deve rimanere sempre la stessa in ogni sistema e questo implica che anche le unità di lunghezza (di spazio) devono aumentare sempre più all'aumentare della velocità, se viste nel sistema in quiete.

Attenzione a non confonderci proprio adesso... Abbiamo appena parlato di contrazione delle lunghezze e quanto appena detto sembra dichiarare il contrario. Il problema è leggermente più complesso di quello relativo al tempo, ma, alla fine, cercheremo anche di superare facilmente questo ostacolo. Ogni cosa a suo tempo... Dedichiamoci per ora a costruire per ogni asse dei tempi, relativo a un sistema in moto, il corrispondente asse dello spazio.

Per far ciò ci rifacciamo alla simultaneità relativa. Abbiamo appena visto, attraverso il treno di Einstein, che ogni sistema ha la sua simultaneità. Ma avere una certa simultaneità vuole anche dire che ogni sistema ha un suo asse per il quale è tempo è costante. Per avere simultaneità il tempo deve essere lo stesso. Questo nuovo asse deve essere, perciò, quello dello spazio.

Bene, con grande calma e utilizzando due esempi già studiati a fondo precedentemente, vedremo di costruire questi nuovi assi.

Un trenino spaziotemporale

Cominciamo considerando di nuovo il trenino di Einstein. Sarà cosa semplicissima, ma è necessaria tutta la nostra attenzione e riflessione.

Disegniamo subito il sistema considerato fermo in Fig. 21.

Figura 21
Figura 21

Nel nostro caso particolare, decidiamo che sia quello relativo al marciapiede. L'asse orizzontale è quello dello spazio e quello verticale rappresenta il tempo. Chi è fermo in questo sistema non si può muovere nello spazio e quindi non può che descrivere delle rette parallele all'asse del tempo. Gli oggetti  si muovono solo lungo il tempo. L'osservatore posto al centro del marciapiede (O1) lo poniamo nell'origine degli assi. La sua posizione la consideriamo uguale a zero sia nel tempo, sia nello spazio (ma potevamo assegnargli qualsiasi altra posizione nel suo sistema composto da infiniti “omini” virtuali i cui orologi girano esattamente come il suo).

Poniamo due luci, una a destra (B1) e una a sinistra (A1) dell'osservatore O1 e accendiamole proprio al tempo t = 0. La luce delle due lampadine si muove di 45° rispetto al tempo. Ma al passare del tempo O1 si sposta verso l'alto. Dopo un certo intervallo di tempo O1 viene raggiunto contemporaneamente dalle due luci di A1 e B1. Chiamiamo questo “punto” O1(t1), sapendo benissimo che è sempre O1 solo che è osservato dopo un certo intervallo di tempo.

NOTA BENE: abbiamo chiamato “punto” qualcosa che dovrebbe cambiare nome (finalmente). Un punto nel piano è normalmente definito da una coppia di coordinate (x,y). Nel piano che stiamo usando, invece, le coordinate sono lo spazio e il tempo. Uno stesso punto dello spazio cambia posizione sulla base del tempo. E' decisamente più giusto chiamarlo EVENTO, ossia a un punto definito da una sola coordinata spaziale, associamo la variabile tempo. Senza quasi accorgersene siamo ormai prepotentemente entrati nello spaziotempo, anche se per semplicità abbiamo definito lo spazio con una sola coordinata.

Individuato O1(t1) come intersezione della luce uscita da A1 e B1, non abbiamo fatto altro che dimostrare che le due lampadine si sono accese simultaneamente. Anche se sembra cosa ridicola, questa conclusione dimostra che l'asse dello spazio è proprio quello orizzontale. Possiamo chiamare l'asse s anche asse della simultaneità, ossia asse che corrisponde a un tempo unico.

Ad esempio, se tracciamo una parallela all'asse s (ad esempio r) essa corrisponde a un tempo unico ed è una retta in cui tutti tempi misurati nel nostro sistema di riferimento sono uguali. Possiamo concludere che l'asse dello spazio non è altro che il luogo corrispondente a un tempo costante, in particolare al tempo t = 0. D'altra parte sono cose che sappiamo molto bene... in un sistema cartesiano ortogonale l'asse delle x è l'asse per cui y = 0, così come l'asse y è quello per il quale x = 0. Non abbiamo fatto altro che ripetere questi concetti di geometria elementare. Ribadiamo ancora: l'asse del tempo è quello in cui gli oggetti non si muovono: l'asse dello spazio è quello in cui ogni evento avviene allo stesso tempo (linea di simultaneità). Scusate le ripetizioni, ma questo concetto, seppur semplice è spesso causa di molte confusioni (a tutti i livelli...).

E' giunto il momento di inserire il trenino AB che copre esattamente il marciapiede A1B1 finché resta fermo (Fig. 22). Mettiamolo in moto con velocità v, ossia incliniamo corrispondentemente il suo asse del tempo (t azzurro).

Figura 22
Figura 22

L'osservatore O, posto in mezzo al treno, che coincideva con O1 si sposta verso destra, ma si sente ovviamente fermo. Tuttavia, cosa succede se le luci partono sempre dal marciapiede A1 e B1? L'osservatore O sul treno aspetta che esse arrivino fino a lui, ma... quella di destra(B1) lo raggiunge in O', mentre quella di sinistra lo raggiunge in O”. O' e O” corrispondono a tempi diversi: nel sistema del treno NON sono assolutamente simultanei e O ha tutte le ragioni di arrabbiarsi!

Se ammettiamo che la luce di A1 sia partita proprio nel momento della partenza del treno (ossia A1 = A), per potere vedere arrivare in O” la luce di B1, quest'ultima avrebbe dovuto aspettare un po' di tempo (del suo tempo azzurro) prima di partire (Fig. 23).

Fig. 23
Fig. 23

Sarebbe dovuta partire da B e non da B1. In questo modo O, giunto in O” avrebbe visto le due luci colpirlo simultaneamente. Ma, allora, qual è la linea di simultaneità per lui ? Beh è quella che passa sia per A che per B. Questa linea rappresenta anche quella che è relativa a un tempo costante . In poche parole essa rappresenta una parallela all'asse dello spazio del sistema in movimento. Trasportiamola nell'origine ed ecco che abbiamo tracciato senza colpo ferire e senza alcuna formula l'asse dello spazio di un sistema in moto se visto da un sistema fermo.

Ma, torniamo alla lunghezza AB. Essa rappresenta (essendo lungo una retta parallela a s azzurro) la lunghezza del treno (le lunghezze si misurano nell'asse dello spazio)! Accidenti, ma è diversa dalla lunghezza del marciapiede A1B1. Potremmo dire che il treno si è misteriosamente “allungato”? FERMI TUTTI... non passiamo a conclusioni completamente premature e probabilmente sbagliate. Ci vuole altro per confrontare le due lunghezze: esse fanno parte di due sistemi diversi e già sappiamo benissimo che passando da un sistema all'altro le lunghezze proprie si accorciano o si allungano...

Non commettiamo un errore che è fatto spesso: non bisogna mai confrontare lunghezze e intervalli di tempo di due sistemi diversi quando sono rappresentati in uno considerato in quiete. E' vero che tempi propri e lunghezze proprie si mantengono, ma non certo se rappresentate nello stesso diagramma (ricordiamoci l'iperbole costruita in Fig. 15). Se disegniamo sistemi in movimento diversi, in un solo sistema considerato fermo, per potere mantenere la costanza dei tempi e delle lunghezze propri siamo costretti a usare scale diverse per ciascuno di loro, La famosa iperbole ci indica la scala da usare per ogni sistema.

Abbiamo rappresentato il trenino di Einstein, ma possiamo fare lo stesso con l'ormai famoso orologio di luce. Anche lui ci permette di determinare il nuovo asse dello spazio e di quantificare meglio la sua direzione.

Un orologio spaziotemporale

Passiamo alla Fig. 24 . In alto a sinistra disegniamo il nostro orologio di luce (l'abbiamo inclinato di 90° per far coincidere lo spazio. Non lo facciamo muovere nello spazio, ma solo nel tempo, come vediamo dalle due linee verdi degli specchietti che rimangono paralleli tra loro e verticali. Otteniamo la figura centrale.

Figura 24
Figura 24

La luce parte da A e si muove a 45°. Nel frattempo A si muove nel tempo, in attesa che la luce venga riflessa dallo specchio S che, ovviamente, descrive anch'esso una retta verticale (non si muove nello spazio, ma solo nel tempo). Finalmente in A' la luce torna indietro. Facciamo un semplice ragionamento. La luce parte in A e torna in A': quando arriva nel punto S (specchietto)? Beh... facile: esattamente a metà del suo percorso temporale da A ad A'. Il passaggio da O corrisponde esattamente al momento della riflessione di S. In altre parole, O e S sono eventi simultanei. Non per niente l'asse dello spazio passa proprio per O e per S.

Consideriamo, adesso, in Fig. 25, un orologio di luce che si muova rispetto al sistema di prima.

Figura 25
Figura 25

Ormai lo sappiano bene: l'asse del “nuovo” tempo sarà inclinato (l'orologio di luce si sposta spazialmente rispetto a quello precedente). Facciamo partire la luce da A1, sapendo che lei non guarda in faccia nessun sistema di riferimento e si muove sempre a 45°. Raggiunge lo specchio in S1. E' questo l'unico punto in cui la luce riflessa può raggiungere A in A1', in modo tale che A1O sia uguale ad A1'O. Questa uguaglianza è essenziale se vogliamo che il tempo impiegato dalla luce per salire sia uguale a quello necessario per scendere. Ne segue, immediatamente, che la linea che corrisponde al tempo di arrivo in S1 e di passaggio di A1 da O è quella che segna lo stesso tempo sia in S1 che in O. Questi due eventi DEVONO essere simultanei. Ne segue ancora una volta che la retta OS1 corrisponde all'asse dello spazio dell'orologio in moto, se visto dal sistema fermo.

Facciamo anche attenzione che scelto A1 rispetto ad O, viene automaticamente bloccata la posizione dello specchio S1 dell'orologio. In altre parole se, trafficando con la relazione che esiste tra il tempo proprio dei due sistemi, disegniamo sia AO (della Fig. 24) che A1O come tempi unitari, la distanza tra O1 e S1 sarà anch'essa unitaria come quella tra O e S. Il fatto che non appaiono uguali all'occhio è una prova in più che le lunghezze devono variare in perfetta armonia con i tempi. Ma ci torneremo tra non molto (e intanto pensiamo all'iperbole).

Prima di passare alla determinazione della contrazione delle lunghezze per via grafica, stabiliamo in modo semplice (che ormai sarà già stato compreso) dove si “piazza” la linea dello spazio rispetto a quella del tempo. Basta dare un'occhiata a qualche angolo e a due triangoli simili della Fig. 26....

Figura 26
Figura 26

BS1 è parallelo alla retta s. Dato che i percorsi della luce formano un angolo di 45° rispetto a lei, l'angolo A1SA1' = 2 · 45° = 90°. Il segmento OM è parallelo ad A1S1 e quindi anche l'angolo OMA1' è retto. Inoltre gli angoli A1OM e A1'A1S1 sono uguali perché corrispondenti di rette parallele tagliate da una trasversale. Ne segue che i triangoli A1'A1S1 e A1'OM sono triangoli rettangoli simili. I loro lati stanno quindi nella proporzione:

A1'S1/A1'M = A1'A1/A1'O

Ma, per costruzione, A1'A1 = 2 A1'O

sostituendo, si ha:

A1'S1/A1'M = 2A1O/A1O = 2

Il che vuol dire che

A1'S1 = 2 A1'M

Ma se A1M è la metà di A1'S1 vuol dire che

A1M = MS1

Consideriamo i triangoli A1'MO e OMS1. Essi sono rettangoli e hanno un cateto uguale e l'ipotenusa in comune. Ne segue che sono uguali. Ma se sono uguali devono anche essere uguali gli angoli A1'OM e A1OM. In conclusione, abbiamo dimostrato che l'angolo tra la traiettoria della luce e l'asse dei tempi azzurro è uguale all'angolo tra la traiettoria della luce e l'asse azzurro dello spazio.

E' quindi facilissimo costruirsi i nuovi assi legati al sistema in movimento con velocità v, come mostra la Fig, 27

Figura 27
Figura 27

Data la velocità, possiamo immediatamente disegnare la retta passante per O che percorra una distanza s in un tempo t. Ad esempio, supponiamo che il sistema viaggi a una velocità pari a 0.6 quella della luce. Questo vuole anche dire che in un anno percorre “solo” 0.6 anni luce. Congiungendo l'origine O con il punto P di coordinate s = 0.6 anni luce e t = 1 anno tracciamo l'asse del tempo t1 relativo al nuovo sistema in movimento. Basta poi misurare l'angolo tra questo asse e la traiettoria della luce e si ottiene il nuovo asse s1. O, in modo analogo, invertire spazio e tempo del punto P, ottenere P', e unirlo con O.

Ciò che abbiamo fatto è essenzialmente una banale costruzione che ben poco dice sul significato profondo di tutto ciò. E', perciò, doveroso discutere con particolare attenzione il diagramma ottenuto, che è nientepopodimeno che il diagramma di Minkowski, una splendida rappresentazione globale dell'intera teoria della relatività ristretta. Se si sono capiti i concetti espressi finora diventa veramente un gioco da ragazzi divertirsi con mille e uno problemi risolvibili per via puramente grafica. Sarà facilissimo individuare il tempo proprio e improprio, mentre una piccola difficoltà in più si dovrà superare per maneggiare con la stessa naturalezza la distanza propria e impropria.

3 commenti

  1. Nello

    Salve,

    bellissima spiegazione...

    Vorrei comunque segnalare un piccolissimo errore .

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2019/05/16/la-relativita-ristretta-tutti-7-completiamo-un-grafico/

    Ad un certo punto c'è scritto :

    L'osservatore O, posto in mezzo al treno, che coincideva con O1 si sposta verso destra, ma si sente ovviamente fermo. Tuttavia, cosa succede se le luci partono sempre dal marciapiede A1 e B1? L'osservatore O sul treno aspetta che esse arrivino fino a lui, ma... quella di destra(B1) lo raggiunge in O', mentre quella di destra lo raggiunge in O”. O' e O” corrispondono a tempi diversi: nel sistema del treno NON sono assolutamente simultanei e O ha tutte le ragioni di arrabbiarsi!

     

    Ha scritto due volte quella di destra B1...mentre quella di sinistra A1 lo raggiunge in o''....

     

     

     

     

     

     

     

     

  2. Grazie Nello!!!!

    corretto :-P

  3. Ringrazio Nello e invito tutti a trovare eventuali errori... ho scritto questi articoli in condizioni emotivamente un po' tese...

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