19/08/19

Quiz dinamico: accelera o non accelera? ***/****

Un problema decisamente più complesso, dove il tutto avviene escludendo qualsiasi attrito. Questo è considerato un piccolo "classico" e quindi non cercate sul web...

Chi comanda il tutto è un blocco a sezione di triangolo rettangolo, di massa M, che rappresenta un piano inclinato  (una specie di cuneo). Esso è poggiato su una superficie perfettamente liscia, mentre  l'angolo al vertice basso del piano inclinato è α . Ovviamente esso è immobile. Abbiamo a nostra disposizione solo un cubo di massa m con tutte le facce perfettamente lisce.

Poggiamo una faccia del cubo sulla cima del piano inclinato e lasciamo che la Natura svolga il suo compito

slitta

Per quale rapporto M/m, e per quale angolo, il cuneo accelera di più del cubo? Ovviamente bisogna  ricavare le accelerazioni...

Ovviamente il tutto va dimostrato matematicamente e fisicamente...

 

37 commenti

  1. Spleen

    Domanda di chiarimento, il tutto avviene sulla Terra? Quale gravità bisogna considerare? Quella del pianeta in cui si trovano i due oggetti o la forza di attrazione reciproca, ipotizzando che i due ogetti fluttuino nello spazio non soggetti a nessuna forza di gravità di nessun altro corpo maggiore. In quest'ultimo caso a pensarci non c'è niente che scivola l'uno sull'altro semplicemente i due ogetti rimangono a contatto grazie alla gravità reciproca che esercitano l'uno sull'altro. Quello che non capisco è l'utilità di considerare anche la massa dell'oggetto che fa in questo caso soltanto da "scivolo". Oppure devo ipotizzare lo scivolo molto ma molto più massiccio del cubetto in modo che esso produca una gravità così forte da far scivolare su di esso il cubetto, ad ogni modo lo scivolamento avviene verso un centro di gravità che ad occhio non dovrebbe essere a "fine corsa" nello spigolo in basso a destra dove hai evidenziato l'angolo alfa ma più o meno a metà dove sotto c'è gran parte della massa di questo cuneo.

    Marco

     

  2. Siamo sulla Terra. Non cerchiamo soluzioni strane... Il cuneo è posato su una superficie liscia e lo stesso vale per il cubetto. Insomma, un piano inclinato non "fisso"...

  3. michele celenza

    Scusa Vincenzo ma il cubo ed il cuneo debbono avere la stessa densità oppure possono avere diverse densità?

  4. interessa solo la massa...

  5. Piccolo aiutino...

    pensate a quando si spara. Il proiettile va da una parte, ma il vostro braccio va dall'altra... Il cuneo è come il braccio...

  6. Arturo Lorenzo

    Giusto una conferma: le accelerazioni  richieste  (ovviamente solo orizzontale per il cuneo e invece con componente anche verticale per il cubo)   sono intese riferite ad un osservatore solidale col piano su cui scorre il cuneo, giusto ?

  7. altro aiutino(ne)

    Quando ci sono due incognite si devono avere, normalmente, due equazioni per formare sistema...

  8. Arturo Lorenzo

    Beh, dai, smuoviamo un po' le acque..

    Mi limito alla prima parte del quesito, cioè per quale valore del rapporto M/m l'accelerazione del cuneo sarà maggiore di quella del cubo.

    Intanto preciso che io ho inteso le componenti lungo l'asse x delle due accelerazioni. In particolare, quella del cuneo avrà solo quella componente, non potendo muoversi che orizzontalmente. Il cubo, invece, può muoversi sia orizzontalmente sia verticalmente, ma sempre poggiato al piano inclinato del cuneo. La sua accelerazione, quindi, intesa come vettore, ha una componente verticale e una orizzontale. Ho confrontato la componente orizzontale dell'accelerazione del cubo con quella (solo) orizzontale del cuneo.

    Inoltre, ho operato il confronto come osservatore solidale al piano liscio lungo sui scorre il cuneo (sistema di riferimento inerziale, SRI).

    Chiamo , allora, a_{Mx} l'accelerazione (solo orizzontale) del cuneo e a_{mx} la componente orizzontale dell'accelerazione del cubo nel suddetto SRI.

    Lungo la direzione orizzontale, il moto sia del cuneo che del cubo sarà uniformemente accelerato con le rispettive accelerazione di cui sopra. Partendo entrambi da fermi all'istante di tempo t=0, la relazione tra accelerazioni e velocità al generico istante di tempo t sarà, dunque:

    v(t)=a*t

    Quindi, per il cubo:

    v_{mx}(t)=a_{mx}*t        (1)

    e per il cuneo:

    v_{Mx}(t)=a_{Mx}*t       (2)

    Ora, lungo la direzione orizzontale non agiscono forze esterne (assenza di attriti), per cui vale la legge di conservazione della quantità di moto applicata al sistema cuneo+cubo:

    M*v_{Mx}(t)=m*v_{mx}(t)        (3)

    Ora, sostituendo alle velocità le espressioni che derivano dalla (1) e dalla (2), otteniamo (t si semplifica):

    M*a_{Mx}=m*a_{mx}

    quindi:

    \frac{M}{m}=\frac{a_{mx}}{a_{Mx}}

    Perché , dunque, l'accelerazione del cuneo sia maggiore di quella del cubo, cioé a_{Mx}>a_{mx}, dovrà essere M>m, quindi M/m>1. La massa del cuneo dovrà essere maggiore di quella del cubo.

     

  9. Arturo Lorenzo

    ops...  :oops:

    ovviamente "era M<m, quindi M/m<1. La massa del cuneo dovrà essere minore di quella del cubo."

     

  10. Arturo Lorenzo

    Giusto per soddisfare un pò la vista... ecco un'animazione. Il cuneo è stato rappresentato come una squadretta per poter variare agevolmente l'angolo di inclinazione. Nell'animazione, la massa del cuneo è uguale a quella del cubo e l'angolo di inclinazione è di 45°. I tempi che si evincono dall'animazione non sono quelli reali.

  11. michele celenza

    Ma due sistemi sono inerziali se si muovono di moto rettilineo uniforme uno rispetto all'altro. In questo caso il moto sia del cubo che del cuneo è accelerato. Mi sbaglio o c'è qualcosa che non ho capito?

    La legge di conservazione della quantità di moto si applica nei sistemi isolati ma le velocità devono rimanere costanti

    F = ma  

    F = m dv/dt

    se F =0  

    segue

    0 = m dv/dt

    ovvero v = costante

    Forse mi sbaglio ma non ho ben capito

     

     

     

  12. caro Artù,

    due problemi...

    1. Il problema parla di accelerazioni totali e non di accelerazioni lungo l'asse x... non era così semplice (sic!)

    2. Comunque, la conservazione della quantità di moto non è esatta e non solo perché io parlo di accelerazione totale di entrambe le masse...

    MI spiace per l'animazione... ma va bene solo qualitativamente (altro aiuto, in fondo)

  13. Lo ammetto... vale proprio i 4 asterischi... E' un quiz invernale, forse...

  14. caro Michele,

    sul sistema agisce una forza e quindi la quantità di moto totale non si conserva. Ma può conservarsi una sua componente, istante per istante, se la componente della forza è nulla in quella direzione.

  15. michele celenza

    Il quiz è veramente infernale sto cercando da giorni una soluzione logica ma non riesco a trovarla.

    Se il piano inclinato (cuneo) fosse fisso sarebbe tutto banale:

    il cubo in assenza di forze non conservative "scenderebbe" sul piano inclinato con moto accelerato con

    a=g * sin α

    ora il cuneo non è vincolato ma può scorrere sul piano orizzontale: la possibilità di tale evento è il moto di caduta del cubo lungo l'ipotenusa del cuneo.

    Nei piani inclinati "fissi" la componente del peso lungo la direzione normale alla ipotenusa è

    N = m g * cos α

    alla quale fa equilibrio la reazione del piano di scorrimento.

    Stavo cercando di considerare la componente di  N lungo l'asse orizzontale ma credo non sia possibile

  16. Michele... il cuneo può solo muoversi in una direzione e quindi...

  17. AIUTO ulteriore... (il quiz è piuttosto duro, lo ammetto...).

    Per trovare le due accelerazioni totali (e se accelera il cubo deve anche accelerare il cuneo) abbiamo bisogno di due equazioni in due incognite. Ricordiamo che istantaneamente la velocità è dx/dt... ma lo stesso dx, viene poi percorso in un dt diverso, dato che dipende dal ds/dt lungo il piano inclinato.

    E, poi, non dimentichiamo che se si muove il cuneo deve succedere un'altra cosa a cui si pensa poco...

     

  18. michele celenza

    Se il cuneo si muove c'è una forza che ne è causa.

    sia a m  la componente dell' accelerazione del cubo lungo l'asse orizzontale

    sia a M   l'accelerazione del cuneo lungo l'asse orizzontale

    per il terzo principio della dinamica se il cubo esercita un azione sul cuneo il cuneo deve esercitare un azione opposta ed uguale in modulo al cubo:

    FM + Fc = 0

    M aM + m ac = 0

    le due accelerazioni hanno versi opposti

    una prima equazione in due incognite potrebbe essere questa

    sto cercando di trovare la seconda equazione nelle stesse due incognite

  19. Arturo Lorenzo

    Prof, quindi il quiz vuole sapere per quale rapporto M/m il modulo dell'accelerazione di M (che in pratica è dato dalla sola componente orizzontale) è maggiore di quello dell'accelerazione di m (che è dato dalla somma dei quadrati delle componenti orizzontale e verticale (il tutto riferito a SRI) ?

    Ad ogni modo, espongo qui quella che secondo me è la soluzione. Seguo un altra via, mettendo da parte la conservazione della quantità di moto.

    Guardo il sistema dal punto di vista della dinamica. Ho due oggetti, il cubo e il cuneo. Il cubo istante per istante, scivola lungo il cuneo, il quale a sua volta scivola orizzontalmente lungo il piano. Cosa fa muovere il cuneo ? La reazione alla forza trasmessa ad esso dal cubo, che chiamo N. Tale reazione è perpendicolare al piano inclinato del cuneo perché non ci sono attriti, e diretta verso il basso. Il cuneo è soggetto anche alla reazione del suo piano di scorrimento, ma siccome anche questo piano è liscio, tale reazione è verticale, quindi non incide sul moto orizzontale del cuneo. Pensato , quindi, separatamente, per il cuneo posso scrivere , lungo la direzione x (seconda legge di Newton):

    N*sin\alpha =M*a_{Mx}                (1)

    Dove ho indicato con alfa l'angolo di inclinazione del cuneo.

    Ora passo al cubo, guardandolo nel sistema di riferimento del cuneo, che però accelera orizzontalmente. Su esso agisce , ovviamente, la reazione alla forza trasmessa dal cuneo, cioè sempre N e sempre perpendicolare al piano di scorrimento, ma stavolta rivolta verso l'alto. Inoltre, il cubo è soggetto alla forza peso mg e alla forza apparente dovuta al fatto che siamo in un riferimento non inerziale che accelera orizzontalmente. Tale forza apparente è, dunque, -m*a_{Mx} (il segno meno indica che il erso è opposto a quello dell'accelerazione del cuneo). Per il cubo, quindi, posso scrivere:

    ma=m*a_{Mx}*cos\alpha+mg*sin(\alpha)              (2)

    in direzione parallela al piano di scivolamento (piano inclinato del cuneo), avendo indicato con a l'accelerazione del cubo in direzione parallela al piano di scivolamento, e

    N+m*a_{Mx}*sin(\alpha )=mg*cos(\alpha )             (3)

    in direzione perpendicolare al piano di scivolamento.

    Ho, pertanto, tre equazioni nelle 3 incognite N, a_{Mx}  e  a. Risolvendo il sistema ottengo:

    a_{Mx}=\frac{mgsin(\alpha )cos(\alpha )}{M+msin^2(\alpha )}         (accelerazione del cuneo in SRI)

    N=\frac{Mmgcos(\alpha )}{M+msin^2(\alpha )}               (reazione tra cubo e cuneo, perpendicolare al piano di scivolamento, nel sistema del cuneo)

    a=\frac{(M+m)gsin(\alpha )}{M+msin^2(\alpha )}            (accelerazione del cubo in direzione parallela al piano di scivolamento, nel sistema del cuneo)

    Le componente di a lungo x e y saranno: a*cos(\alpha) e  a*sin(\alpha), quindi, nel sistema del cuneo:

    a_{x}=\frac{(M+m)gsin(\alpha )cos(\alpha )}{M+msin^2(\alpha )}

    a_{y}=\frac{(M+m)gsin^2(\alpha )}{M+msin^2(\alpha )}

    La componente lungo y resterà invariante passando al sistema SRI (il cuneo si muove solo lungo x), quindi

    a_{my}=ay=\frac{(M+m)gsin^2(\alpha )}{M+msin^2(\alpha )}

    mentre la componente lungo x dell'accelerazione del cubo in SRI sarà  a_{x}-a_{Mx}, quindi, a conti fatti:

    a_{mx}=\frac{Mgsin(\alpha )cos(\alpha )}{M+msin^2(\alpha )}

    Note le componenti lungo x e lungo y dell'accelerazione del cubo in SRI, potrò calcolarmi il modulo di a_{m} in SRI (radice quadrata dei quadrati delle componenti) e confrontarlo con a_{Mx}.

    Oddio, che mal di testa...  :-D

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

  20. Seguendo il tuo ragionamento (un po' contorto) non riesco a capire come fai a trovare l'accelerazione del cubo in direzione parallela al piano di scivolamento, nel sistema del cuneo...

    C'è sicuramente del buono.... ma può essere semplificato di molto, non buttando alle ortiche la quantità di moto.

    In poche parole, basta trovare le accelerazioni secondo l'asse x e secondo la linea di scivolo... N non

    ha bisogno di essere introdotta.

    Ci sei molto vicino, anzi vicinissimo, ma è meglio cambiare strategia... diventa tutto più semplice come svolgimento concettuale... avevi solo dimenticato qualcosetta nella conservazione...

  21. caro Michele, la stessa cosa detta ad Artù vale anche per te...

    Pensate bene a cosa si muove in orizzontale, in un senso e nell'altro, per conservare la quantità di moto.

    A sinistra va... che cosa? E a destra che cosa?

  22. Arturo Lorenzo

    Rispondo a "Seguendo il tuo ragionamento (un po' contorto) non riesco a capire come fai a trovare l'accelerazione del cubo in direzione parallela al piano di scivolamento, nel sistema del cuneo..."

    Ecco uno schema al volo:

     

    da cui a_{m}  , utilizzando le altre due equazioni.

    Per la quantità di moto, in pratica, se devo considerare la velocità del cubo nel sistema di riferimento del cuneo, che chiamo v', allora, indicando con vm la velocità del cubo nel SRI e con vMx la velocità del cuneo in SRI, deve essere:

    vmx = v' cos \alpha - vMx

    cioè la velocità, lungo x,  del cubo in SRI è data dalla componente lungo x della velocità del cubo nel sistema del cuneo meno (perchè opposta) la velocità del cuneo in SRI.

    In questo caso, la conservazione della quantità di moto lungo x impone:

    (M+m)*v_{Mx}=m*v'*cos(\alpha )

    da cui

    v_{Mx}=\frac{m}{m+M}v'*cos(\alpha )

    Applicando questa relazione al generico istante di tempo, avremo che anche tra le corrispondenti accelerazioni vale la stessa elazione:

    a_{Mx}=\frac{m}{m+M}*a_{m}*cos(\alpha )

    da cui si ha che perché il cuneo acceleri più del cubo, dovrà essere

    \frac{m}{m+M}cos(\alpha )>1

     

  23. michele celenza

    Supponiamo che per effetto dello "scivolamento" del cubo il blocco  CUNEO + CUBO si sposti verso sinistra con accelerazione aS, nello stesso istante a destra il cubo si sarà spostato con accelerazione aD = g*sinα.

    Per la conservazione istantanea della quantità di moto lungo la direzione orizzontale deve essere dette Vs e Vd le rispettive velocita istantanee a sx e a dx

    (M + m)* Vs = m*Vd

    dividendo ambo i termini per lo stesso istante t:

    (M + m)* Vs/t = m*Vd/t

    ovvero

    (M + m)* as = m*ad

    sostituendo a ad il suo valore

    (M + m)* as = m g*sinα.

    da cui

    as = m g*sinα/(M+m)

    quindi istante per istante se il ragionamento è esatto il blocco (cubo+cuneo) si sposta a sx con accelerazione

    m g*sinα/(M+m)

    e nello stesso istante verso destra il cubo si sposta con accelerazione

    g*sinα

     

  24. Bravo Michele,

    devi solo fare un po' di ordine...

    BRAVI, BRAVI!!!!

  25. Michele Celenza

    Vincenzo prima di fare ordine esco ad annaffiare l'orto, per "sgranchirsi" un po' la testa.....

  26. fai bene e ... complimenti!

    ma metti ancora a posto qualcosetta...

  27. Fabrizio

    Un saluto a tutti dopo un periodo di assenza dal circolo.

    Avevo pensato di rispondere al quiz utilizzando la Lagrangiana. Il caso mi sembra uno di quelli più adatti. Però, per rispondere alla domanda specifica sulle accelerazioni, mi è sembrato inutilmente pesante seguire il metodo di Lagrange. Propongo quindi questa risposta, che ha solo qualche traccia del metodo di Lagrange.

    Anticipo la soluzione alla quale sono arrivato.

    L'accelerazione totale del cubo è sempre maggiore di quella del cuneo per \alpha>45^{\circ}.

    Per \alpha<45^{\circ},  l'accelerazione totale del cubo è maggiore di quella del cuneo se \frac{M}{n}>\frac{1-\tan(\alpha )^2}{1+\tan(\alpha )^2}

    Ovviamente a meno di miei errori.

    Ci sono alcune cosa da notare.

    Il sistema ha due gradi di libertà. Il cuneo M si muove lungo una retta orizzontale e il moto può essere descritto da una coordinata orizzontale rettilinea che chiamo q. Per comodità oriento la coordinata verso sinistra e metto l'origine nel punto dove il cubo m viene rilasciato. Il cubo m si muove sia orizzontalmente che verticalmente, ma i due movimenti sono legati tra loro dal vincolo di trovarsi sul piano del cuneo. Posso descrivere il suo movimento con una sola coordinata rettilinea orizzontale che chiamo s. Per comodità la oriento verso destra e metto l'origine nel punto dove il cubo m viene rilasciato. Per come è impostato il problema non servono altre coordinate perchè non ci sono movimenti lungo la profondità del disegno.

    Le forze esterne al sistema dei due oggetti (cuneo M e cubo m) sono tutte verticali. Ovviamente la forza di gravità che agisce sulle due masse è verticale ed è verticale anche la reazione del piano dove scivola il cuneo. La reazione del cuneo al peso del cubo non è verticale, ma è una forza interna tra due elemeti del sistema. Quello che è importante è che non ci sono forze esterne orizzontali.

    Applicando la legge di Newton devo ottenere che i prodotti delle masse con le accelerazioni del cuneo e del cubo sommati tro loro devono essere nulli, non essendoci forze esterne orizzontali.

    m \ddot{s}- M \ddot{q}=0    Il segno meno è dovuto alla scelta dell'orientazione delle coordinate.

    da cui \ddot{s}=\frac{M}{m} \ddot{q}

    Se ci limitiamo alle accelerazioni orizzontali questa relazione risolverebbe il problema. L'accelerazione orizzontale del cubo è maggiore di quella del cuneo ( \ddot{s}> \ddot{q}) se \frac{M}{m}>1.

    Ma il cubo ha anche una accelerazione verticale. Se la domanda del quiz si riferisce alla accelerazione totale del cubo allora devo considerare anche questa. Fortunatamente questa componente è fortemente legata a quella orizzontale poiché la reazione del cuneo fa rimanere il cubo sul piano inclinato. La complicazione è che anche il cuneo si muove. Posso "sterilizzare" il suo movimento considerando la somma delle accelerazioni del cubo e del cuneo. Come se stessi in un riferimento solidale al cuneo.  L'accelerazione orizzontale del cubo rispetto al cuneo è quindi   \ddot{S}=\ddot{s}+\ddot{q}. L'accelerazione verticale deve essere \ddot{S} \tan(\alpha )   affinchè il cubo rimanga sul cuneo. L'accelerazione totale la trovo con il teorema di Pitagora \ddot{s}^2+\ddot{S}^2 \tan (\alpha )^2=\ddot{s}^2+\left ( \ddot{s} +\ddot{q}\right )^2 \tan(\alpha )^2=\ddot{q}^2\,\left [\left ( 1+\tan(\alpha)^{2} \right )\,\left (\frac{M}{n} \right )^2+2\,\tan(\alpha )^2\,\left (\frac{M}{n} \right )+\tan(\alpha )^2 \right ] La lascio al quadrato e la confronto con il quadrato di quella del cuneo ottenendo questa disequazione che definisce i valori di M/n che portano ad una accelerazione totale del cubo maggiore di quella del cuneo.

    \left ( \frac{M}{n}+1 \right )\left ( \left ( 1+\tan(\alpha )^2 \right )\frac{M}{n} +\tan(\alpha )^2-1\right )>0

    Questa disequazione ci dice che l'accelerazione del cubo è maggiore di quella del cuneo per i valori di \frac{M}{n}>0 che non sono nell'intervallo -1<\frac{M}{n}<\frac{1-\tan(\alpha )^2}{1+\tan(\alpha )^2}

    L'accelerazione del cubo è sempre maggiore di quella del cuneo per \alpha>45^{\circ}.

    Per \alpha<45^{\circ},  l'accelerazione del cubo è maggiore di quella del cuneo se \frac{M}{n}>\frac{1-\tan(\alpha )^2}{1+\tan(\alpha )^2}

     

  28. caro Fabrizio,

    che piacere risentirti!

    Temo, però, che le conclusioni non siamo esatte. Hai tenuto presente che muovendosi il cuneo verso destra lo deve seguire anche il cubo che sta su di lui...? E' il problema che ho sollevato sulla quantità di moto; da una parte va la massa M + m, dall'altra solo m...

  29. Michele Celenza

    Nel considerare le componenti delle accelerazioni lungo l'asse orizzontale ho precedentemente considerato come componente della accelerazione del cubo (quella verso dx)

    Ad = mgsin(alfa)

    Ma questa è la componente lungo l'ipotenusa del cuneo , va considerata la sua componente orizzontale che vale

    mgsin(alfa)cos(alfa)

    Che può semplificarsi con le formule di duplicazione:

    1/2sin(2alfa

  30. michele celenza

    ora il calcolo diventa laborioso:

    il blocco (cuneo + cubo) si sposta verso sx con accelerazione

    as = 1/2m* g*sin(2α)/(M+m)

    il cubo oltre a spostarsi verso sx con la stessa accelerazione si sposta verso il basso con accelerazione g

    quindi l'accelerazione totale va calcolata sommando vettorialmente i due vettori as e g

    ovvero il modulo di tale accelerazione vale

    (at)2 = (as)2 + g2

    (at)2 = ( 1/2m* g*sin(2α)/(M+m) )2 +  g2

    se non ho commesso errori credo che ci vorrà un po di tempo per sviluppare i calcoli.

    ora ho un impegno........

    dopo ci riprovo

     

  31. Michele... ricorda che a sinistra il cuneo si deve muovere portandosi sopra il cubo, ossia la massa che va a sinistra non è solo M, ma M+ m. Quella che va a destra subisce un'accelerazione che non dipende solo da g sin(alpha).

    Si sta creando un po' troppa confusione... forse è meglio dare la mia soluzione e poi potete contestarla o migliorarla...

    Che ne dite?

  32. Michele Celenza

    Vincenzo forse è meglio

  33. Sono convinto che la mia versione si può ancora semplificare, come si può notare dai denominatori uguali... Forza, il divertimento continua...

    Vado a inserirla, tanto chi vuole proseguire da solo può sempre farlo. E so che molti preferiscono lottare fino in fondo! Questo è il bello del nostro Circolo... :-P

    Comunque vi ringrazio di cuore per l'impegno e la passione!

  34. Fabrizio

    Hai tenuto presente che muovendosi il cuneo verso destra lo deve seguire anche il cubo che sta su di lui...?

    Nella figura sotto riassumo il ragionamento che mi sembra consideri il fatto che il cubo deve seguire la pendenza del cuneo.

  35. Leandro

    Siete sicuri che esista una componente orizzontale? LA quantità di moto mica si conserva, ci sono forze esterne. L' energia totale di sicuro.

  36. caro Leandro,

    la quantità di moto non si conserva di certo, ma la sua componente orizzontale sì, dato che la componente della forza è nulla lungo l'asse x.

    Prova con l'energia... ho detto, infatti, che è migliorabile di sicuro...

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