Apr 7

Ancora un modello matematico:Il SIR *** (di Maurizio e Umberto)

Nel processo di riqualificazione che abbiamo descritto nel precedente articolo, sul modello SIS,  si ipotizzava che la popolazione totale restasse costante. La somma delle due percentuali, Istruiti e Superati, valeva quindi costantemente  1.

Introduciamo una nuova ipotesi che tenga conto di un fenomeno di “abbandono”.

Vale a dire che, tra tutti coloro che periodicamente rientreranno nel circolo della formazione continua, vi saranno alcuni che abbandoneranno. Li individueremo con il termine R per Ritirati.

I motivi dell’abbandono non sono ovviamente rilevanti: volontaria o imposta è comunque una uscita dal sistema. E' un destino comune esaurire la spinta a riciclarsi, e scegliere di  mettersi da parte. Anche per quelli bravi arriva il momento.

E quelli veramente molto bravi sono i più  critici verso sé stessi. come vediamo qui...

il migliore

Il modello diventerà quindi di tipo S I R in cui, alla nota dinamica S I S ,si sovrappone la perdita di popolazione dovuta agli R.

image

s + i + r = 1               sarà la nuova ripartizione delle rispettive percentuali degli stati possibili.

Due note importanti per la lettura; parleremo di s e S per distinguere percentuali rispetto alla popolazione e valori assoluti. Nella prima parte formale, studieremo le funzioni i, s come funzioni parametriche del tempo; nella seconda troveremo dei valori importanti per lo studio reale risolvendo il sistema di equazioni che lega s a i; r  se richiesto verrebbe calcolato dall'equazione  r=1-s-i .

Riprendendo quanto fatto nell'ultimo articolo, le equazioni da inserire nel modello sono le seguenti:

1)sireq

Ricordiamoci prima il ruolo di \beta ,\gamma;

  1. nell’unità di tempo una frazione costante \beta del numero degli incontri possibili risulta efficace per la trasmissione dell'istruzione; quindi la variazione della popolazione dei Superati sarà descritta  da questo bilancio:

\Delta s=-\beta S\frac{1}{N} i \Delta t;      essendo s=S/N se dividiamo poi per \Delta t otteniamo:

\frac{\Delta s}{\Delta t}=-\beta si; e il passaggio al limite ci dà la prima equazione:

\frac{ds}{dt}=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=-\beta si

2.  nell’unità di tempo  \Delta t  una frazione costante γ del numero degli istruiti  va a finire  nella classe R dei Ritirati.

\Delta r=\gamma i\Delta t     da cui segue il rapporto  incrementale:

\frac{\Delta r}{\Delta t}=\gamma i     il passaggio al limite, per \Delta t\rightarrow 0,  porta alla equazione differenziale:

\frac{dr}{dt}=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\gamma i

3. Passiamo  infine alla dinamica degli Istruiti. Per essi avremo un flusso in entrata e uno in uscita:

Il termine \beta si  indica il tasso di movimento dalla classe dei superati a quella degli istruiti (in entrata);

il termine \gamma i dà invece la variazione dei ritirati, come abbiamo appena considerato ( in uscita)  quindi con segno negativo.

\Delta i=(\beta si-\gamma i)\Delta t    da cui otteniamo il rapporto incrementale seguente:

\frac{\Delta i}{\Delta t}= \beta si - \gamma i    e  passando al limite, per   \Delta t\rightarrow 0, otteniamo l'ultima equazione differenziale:

\frac{di}{dt}=lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta t}= \beta si - \gamma i

Sommiamo ora le tre equazioni  ricavate :

sireq1

Questo conferma che la somma s+i+r è costante nel tempo e, date le condizioni iniziali, è pari a 1.

Analizziamo per prima cosa le   condizioni iniziali .

Possiamo supporre senz'altro:

inii1

Cioè, al tempo 0 avremo un certo numero di superati  S_{0}, e potremmo avere anche di già un certo numero di istruiti, I_{0}. Solo i ritirati ,R_{0}, possono essere eventualmente anche uguali a zero.

riprendiamo le tre equazioni differenziali:

sireq

Dalla prima equazione , essendo \beta ,s,i quantità positive, \frac{ds}{dt}<0,  deduciamo di conseguenza  che s(t) è un funzione decrescente .

Risulta quindi, che per t tendente a infinito , lim_{t\rightarrow \infty}S(t) =S_{\infty} che prende il nome di dimensione del processo..

Questo ci fa pensare che , diventando costante al limite S(t), I(t)  debba tendere necessariamente a zero. E infatti è proprio così.

lim_{t\rightarrow \infty}I(t) =0 *;

e quindi gli I (istruiti) sono destinati ad estinguersi. Questo in ogni caso.

Essendo  s(t) + i(t) + r(t) = 1   (o analogamente  S(t) + I(t) + R(t)=N), possiamo limitarci a studiare solo le due equazioni:

eq0

e  se necessario, ricavare i risultati per R(t) da R(t)=1-S(t)-R(t).

Anche nel modello SIR è presente  il fenomeno di soglia. Infatti, posto T=\gamma /\beta , possono ottenersi i seguenti due casi:

  1. Se S0<T, allora è facile provare che per ogni t>0

S(t)<T\Rightarrow \frac{dI}{dt}<0

Infatti \frac{dI}{dt}=N\frac{di}{dt}=N(\beta si-\gamma i)

S(t)<T\Rightarrow s<\frac{T}{N};

T/N=\frac{\gamma }{\beta N}

\frac{dI}{dt}<N(\beta \frac{\gamma }{N\beta }i-\gamma i)=0

In questo caso, il procedimento  di  tipo "epidemico" non si innesca ed il numero di istruiti decresce dal valore iniziale I0 fino ad annullarsi.

2.

Se S0>T, allora solo inizialmente il numero di infetti cresce, cioè risulta


\frac{dI}{dt}|_{t=0}>0
 (questa scrittura significa che calcoliamo la derivata nel punto t=0.

e quindi il processo di apprendimento inizialmente si sviluppa, la funzione I(t) raggiunge un valore massimo Imax e poi decresce fino a zero.

grsf0000Nella figura, è evidenziato il fenomeno soglia.

Ma veniamo ai calcoli; vogliamo  stimare sia la percentuale della popolazione che sarà trasformata  ,  S_{\infty} che quella massima istruita Imax/N e poi in decadimento. Dalle prime due equazioni

eq0

dividendo membro a membro si ricava:

\frac{dI}{ds}=-1+\frac{\gamma }{\beta S}

che integrata con il consueto metodo di separazione delle variabili, ci dà:

I(S)=c_{0}-S+\frac{\gamma }{\beta }\ln S **

[ al solito;  \frac{dI}{ds}=-1+\frac{\gamma }{\beta S},  dI=(-1+\frac{\gamma }{\beta S})ds ,I=\int (-1+\frac{\gamma }{\beta S})ds +c_{0},

I(S)=c_{0}-S+\frac{\gamma }{\beta }\ln S]

dove c_{0}=I_{0}-S_{0}-\frac{\gamma }{\beta }\ln S_{0} (basta infatti sostituire a t il valore 0 in **.

Ricordando che I(t)\rightarrow 0 per t\rightarrow \infty, dalla ** si ottiene che S_{\infty} è soluzione alla seguente equazione

c_{0}-S_{\infty}+\frac{\gamma }{\beta }lnS_{\infty}=0.

Analogamente, notando che Imax si ottiene in corrispondenza del valore S=\gamma /\beta, dalla ** si ricava

I_{max}=(I_{0}+S_{0}-\frac{\gamma }{\beta }lnS_{0})-\frac{\gamma }{\beta }ln(\frac{\gamma }{\beta })

(infatti basta fare la derivata della ** ; e vedere dove si annulla;\frac{d}{ds}I(S)=\frac{d}{ds}(c_{0}-S+\frac{\gamma }{\beta }\ln S)=-1+\frac{\gamma }{\beta S};

ma -1+\frac{\gamma }{\beta S}=0 quando S=\gamma /\beta)

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