Mag 9

Le funzioni iperboliche: Galileo e la catenaria **

Questo è il quinto articolo della serie "Ponti sospesi, catenarie, parabole & co."

Prima di affrontare la determinazione analitica della curva oggi chiamata catenaria, ricordiamo come essa sia stata trattata da Galileo Galilei nei suoi Discorsi su due Nuove Scienze, senza che il grande pisano trovasse una  descrizione definitiva. Da molti viene considerato un errore. A me, personalmente, non sembra affatto. E' un po' come se dicessimo che la relatività galileiana è un madornale errore. Per chi non poteva permettersi di misurare la velocità della luce e la sua costanza, la relatività galileiana era il massimo ottenibile per la descrizione dei fenomeni naturali. Chissà... se Galileo fosse riuscito a misurarla e a verificarne la costanza sarebbe magari stato in grado di anticipare Einstein di parecchi secoli.

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Ma andiamo a sentire cosa dice a riguardo il nostro Salviati-Galileo nella seconda giornata dei Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze.

Salviati:  (...) L'altro modo, per disegnar la linea, che cerchiamo, sopra il prisma, procede così. Ferminsi ad alto due chiodi in un parete, equidistanti all'orizonte e tra di loro lontani il doppio della larghezza del rettangolo su 'l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile, e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del prisma: questa catenella si piega in figura parabolica, sì che andando punteggiando sopra 'l muro la strada che vi fa essa catenella, aremo descritta un'intera parabola, la quale con un perpendicolo, che penda dal mezo di quei due chiodi, si dividerà in parti eguali. Il trasferir poi tal linea sopra le faccie opposte del prisma non ha difficoltà nessuna, sì che ogni mediocre artefice lo saprà fare. Potrebbesi anco con l'aiuto delle linee geometriche segnate su 'l compasso del nostro amico, senz'altra fattura, andar su l'istessa faccia del prisma punteggiando la linea medesima.

Non vi è bisogno di commentare o spiegare più di tanto. Se una "catenella viene sospesa su due chiodi essa descrive (o sembra descrivere) una parabola, figura perfettamente simmetrica rispetto all'asse centrale.

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Galileo Galilei ha il merito di essere stato il primo a soffermarsi su questa curva, trovando in essa una forte somiglianza con il moto del proiettile, per il quale era riuscito a descrivere esattamente la traiettoria parabolica.  In realtà, si pensa che egli forse vide una perfetta analogia tra un moto descritto da una corpo sottoposto a una spinta verso il basso (la gravità) e da una "spinta" rettilinea che indica il movimento a velocità costante. Secondo lui ciascun anello della catenella avrebbe dovuto subire le stesse azioni. In realtà, oggi, facciamo presto a dissentire: ben venga la forza peso, ma il movimento non è rappresentato da un moto orizzontale bensì  da una spinta che avviene lungo la tangente istantanea della curva in ogni suo punto, ossia dalla tensione della catenella. La vera situazione fisica la vedremo tra non molto.

Galileo, quindi, ha preso un abbaglio? Forse sì o forse no. Alcune parole usate nel testo e, soprattutto, un nuovo accenno al problema, fatto in seguito, pone grossi interrogativi o addirittura sembrerebbero dimostrare il contrario: Galileo sa che non è una parabola, ma si deve accontentare di approssimarla con una parabola non sapendo come poter trattare una curva di quel tipo.

Innanzitutto, egli non dice espressamente parabola, ma figura parabolica, intendendo forse che è soltanto estremamente somigliante e che la si può confondere in prima approssimazione e per certe problematiche pratiche. Questa visione sembra pienamente confermata nella quarta giornata dei Discorsi. Tra perentesi, si nota che il vero punto essenziale è la possibilità oppure no di tendere una catenella in modo perfettamente orizzontale tra i due chiodi.

Sagredo: (...) E l'accidente è l'esser impossibile distendere una corda sì, che resti tesa dirittamente e parallela all'orizonte; ma sempre fa sacca e si piega, né vi è forza che basti a tenderla rettamente.

Salviati: (...) Ma più voglio dirvi, recandovi insieme maraviglia e diletto, che la corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all'orizonte una linea parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all'orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estremità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto a i gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la parabola.

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Personalmente non avrei alcun dubbio. Galileo sa benissimo che la curva non è una parabola, ma dice che la somiglianza è talmente perfetta che per angoli minori di 45° (l'angolo fatto rispetto alla linea orizzontale) , ossia per catenelle abbastanza tese, le due curve sono sperimentalmente identiche, almeno per i mezzi a disposizione a quei tempi. Lo si può solo "accusare" di non essere riuscito a dimostrare che NON era una parabola bensì una curva impensabile letteralmente ai suoi tempi.

Insomma, secondo il mio modesto avviso, Galileo non ha commesso nessun errore, ma si è trovato di fronte a un problema non ancora risolvibile e ha preferito approssimarla a una curva che conosceva molto bene. E' qualcosa di simile alla velocità della luce: Galileo sapeva che non era infinita, ma si è dovuto accontentare di usarla come tale per descrivere la sua relatività.

Solo alla fine del XVII secolo, menti come quelle di Bernoulli, Huygens, Leibniz, Gregory riuscirono a identificarla come qualcosa di sostanzialmente diverso. Una volta tanto, fatemelo ripetere, la Natura sembra abbandonare la semplicità della parabola per affidarsi a una combinazione di funzioni esponenziali. Ciò, forse, fa pensare che anche il numero e sia qualcosa di profondamente naturale e non un qualcosa creato artificialmente dall'uomo per una sua opera di semplificazione o di comodità di calcolo.

 

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