15/02/23

(QI) Due cerchi in un ... tunnel (con soluzione) **

Abbiamo un semicerchio di raggio sconosciuto, dentro al quale sono contenuti due cerchi uguali, anch'essi di raggio sconosciuto. I due cerchi possono essere comunque piazzati, sul diametro orizzontale del semicerchio.

Sfortunatamente possiamo misurare la lunghezza di un solo segmento!

Riusciamo, in qualche modo, a determinare esattamente l'area azzurra?

Soluzione

Come dimostrato da Fabrizio non vi era nessun bisogno di spostare i cerchi piccoli: bastava tracciare una retta orizzontale che fosse tangente a entrambi. La lunghezza del segmento ottenuto tra i punti d'incontro della retta e il cerchio grande era più che sufficiente per risolvere il quiz. I vari passaggi sono spiegati perfettamente nel commento di Fabrizio.

 

4 commenti

  1. michele celenza

    Chiamo con R il raggio (incognito) del semicerchio grande.

    con i raggi (incogniti) dei due cerchi piccoli che possono rotolare sul diametro orizzontale del cerchi grande.

    con il segmento che unisce i centri dei due cerchi piccoli.

    se faccio rotolare i due cerchi piccoli in modo che le verticali condotte dai loro centri si  intersichino con gli estremi del diametro del centro grande  misurando d ottengo;

    d = 2R da cui R = d/2

    poi faccio rotolare i due cerchi piccoli in modo che le loro circonferenze intersichino gli estremi del diametro del cerchio grande e misuro la distanza tra i loro centri che chiamo ho:

    l + 2r = 2R da cui ricavo  r = R  - l/2

    ora posso calcolare la superficie blu del semicerchio grande come differenza tra la sua superficie e quella dei  due cerchi piccoli ottenendo

    blu = π (d/2)2/2 - 2 (π (R - l/2)2)

     

     

  2. leandro

     

     

     

     

    Dalla figura precedente si posiziona uno dei due cerchietti in modo che un estremo B del diametro AB coincida con l'estremo sinistro del semicerchio e facendo in modo che la perpendicolare dell'altro punto A unisca il centro   del cerchio grande.

    Si misura AC.  L'area blu sarà uguale a AC^{2} \frac{\pi }{2}

    Infatti l'area blu è data dalla differenza tra l'area del semicerchio di rggio R e le due aree dei cerchietti piccoli di diametro d= 2r.

    A=\frac{\pi R^{2}}{2} -2\pi r^{2}

    A = \frac{\pi }{2} (R^{2}-d^{2})

    Essendo ABC triangolo rettangolo, il termine fra parentesi è il quadrato del cateto AC.

     

  3. Fabrizio

    A prima vista sembrerebbe che dobbiamo trovare due incognite (il raggio del cerchio grande  e quello dei cerchi piccoli) con una sola misura. Non sembrerebbe possibile, a meno che le incognite non siano veramente due. Da qui mi è venuto lo spunto per la soluzione che propongo.

     

     

  4. Sono costretto a ripetere che i cerchi piccoli SONO CONTENUTI nel cerchio grande. Non posso farli uscire...

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