09/07/24

Un problema “olimpico” abbastanza complicato ***

I problemi che vengono proposti nelle varie olimpiadi di matematica non sono, spesso, molto difficili, ma ciò che li rende ostacoli a volte insormontabili è il tempo che si ha a disposizione per risolverli. Ve ne propongo uno che, teoricamente, dovrebbe essere completato in circa 15 minuti. E' considerato tra i più complicati, dato che abbisogna di parecchia intuizione oltre che di una grande attenzione con le lettere a disposizione (ci si confonde facilmente...). Inoltre, disegnando la figura con le giuste proporzioni, ci si trova di fronte a chiare "coincidenze" che si rischia di considerare come assodate, mentre, invece, è necessario dimostrarle. Insomma, anche avendo a disposizione tutto il tempo che si vuole, resta , comunque, un esercizio che vale almeno tre asterischi.

Vi invito a risolverlo spiegando completamente tutti i passaggi senza dare niente di scontato. E' vietato l'uso della trigonometria.

PROBLEMA

Sia ABC un triangolo isoscele con l’angolo  minore uguale ad a.

Tracciare BP in modo che PBC = 90 – a e individuare P sul lato AC

Individuare Q su AB, tale che BQ = AP

Individuare R su BC tale che RQ = RP

Siano O1 e O2 i circocentri dei triangoli APQ e PRC, rispettivamente

Si chiede di dimostrare che BR = O1O2

La scelta del triangolo isoscele è del tutto libera, ma vi invito a usare quello che segue per un miglior confronto

 

QUI la soluzione

8 commenti

  1. sprmnt21

    Uno dei modi di costruire il punto P descritto è il seguente.

    Sia O il centro del cerchio circoscritto al triangolo ABC e t la tangente in B ad (O).

    La retta BO taglia in P il lato AC (interno se a<90°).

    Il triangolo isoscele OAB ha gli angoli in A e B uguali ad a/2.

    L’angolo al centro AOP è il doppio di ABP quindi =a, da cui segue che QP=AP=BQ.

    Quindi, essendo QBP isoscele l’angolo esterno AQP è il doppio dell’angolo in B cioè =a.

    Questo comporta che il quadrilatero APOQ è ciclico, cioè il cerchio per APQ passa anche per O.

     

    oli-in-15-minuti-1

     

     

    Sia OR con R in BC l’asse del segmento PQ.

    OR passa per O_1. Questo comporta ceh O_1OP è isoscele con l’angolo in O_1=a.

    Pertanto BOR = BCA. Da cui segue che PORC è ciclico.

    Sia O_2 il centro del cerchio circoscritto al quadrilatero.

    OPR=OCR=90-a cioè BR=PR.

    Siccome ad OP corrispondono due angoli uguali, i due cerchi sono uguali(uguale raggio).

    Sia E il punto diametralmente opposto ad O nel cerchio (O_1).

    Si verifica facilmente che EO_1O_2P è un parallelogramma,

    per cui PE=O_1O_2.

    Da ORP=OCP=a/2 segue che EPR è isoscele, con EP=PR.

    In definitiva O_1O_2=EP=PR=BR

     

    oli-in-15-minuti-2

     

    PS

    Credo ci siano modi più "sintetici" per arrivare alla tesi, ma, come diceva quello, "non ho avuto abbastanza tempo per essere più breve".

     

  2. sprmnt21

    correggo la prima parte, facendo riferimento a questa figura

    oli-in-15-minuti-1

     

    APOQ è ciclico perché QOB=a.

    Questo deriva dall'essere i due triangoli APO e BQO uguali avendo i tre lati uguali:

    PO=QO perché corricpondono ad angoli alla circonferenza uguali ad a/2

    AO=BO come raggi dello stesso cerchio

    Ap=BQ per costruzione

     

  3. bravo sprmnt21...

    più o meno è la soluzione che avevo in mente. Anch'io sono convinto che si possa sveltire la dimostrazione, ma penso che vada bene anche così. Io ho usato l'uguaglianza di altri due segmenti, ma cambia poco... :wink:

  4. sprmnt21

    correggo ancora (pardon!)

    APOQ è ciclico perché QOB=a.

    Questo deriva dall'essere i due triangoli APO e BQO uguali avendo i due lati e l'angolo compreso uguali

    <PAO=<QBO = a/2

    AO=BO come raggi dello stesso cerchio

    AP=BQ per costruzione

     

    quinsi <QOB = <POA = a

  5. sprmnt21

    Ho provato a capire su cosa si basano tante delle "proprietà" della figura in questione, cercando di togliere il più possibile delle particolarità che (in un certo senso) possono nascondere la sostanza dei fatti.

     

    fatto 1: vale per qualsiasi triangolo e disposizione dei punti.

     

    cerchi-concorrenti-1

    Sia data un triangolo ABC e tre punti P, Q ed R rispettivamente su CB, BA ed AC.

    Sia D il secondo punto comune ai due cerchi (CPR) e (BPQ).

    Risulta che il quadrilatero AQDR sia ciclico.

    Infatti l’angolo in D, essendo uguale alla somma degli angoli in B e C

    è supplementare all’angolo in A, per cui A,R,D e Q  stanno su uno stesso cerchio.

     

    Fatto 2. Il punto D sta su una delle altezze del triangolo.

     

    cerchi-concorrenti-1a

     

    Se di interesse, appena ho tempo per fare dei disegni esplicativi, posso far vedere come questi fatti possono essere usati per il problema in questione.

     

  6. Siamo sicuramente interessati... ma non riesco a leggere le lettere delle figure. Dov'è D ? POtresti ingrandirle un po'?

  7. sprmnt21

    D è il punto comune ai tre cerchi nella prima figura.

    Nella seconda, mi accorgo adesso, l'ho ribattezzato K.

     

    Per le figure non so come fare. Le mie originali sono molto grandi.  Ho visto che alcune figure sono caricate tramite un servizio del sito a cui però io non ho accesso.

     

  8. sprmnt21

     

    olimp-fatti-1-e-2

     

     

     

    Per il fatto 1 i tre cerchi concorrono in O, circoncentro di ABC.

    Per il fatto 2 l'asse di QP passa per O1 ed O ed R.

    Il triangolo O1O2O3 è simile ad ABC ed è inscritto in un cerchio uguale ai tre che passano per O.

    L'angolo alla circonferenza sotteso a BR è uguale all'angolo alla circonferenza sotteso ad O1O2, da cui la tesi.

     

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