(1) metodo fisico

E' il metodo sicuramente più rapido e cerca la soluzione che dia una velocità relativa tra i due mezzi uguale a zero. Ribadisco che  ciò non impone assolutamente che essi si fermino.

Due secondi dopo che il camion ha usato i freni possiamo calcolare che la macchina ha percorso uno spazio

s_A = v₀t  = 20 t = 40 m

Il camion invece (s₀ è la distanza tra i due mezzi al tempo t = 0):

s_C = s₀ + v₀t + 1/2 aC t² = 10 + 40 - 1/2 2 4 =  50 - 4 = 46 m

La nuova distanza d tra camion e macchina è diventata:

s_C - s_A = d = 50 - 46 = 6 m

La velocità del camion è diventata

vC = v0 + aC t

vC = 20 - 2 · 2 = 16 m/s

La velocità relativa tra i due mezzi è diventata:

vAC = 20 - 16 = 4 m/s

Chiamiamo aA la decelerazione da imporre alla macchina per evitare lo scontro "al pelo". Abbiamo che:

aA - aC = aAC                    .... (1)

Per evitare lo scontro dobbiamo fare in modo che la velocità finale vf tra i due mezzi diventi zero.

Utilizziamo la formula di Torricelli (senza tempo):

v_f² = v_AC² + 2 d a_AC

0 = 4² + 2 · 6 · a_AC

a_AC = - 16/12 = - 4/3 m/s²

Utilizzando la (1)

a_A = a_AC + a_C

a_A = - 4/3 - 2 = - 10/3

a_A = - 3.334 m/s²

(2) metodo analitico

Questo metodo è sicuramente più laborioso ma può essere un utile esercizio di geometria analitica.

Rappresentiamo il nostro problema nel piano spazio-tempo. Ricordiamo che quando un corpo si muove a velocità costante lo spazio percorso nell'unità di tempo è rappresentato da una retta, la cui inclinazione rispetto all'asse del tempo è proprio la velocità: più la retta è inclinata e più veloce va il corpo. Se il corpo subisce un'accelerazione costante lo spazio che percorre è rappresentato da una parabola che ha il coefficiente di t² positivo se l'accelerazione è positiva e negativo se l'accelerazione è negativa. In formule...

s = s₀ + v₀(t - t₀)

s = s₀ + v₀(t - t₀) + 1/2 a(t - t_o)²

Come possiamo applicare queste condizioni nel nostro caso? Fino a un certo istante, che possiamo indicare come t = 0, macchina e camion si muovono lungo due traiettorie parallele, avendo la stessa velocità di 20 m/s. La retta del camion è spostata di 10 metri verso l'alto.

All'istante t = 0 il camion decelera, ossia impone un'accelerazione negativa. Ciò vuol dire che la sua traiettoria diventa una parabola con la concavità rivolta verso il basso. Una parabola che è ovviamente tangente alla retta che percorreva precedentemente. L'automobile, invece, continua per 2 secondi nel suo moto a velocità costante, prima di iniziare a decelerare. Anch'essa, quindi, si muove secondo una parabola con concavità rivolta verso il basso, tangente alla retta che percorreva precedentemente.

Esistono, tuttavia, infinite parabole tangenti a una retta in un punto. A noi interessa quella che tocca la parabola del camion senza attraversarla (ci sarebbe uno scontro!). In poche parole, vogliamo una parabola che sia tangente a quella del camion. Questa condizione permette di determinare un'unica parabola e, quindi, il coefficiente del termine t² che è  legato all'accelerazione richiesta.

La Fig. 1 illustra quanto detto a parole con una scala qualsiasi (la figura non soddisfa i parametri del problema).

Cosa conosciamo? le rette azzurre tangenti alle parabole (essendo nota la velocità e un loro punto); i punti P e Q di tangenza tra rette e parabole (quando iniziano le decelerazioni); il valore della decelerazione (a_C = - 2 m/s²) della parabola del camion. Quest'ultima parabola è, quindi, completamente determinata, mentre resta da calcolare il coefficiente del termine in t² della parabola dell'automobile.

Retta tangente Il punto P ha coordinate t = 2 e s = 10 (abbiamo considerato s = 0 la posizione della macchina al tempo t = 0). La sua pendenza è proprio la velocità prima della decelerazione (20 m/s).

Retta tangente alla parabola del camion

s = mt + n

s = 20t + 10                  .... (1)

Il valore di n = 10 si ricava imponendo il passaggio per P(0,10)

Retta tangente alla parabola dell'automobile

Questa retta deve passare per l'origine (n = 0) e avere coefficiente angolare uguale a m= 20. Ossia può essere scritta come:

s = 20t                                            .... (2)

per t = 2, abbiamo

s = 20 · 2 = 40

Ne segue che le coordinate del punto Q, in cui inizia la parabola dell'automobile, devono essere

Q(2, 40)

Parabola tangente a una retta in un punto (caso generale)

Consideriamo il caso generale di una parabola con asse parallelo all'asse y:

y = ax² + bx + c

tangenza alla retta

y = mx + n

nel punto P(x₀, y₀)

scriviamo la parabola in questo modo:

y = mx + n + k(x - x₀)²             .... (3)

Dove k è un parametro che al suo variare descrive tutte le parabole del fascio tangente alla retta in un punto.

Verifichiamo che sia proprio così ...

Innanzitutto è sicuramente un'equazione di secondo grado del tipo y=  ax² + bx + c, ossia è una parabola con asse parallelo all'asse y.

Deve passare per P (x₀, y_o) che appartiene alla retta

y_o = mx₀ + n + k(x₀ - x₀)² = mx₀ + n + 0 = mx₀ + n

La parabola passa per il punto P che appartiene alla retta.

La retta deve essere tangente alla parabola. Il che vuol dire che la tangente della parabola in quel punto deve avere la stessa inclinazione della retta, ossia m.

Facciamo la derivata prima della parabola:

y' = m + 2(x - x₀)

Calcoliamola nel punto P

y_o' = m + 0 = m

Anche questa condizione è verificata. L'equazione (1) soddisfa la nostra richiesta e può essere usata per indicare una parabola generica del fascio che sia tangente in un punto P a una retta.

Ovviamente, invece di utilizzare subito la (3) potevamo determinare la parabola tangente alla retta in un punto, imponendo il passaggio per quel punto e la tangenza alla retta in quel punto attraverso la derivata prima. Potete provare a farlo come facile esercizio...

Applichiamo la (3) al nostro caso

Parabola tangente nel punto P(0,10) alla retta s = 20t + 10

s = mt + n + k(t - t₀)² = 20t + 10 + k(t - 0)²

s = kt² + 20 t + 10

Nel caso del camion noi conosciamo il valore del coefficiente del termine di secondo grado, ossia -1/2 a .  Al posto di k poniamo -1 e otteniamo la parabola voluta con la giusta concavità.

k = 1/2 a = - (1/2) 2 = -1

s = - t² + 20t + 10                       .... (2)

Questa è l'equazione della traiettoria parabolica del camion a partire dal punto P(0,10). Essa è, ovviamente, perfettamente determinata.

Parabola tangente nel punto Q(2,40) alla retta s = 20t 

Scriviamo la (3) in questo secondo caso

s = mt + n + k(t - t₀)²

s = 20t + 0 + k(t - 2)²

s = 20t + kt² - 4kt + 4k

s = kt² +20t - 4kt + 4k             .... (4)

Notiamo che il coefficiente di t² è proprio k. Ci basta, perciò, determinare il valore di k per ottenere immediatamente anche il valore dell'accelerazione necessaria alla macchina per toccare posteriormente il camion senza urtarlo.  Quanto detto vuole praticamente dire che tra tutte le parabole del fascio dobbiamo scegliere quella che sia tangente alla parabola del camion.

Iniziamo imponendo l'uguaglianza della (2) e della (4). In tal modo si possono determinare le intersezioni tra le due parabole.

- t² + 20t + 10  =  kt² +20t - 4kt + 4k   .... (5)

Abbiamo bisogno di risolvere questa equazione? Assolutamente no. Per dare la risposta al nostro problema, dato che a noi interessa solo il caso in cui il punto d'intersezione sia uno e uno solo, ossia le parabole siano tangenti, basta perciò annullare il determinante della (5). Eseguiamo prima alcune semplificazioni e poi passiamo al calcolo del discriminante...

- t² + 20t + 10 = kt² - 4kt + 20t + 4k

t² - 10 + kt² - 4kt + 4k = 0

(1 + k)t² - 4k t + 4k - 10 = 0               .... (6)

Annulliamo il determinante

Δ = 16k² - 4(1+k)(4k - 10) = 0

Δ = 16k² - 16k +40k - 16k² +40

Δ = 24k + 40 = 0

k = - 40/24

k = - 1.667

Abbiamo trovato il valore di k che non è altri che il valore del coefficiente del termine in t², ossia:

k = (1/2) a

a = 2k

a = - 3.334 m/s²

Il problema è risolto! Tuttavia, è banale ottenere altri dati riguardo alla situazione finale. Risolvendo la (5):

(1 + k)t² - 4k t + 4k - 10 = 0

t = 4k/2(1 + k) = 2k/(1 + k)

t =- 2 · 1.667/- 0.667

t = 5 s

L'equazione di una delle due parabole ci regala subito lo spazio percorso:

s = - t² + 20t + 10

s = - 25 + 100 + 10 = 85 m

E' anche immediato scrivere la retta tangente alle due parabole...

La derivata prima della parabola, calcolata nel punto di tangenza, vale:

s' =  - 2t + 20 = - 10 + 20 = 10 m/s

che è anche il coefficiente angolare della retta tangente, ossia la velocità istantanea. Il che vuole anche dire che se all'istante t =5 si annullassero le decelerazioni, camion e macchina viaggerebbero attaccate con una velocità di 10 m/s.

La fig. 2 riporta i risultati ottenuti usando la giusta scala.

Il quiz lo trovate QUI