Categorie: Matematica
Tags: geometria 3D quiz raggi tangenza tre sfere triangolo
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:17
Tre sfere nello spazio (con soluzione)**
Un problema in tre dimensioni che è, comunque, più semplice di quello che potrebbe sembrare leggendolo. L'importante è riuscire a visualizzare nel modo corretto le tre sfere e il triangolo.
Tre sfere sono tangenti a un piano in tre punti A, B, C che formano un triangolo di lati a>b>c, noti. Ogni sfera è anche tangente alle altre due. Determinare i raggi delle tre sfere.
Ovviamente, non riporto figure illustrative, dato che gran parte del problema sta proprio nella rappresentazione grafica...
SOLUZIONE
E' data perfettamente nei commenti di Andy e Fabrizio
17 commenti
In bianchetto riporto il mio ragionamento:
Se le sfere sono tangenti tra loro, i centri presi a due a due e i rispettivi punti di tangenza, sono allineati.
Essendo a>b>c e indicando con x, y, z i raggi delle tre sfere con x>y>z,
a sarà la proiezione sul piano di x+y
b sarà la proiezione sul piano di x+z
c sarà la proiezione sul piano di z+y
per cui avremo:
a = √[(x+y)^2 − (x−y)^2] = 2√(xy)
b = √[(x+z)^2 − (x−z)^2] = 2√(xz)
c = √[(y+z)^2 − (y−z)^2] = 2√(yz)
Le equazioni precedenti possono essere rappresentate attraverso le seguenti figure con vista frontale bidimensionale:
https://i.ibb.co/F52yD0q/maggiore-mediano.png
https://i.ibb.co/qND8T7N/maggiore-minore.png
https://i.ibb.co/1sJ5jNZ/mediano-minore.png
Isolando i prodotti dei raggi e quadrando a sinistra e destra:
xy = (a^2) / 4
xz = (b^2) / 4
yz = (c^2) / 4
Per risolvere basta effettuare dei prodotti alternati di due coppie di raggi fratto il prodotto della terza coppia:
(xy · xz) / (yz) = x^2 =
= ((ab)^2 / 16) / (c^2 / 4) =
= ((ab)^2) / (4c^2)
x = √[((ab)^2) / (4c^2)] = ab / (2c)
Similmente:
(xy · yz) / (xz) = y^2 → y = ac / (2b)
(xz · yz) / (xy) = z^2 → z = bc / (2a)
La mia soluzione è a questo link.
siete sempre bravissimi!!
Potrebbe essere interessante il fatto che, se volessimo calcolare l’angolo di inclinazione di ogni piano su cui giace il segmento somma dato da due raggi adiacenti, rispetto al piano comune tangente alle tre sfere, e assumendo che r1 > r2 > r3, si avrebbe:
α = arcsen ( (r1 – r2) / (r1 + r2) )
β = arcsen ( (r1 – r3) / (r1 + r3) )
γ = arcsen ( (r2 – r3) / (r2 + r3) )
cioè unendo i tre centri delle sfere si chiuderebbe si un triangolo che però ha la caratteristica di avere ogni lato con un inclinazione differente rispetto ai piani sui quali giacciono gli altri due.
Ma l’osservatore in 2D percepirebbe solo la sua proiezione sul piano comune (con la variazione delle lunghezze effettive dei lati del triangolo 3D), ignorando la vera genesi del triangolo osservato.
Sembra come se la realtà percepita, in un determinato istante ed in determinato sistema di riferimento, sia una trasformazione di un’altra realtà (seppur analoga) sovradimensionale nello spazio e nel tempo (o magari spaziotempo...
)
Devo ammettere, con grande piacere, che tu, caro Andy, hai capito benissimo lo spirito della geometria e te ne sei giustamente innamorato! Grazie di vero cuore...
Seguendo le interessanti considerazioni di Andy mi è venuta la domanda: quale è l'angolo tra il piano che passa per i 3 centri ed il piano orizzontale calcolato partendo dei lati (a, b, c) del triangolo?
Non ho una risposta alla domanda. O meglio, una risposta basata sui vettori che congiungono i tre centri sarebbe possibile. Il problema è che lo sviluppo delle espressioni non riesco a seguirlo manualmente perché le espressioni diventano enormi e complicate.
Senza l'aiuto di processori esterni, posso dire solo 2 cose abbastanza banali.
Se il triangolo ABC è equilatero (a=b=c) il piano tra i 3 centri è orizzontale.
Se il triangolo ABC è degenere, cioè i punti sono allineati (es. a=b+c), il piano tra i 3 centri è verticale.
Chissà se c'è qualche considerazione geometrica che possa rendere il calcolo più umano?
Riguardo alla determinazione del piano del triangolo rispetto al piano dei centri, non potrebbe essere risolutivo ragionare come segue...
Date due sfere , il trapezio rettangolo comune a tutte le possibili posizioni è determinato e AB rappresenta un lato del triangolo. Ripetendo la figura per tutte e tre le coppie forse si dovrebbe determinare il piano dei centri... o sbaglio? Scusate, ma in questi giorni sono piuttosto preso da problemi collaterali...
Non volendo disturbare Pitagora
Osservando la sezione fornita dall’intersezione delle sfere A e B con un piano per i centri ed ortogonale al piano ABC, sia E il punto comune alle due sfere.
Per le proprietà delle tangenti esterne ad una circonferenza, il piano tangente in E alle due sfere taglia il lato AB nel D tale che DA=DE=DB.
Per similitudine DOE e DO_BE si ha che OA E: ED = ED : OB E, cioè rA*rB = (c/2)2
EC (corretta la formula del coseno )
Complimenti a sprmnt21 per il modo elegante per ottenere i raggi delle 3 sfere.
Non riesco a seguire la seconda parte del ragionamento che porta alla tangente dell'angolo δ (delta) tra le perpendicolari dei due piani. sprmnt21 potresti aiutarmi con qualche indicazione più esplicita.
In effetti la formula dà il quadrato della tangente. SERVE UNA II EC Appena rientro a casa provo a fare dei disegni di dettaglio sui vari passi del "ragionamento "
@Fabrizio questa figura dovrebbe spiegare nel dettaglio l'idea del calcolo della tangente dell'angolo tra i due piani (ABC e O_AO_BO_C)
questa figura
Su questa ultimo metodo mi ci ritrovo. E' il metodo con i vettori che dicevo nel mio post sopra.
Il problema è esprimere V0 in termini delle sole lunghezze a, b e c.
Ciao ragazzi...
ammetto di non aver voglia di fare i calcoli, ma secondo me basterebbe determinare il piano che passa per i tre centri, le cui coordinate possiamo determinarle scegliendo gli assi in modo acconcio rispetto al piano del triangolo di base. Quest'ultimo è facile da scrivere conoscendo già le coordinate dei tre punti di tangenza. Dopo di che basta applicare la formula che regala l'angolo tra i due piani m e n.
cos(m,n) = +/- (aa' + bb' + cc')/(√(a2 + b2 + c2)√(a'2 + b'2 + c'2))
Probabilmente è la stessa che trovate voi...