Categorie: Fisica classica
Tags: Carrol equilibrio liana scimmietta
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:18
La fisica appesa a un ... filo *
Iniziamo questa serie di articoli ricordando l'importanza del piano inclinato di Galileo Galilei. "Ma cosa c'entra il filo?" -direte voi-. Vedremo presto che c'entra molto e ci faremo aiutare da una scimmietta appesa a una liana.
Prima di presentarvi la scimmietta, accenniamo solo alla ragione fisica del piano inclinato. Il suo utilizzo ha permesso, in pratica, di riuscire a misurare l'accelerazione di gravità, rallentandola in modo acconcio e riuscendo, così, ad analizzare al meglio il moto accelerato, ossia il secondo principio della dinamica di Newton (F = ma).
Lo stesso scopo si raggiunse molto tempo dopo attraverso la macchina di Atwood, che riuscì nello stesso intento lavorando proprio su masse appese a un ... filo. Ed ecco che compare il nostro filo che ci permetterà di risolvere molti simpatici problemi di fisica, più o meno elementari.
Ma torniamo alla nostra scimmietta che farà da "antipasto".
La presentiamo sotto forma di un quiz proposto da Lewis Carrol, pseudonimo con il quale è conosciuto lo scrittore di Alice nel Pese delle Meraviglie, precursore, in qualche modo, della meccanica quantistica. Dello stesso Carrol abbiamo già presentato il quiz probabilistico delle tre sferette, ma quello della scimmietta, nella sua apparente semplicità, ha creato non pochi problemi con risposte spesso contrastanti.
La situazione iniziale è quella di una scimmietta appesa a una liana, in perfetto equilibrio con un casco di banane, appeso dall'altra parte della liana. In altre parole il casco di banane pesa esattamente come lei. Purtroppo le banane sono più in alto rispetto alla scimmietta e lei, per raggiungerle, inizia a salire lungo la liana.
Riuscirà la scimmietta a raggiungere le banane?
Assumiamo che la liana abbia massa nulla e sia inestensibile. Inoltre, imponiamo che non vi siano attriti e nemmeno ondeggiamenti strani. La distanza tra banane e ramo sia molto più grande della distanza tra scimmietta e banane.
Datemi la vostra riposta e poi faremo la conoscenza con una forza che continua, a volte, a creare parecchia confusione anche tra qualche divulgatore della rete.
18 commenti
La prima risposta che mi viene, sulla base della mia longeva esperienza, é che la scimmietta non c'è la fa: più lei sale e più sale anche il casco di banane. Tutt'altro risultato, credo, sì avrebbe se la loro distanza fosse tale da subire una differente "forza" di attrazione (in ambito Newton). Ma non ne sono sicuro
Penso si possa dire che il sistema scimmia-banane-filo-carrucola-forza gravitazionale sia chiuso, per cui si conserva l'energia. In questo caso solo potenziale, per cui...
Si considera che la gravità sia la stessa...
Magari mi sbaglio, ma considero
3° principio della dinamica:
"ad ogni azione corresponde una reazione uguale in modulo e opposta in verso":
legge di conservazione della quantità di moto:
(m1)(v1) = −(m2)(v2)
In questo caso m1 = m2 → |v1| = −|v2|
cioe le velocità discorrimento della fune rispetto al fulcro (verso il basso nella parte dove c'è la scimmia che si arrampica e quindi tira la corda verso il basso, al contrario nella parte dove c'è una massa uguale, la fune scorre verso l'alto perchè viene tirata dall'altra parte) sono uguali in modulo ma viaggiano in verso opposto.
E quindi, Andy, come rispondi alla domanda?
Che la scimmia sale molto lentamente dato che deve trasportare il suo peso più quello del casco di banane di massa equivalente e poiché la lunghezza del tratto di corda lato casco di banane è molto maggiore di quello lato scimmia, il tempo che i due tratti tendono ad uguagliarsi tende all'infinito.
Se la scimmia dovesse raggiungere il ramo, dovrebbe aggrapparsi con le zampe posteriori a quest'ultimo (formando un sistema solidale ramo+scimmia) e tirare la corda sino a quando il casco di banane diventa a portata di...zampa
caro Andy, tu dici:
il tempo che i due tratti tendono ad uguagliarsi tende all'infinito.
Vorresti dire che la distanza d tra scimmia e casco si riducono durante la salita della scimmia?
Inoltre, dici anche che:
la lunghezza del tratto di corda lato casco di banane è molto maggiore di quello lato scimmia
Cosa intendi con lunghezza? quella che separa banane e ramo? In realtà, le banane sono più in alto della scimmia...
Specifica meglio cosa capita alla distanza d al passare del tempo, escludendo, ovviamente, l'arrivo in cima al ramo e le manovre seguenti. Ho detto che h è enormemente più grande di d e quindi la scimmia si stanca prima
Allora avevo frainteso...
Posto un'ummagine per visualizzare meglio:
Se la scimmia tira la fune verso il basso per arrampicarsi, ad esempio di un metro, il casco di banane si sposta di un metro ma in verso opposto cioè verso l'alto; inoltre se la corda scorre senza attrito, la posizione della scimmia rispetto al ramo non cambia nel senso che la distanza scimmia-ramo dovrebbe rimanere la stessa come nel momento iniziale prima dell'arrampicata, mentre la distanza banane-ramo dovrebbe diminuire di un metro.
Se sono queste le condizioni, la scimmia vedrebbe allontanarsi sempre più da lei il casco di banane man mano che tenta di arrampicarsi.
Prima che la scimmia si muova il sistema è in equilibrio in quanto la sua massa e quella delle banane sono uguali. Se la scimmia si arrampica eserciterà una forza a cui farà reazione il ramo ove scorre la fune ( si può suppore che sia la massa della fune sia nulla sia l'attrito della stessa sul ramo sia nullo). La reazione del vicolo del ramo fisso è una forza F diretta verso il basso applicata al centro del ramo, a questa forza per il 3° principio della dinamica si applicano due forze (di tensione) sul filo pari a F/2 e dirette verso l'alto ( la somma delle tre forze è nulla). Ora se la scimmia si arrampica per 2 metri sul tratto di fune i due tratti di fune scorreranno di un metro quello della scimmia verso il basso e quello delle banane verso l'alto
Si gioca tutto sul transitorio, sulla fase in cui il sistema passa dall'essere in quiete al muoversi a velocità costante.
Considerando nulli gli attriti, che la scimmietta si muova verso l'alto a velocità costante o che sia ferma, la forza che esercita sulla fune è la stessa, ed è pari al suo peso. Che è pari al peso del casco di banane.
Per cui la tensione della fune sarà sempre P, su entrambi i rami (perchè l'attrito sulla puleggia è nullo).
L'equazione di equilibrio della sommatoria dei momenti alla carrucola è soddisfatta. Per cui se è ferma rimane ferma, se è in movimento rimane in movimento a velocità costante.
Quindi ci possono essere 3 condizioni di equilibrio che si possono verificare:
- la scimmietta sale con velocità cost. v, il casco di banane è fermo.
- la scimmietta è ferma, ma con le mani richiama fune con velocità v. Il casco di banane sale con velocità costante v.
- la scimmietta sale con una velocità costante v1, il casco di banane con una velocità v2, la somma v1+v2 è la velocità con cui la scimmietta richiama a se la fune
Quale delle tre dipende dal transitorio tra il sistema in quiete e il sistema che inizia a richiamare fune.
In presenza di attrito e inerzia rotazionale della carrucola, dato che la forza motrice è dal lato della scimmietta, la scimmietta salirà con v1=v e il casco di banane rimarrà fermo.
PS: il sistema non è chiuso. La scimmietta è un motore che esercita un lavoro.
caro Matteo,
alla fine concludi che la scimmietta sale, mentre le banane restano ferme... E quindi la scimmietta raggiunge le banane. Ma dove la metti la tensione del filo sulle banane?
Non capisco la domanda.
Fino all'istante precedente che la scimmietta afferri le banane, la tensione del filo che tiene le banane vale P, il peso delle banane.
Se la carrucola non ha attriti, la tensione del filo nel ramo sinistro è uguale a quella del ramo destro, e vale sempre P.
Ma P è anche la forza esercitata dalla scimmietta sulla fune, nel suo incedere a velocità costante, dato che pesa P.
Per cui se disegniamo i free-body diagram di scimmietta, carrucola e banana sono tutti equilibrati.
Ovviamente quando la scimmietta afferrerà la banana, se farà l'errore di slegarla dal filo per mangiarla precipiterà malamente.
C'è una manovra in arrampicata che riproduce al contrario questa situazione, che permette al secondo di cordata di calarsi e raggiungere il primo quando cade sotto la sosta di assicurazione. Da lì poi i due proseguono in calata.
Si chiama "bilancino", e sfrutta l'equilibrio tra il peso del pericolante e quello del soccorritore. La corda non è passata in una carrucola ma in un moschettone, che grazie all'attrito permette di compensare eventuali piccole differenze di peso tra i due.
Ed ecco la scimmietta che si cala per raggiungere le banane:
https://youtu.be/X2gEX9FU8aI?si=FxnXSQEhDuEvaxDD&t=214
caro Matteo, ma la forza p (tensione) esercitata dalla scimmietta deve essere maggiore del suo peso se vogliamo che salga. Ne consegue che anche le banane salgono rispetto al terreno. La scimmia le vede sempre nella stessa posizione rispetto a lei.
Forse non ci siamo capiti...
Caro Matteo, per non confonderci, rispondi chiaramente:
In mancanza di attrito la scimmia che sale raggiunge oppure no le banane prima di arrivare sul ramo? In altre parole, mentre sale la scimmietta vede avvicinarsi a sé le banane oppure no?
Sono andato a leggermi la trattazione tradizionale dei fisici del problema.
Come spesso accade, tra fisici e ingegneri non ci si capisce.
Quando ha scritto "inizia a salire" io pensavo volesse tralasciassimo il transitorio, l'accelerazione iniziale, e pensassimo il sistema in regime stazionario a velocità costante. In quel regime la scimmia sale esercitando una forza pari al suo peso P, nemmeno 1N in più.
Se includiamo l'accelerazione, allora concordo. Il peso non può stare fermo. E scimmia e banane salgono assieme verso l'alto con la stessa accelerazione.
Ma se oltre all'accelerazione introducessimo l'attrito sulla puleggia, allora la scimmia raggiungerebbe le banane, dato che i tiri dei due rami della fune non sarebbero più lo stesso.
I casi sono 2:
o la corda NON scorre sul ramo oppure scorre,
Nel primo caso il baricentro del sistema isolato si sposterebbe da solo verso l'alto e ciò è impossibile.
Nel secondo caso tanta cord scende , tanta corda sale, essenso inestensibile, per cui le banane rimarranno sempre alla stessa distanza dalla scimmia.
PS nel primo caso tutti i problemi di Musk sarebbero risolti.
caro Leandro,
se la fune non scorresse direi che sarebbe come se la scimmia dovesse salire su una corda fissata al "soffitto". Le banane non entrerebbero in gioco...
Comunque ci siamo capiti...