Categorie: Matematica Storia della Scienza
Tags: Cartesio derivata implicita fermat foglia folium funzione implicita
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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La derivazione implicita e la "foglia" di Cartesio **
Sappiamo molto bene che la storia della Scienza è costellata da battibecchi tra gli scienziati, spesso origine di dibattiti estremamente furiosi. Non ultima la vera e propria guerra contro la relatività di Einstein, troppo nuova e audace per i suoi coetanei. In questo articolo parliamo di qualcosa di meno eclatante, ma che ci permette di evidenziare un metodo molto utile per la ricerca delle tangenti a una curva. Un "trucco" matematico che permette di risolvere svariati problemi fisici.
Iniziamo da una semplice funzione di cui cerchiamo l'equazione della tangente in ogni suo punto. Consideriamo l'iperbole più banale di tutte:
F(x,y) = xy = 1
L'abbiamo scritta sotto forma di funzione a due variabili, ossia in una forma che possiamo definire implicita. La prima cosa che salta in mente di fare è quella di esplicitarla, ossia ricavare y in funzione di x. Banale!
y = 1/x
a questo punto è immediato determinare la sua derivata, che è ben nota a tutti:
y' = -1/x2
Scegliendo un punto P qualsiasi dell'iperbole di coordinate x0 e y0 è cosa banale scrivere l'equazione della tangente in quel punto.
Ad esempio, considerando il punto P(2,1/2) avremmo:
y'(2) = -1/4
y = -1/4 x + n
Ponendo x = 2 e y = 1/2 = -1/4, si ricava n
1/2 = - 2/4 + n
n = 1
E la retta tangente è determinata
y = - x/4 + 1
Un procedimento veramente banale...
Tuttavia, è possibile agire direttamente sulla funzione data in forma implicita:
La nostra funzione è data dal prodotto di due funzioni di x:
f(x)g(x)
La sua derivata rispetto a x vale:
d[f(x)g(x)]/dx = d(f(x))/dx · g(x) + f(x) · d (g(x))/dx
Nel nostro caso
f(x) = x
g(x) = y
derivando entrambi i membri:
d(xy)dx = d(1)/dx
d(xy)/dx = 1 · y + x dy/dx = d(1)/dx= 0
y + x dy/dx = 0
A noi interessa trovare proprio dy/dx = y'
y + x y' = 0
y' = - y/x
Quanto vale nel punto P(2,1/2) ?
y' = -1/2 · 1/2 = - 1/4
esattamente lo stesso valore di prima, senza aver avuto bisogno di esplicitare la funzione di partenza.
Nel caso appena trattato non val certo la pena di eseguire la derivazione implicita, ma non è sempre così e può benissimo capitare che sia molto difficile, se non impossibile, esplicitare la funzione di partenza.
Vediamo un altro caso, piuttosto facile, che ci permetta di visualizzare meglio la procedura. Scriviamo, ad esempio, l'equazione di una circonferenza in forma implicita:
x2 + y2 = 1
Anche questa non è difficile da rendere esplicita. Tuttavia, bisogna estrarre una radice quadrata e si è di fronte a una scrittura in cui compare un +/- :
y = +/- √(1 - x2)
Bisogna, perciò, spezzare la curva nelle varie parti in cui a una x corrisponda una e una sola y.
Se applichiamo, però, la derivazione implicita possiamo evitare questo piccolo problema.
d(x2 + y2)/dx = d(x2)/dy + d(y2)/dx = d(1)/x = 0
Sia x2 che y2 sono funzioni di x, per cui eseguo le varie derivate, ricordando quella di funzione di funzione (f(g(x))' = f '(g(x)) g'(x))
2x + 2 y dy/dx = 0
2y dy/dx = - 2x
dy/dx = - x/y
Questa derivata può essere calcolata per ogni punto della funzione e permette di ricavare immediatamente la tangente in quel punto.
Pura matematica? Sicuramente no... Le applicazioni a problemi fisici "realistici" sono innumerevoli. Facciamone un caso relativamente semplice, ma anche istruttivo. Consideriamo un palloncino di raggio R e iniziamo a gonfiarlo inserendo una quantità di gas Q costante nel tempo.
Ci chiediamo: "Come varierà il raggio R?". In altre parole vogliamo trovare dR/dt.
Immettere nuovo gas vuol dire aumentare il volume del palloncino di una certa quantità costante.
Scriviamo il volume del palloncino in funzione del raggio R:
V = 4/3 π R3
Il volume varia in modo costante di una quantità Q.
Possiamo perciò scrivere:
dV/dt = Q
dV/dt = Q = d(4/3π R3 )/dt = 4/3 π d(R3)/dt
Attenzione! Non basta certo fare la derivata di R3 rispetto ad R, dato che la derivata è fatta rispetto al tempo. Tuttavia, R è sicuramente funzione del tempo e quindi posso eseguire la derivata di una funzione di funzione.
Q = (4/3) π 3R2 dR/dt
A questo punto tutto è conosciuto nella relazione tranne dR/dt che è proprio ciò che vogliamo ricavare.
dR/dt = Q/(4 π R2)
Tornando alla disputa tra Cartesio e Fermat, il primo aveva elaborato un metodo piuttosto lungo e laborioso per determinare la tangente a una curva. Fermat ne aveva elaborato un altro asserendo che attraverso di esso avrebbe potuto calcolare la tangente di QUALSIASI curva. Cartesio voleva dimostrare che il metodo di Fermat aveva gli stessi limiti del suo metodo e costruì, perciò, una curva implicita per la quale non era riuscito a trovare il risultato. Sfidò Fermat a riuscirci con il suo metodo, sicuro che sarebbe stato altrettanto inattuabile. E, invece, Fermat ci riuscì, sollevando una disputa piuttosto accesa. La curva ha preso il nume di "folium", ossia "foglia", ed è data da:
x3 + y3 - 3axy =0
con a costante.
La sua forma ricorda proprio quella di una foglia
In questo articolo useremo la derivazione implicita (ai tempi di Cartesio e Fermat non si conosceva ancora il calcolo differenziale...) dimostrando che quanto trovato da Fermat era perfettamente corretto. Potremmo utilizzare il geniale metodo di Fermat, ma è oggi del tutto inutile se non da un punto di vista puramente storico. Per il momento tralasciamolo e affidiamoci alle derivate e ai loro fondamentali vantaggi.
Portiamo il termine in xy a secondo membro e deriviamo
x3 + y3 = 3axy
3x2 + 3y2 dy/dx = 3ax dy/dx + 3ay
(y2 - ax)dy/dx = ay - x2
dy/dx = (ay - x2)/(y2 - ax)
Che è proprio ciò che cercavamo.
Ad esempio, prendendo a = 2 e P(3,3)
La nostra derivata risulta essere:
dy/dx = 2y - x2/y2 - 2x) = (6 - 9)/(9 - 6) = - 1
E la retta tangente:
y = - x + 6
Si potrebbe, analogamente, chiedere qual è il punto di massimo della curva nel primo quadrante, escludendo l'origine che comporta qualche discussione ulteriore. Avendo l'espressione generica della derivata il calcolo è veramente banale...
ay - x2 = 0
y = x2/a
Sostituendo y nell'equazione di partenza, si ottiene un'equazione nella sola x che permette di avere l'ascissa del punto di massimo e, di conseguenza, anche la sua ordinata.