Categorie: Matematica
Tags: compasso difettoso gometria riga non graduata
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:25
Un compasso difettoso*
Approfittiamo del fatto che i nostri ultra-esperti in geometria -e non solo- sono impegnati con le loro sfere e i vari piani tangenti e abbassiamo di molto il livello.
Avete una retta e un punto esterno ad essa.
Al pari degli antichi greci potete utilizzare solo una riga (sottilissima...), non graduata, e un compasso "molle", che non potete usare per riportare distanze. Il problema da risolvere sembra molto semplice, veramente banale per un antico greco!: "Tracciare la perpendicolare dal punto alla retta".
Prendete il compasso, ma riuscite a usarlo solo una volta e poi si rompe miseramente, rendendolo inservibile. Un minimo di ragionamento ed ecco che riuscite, comunque, a risolvere il problema!
25 commenti
Sarebbe "molto semplice" senza la limitazione in grassetto. Direi che servirebbero del i calcoli (nel senso di pietre) tedeschi per affrontarlo.
nessun calcolo... solo una costruzione geometrica.
calcolo come quelli renali cioè sassi tedeschi
scusa, ma non capisco cosa intendi dire...
In tedesco calcolo/sasso si dice Stein
Stein(er)
Risolvibile anche con la inellipse di Steiner, anche se il metodo è più criptico
Potrei usare il compasso molle per cercare il punto della retta di minima distanza da punto esterno.
Fisso un estremo del compasso sul punto esterno e posiziono l'altro estremo su un punto della retta. Muovo questo secondo estremo sulla retta nel verso che riduce la lunghezza del compasso fino a trovare il punto della retta alla distanza minima dal punto esterno.
La retta che passa tra il punto esterno e quello a distanza minima è la perpendicolare cercata.
è risolvibile con semplice geometria di base, senza far fare troppo lavoro al compasso che è molto fragile e si rompe subito: viene usato una volta sola per tracciare un cerchio e poi si rompe. Leandro...una volta sola!
La condizione imposta equivale al fatto che oltre alla retta e al punto dati si ha un solo cerchio (centro compreso) da posizionare "strategicamente" e poi poter tracciare solo rette tra due punti dati o ricavati come intersezioni.
Se il punto e la retta fossero riportati su un foglio facilmente piegabile, potrei fare in questo modo.
Inizio a fare come Leandro. Traccio un cerchio che interseca la retta in due punti abbastanza lontani tra loro, ma a questo punto si rompe il compasso. Allora foro il foglio nei due punti facendoci passare il righello (sottilissimo). Piego il foglio in modo che la piega passi per il punto esterno e i due punti siano mantenuti sovrapposti dal righello.
La piega sarà perpendicolare alla retta.
nessun piegamento...
caro Sprmnt21,
posso dirti che l'unicità del cerchio non è un requisito necessario. Un grosso aiuto... forse...
"solo" era nel senso di uno solo, visto che il compasso fa una brutta fine.
Io intendo questo: si traccia un solo cerchio con centro nel punto dato P che taglia la retta r in due punti A e B. Questo cerchio non è unico: è solo uno dei tanti che interseca la retta r.
La retta AP taglia il cerchio in A ed A'.
A'B è perpendicolare ad r.
Adesso il problema è tracciare una retta da P parallela ad A'B.
Pure questo non è banale.
Descriverlo a parole è inutile in quanto troppo ingarbugliato.
Sarebbe utile per questo scopo una figura, che mi pare di aver postato qu sotto il titolo di "corollario di Ceva" ma non ricordo su quale discussione.
Se prendi un altro tipo di cerchio, la faccenda diventa abbastanza semplice...
Dati il punto P e la retta EF (in rosso) si tracciano seguendo la numerazione gli elementi, fino alla retta richiesta PK in verde.
Per le giustificazioni delle operazioni vale sempre il mio messaggio di prima
Per maggior chiarezza H è un punto qualsiasi sulla retta 3.
Ma quale sarebbe il punto P? E dove il punto H e il punto K? Scusa, ma è bn difficile comprendere i vari passaggi... Come detto sovente, l'importante non è risolvere, ma rendere chiaro a tutti... E quale sarebbe la retta parallela di cui parlavi prima?
Io so come si fa, ma la tua spiegazione risulta un po' ostica... Non vi è bisogno di rette parallele e di corollari di Ceva, ma costatazioni e proprietà ben più immediate. Ovviamente, è facile che sia io a non capire bene i tuoi passaggi... Se riesci a descrivere, anche a parole, i tuoi passaggi e perché li puoi effettuare (cerchiamo di non dare niente come ovvio...), sarebbe di grande aiuto. Grazie!
Questa la sequenza delle operazioni(dove c'è [de]scritto punto X su y, vuol dire una posizione X qualsiasi sull'elemento y ):
Va bene, va bene... ma non spieghi perché l'ultima retta dovrebbe essere la perpendicolare cercata. Sarebbe bello capire come mai e che ragionamenti hai fatto. Comunque, domani pubblicherò la soluzione più rapida e spiegata nei dettagli, alla portata di tutti coloro che conoscono anche soltanto le proprietà più "famose" dei triangoli...
Due soli concetti: (1) triangolo inscritto in una semicirconferenza e (2) definizione di ortocentro.
Sì. In codesto modo è decisamente più semplice e diretto e pure più facile da esporre perché non coinvolge troppe linee.
PS
Se interessa dopo posso fare dei disegni intermedi delle proprietà usate nel mio commento. Ma mi serve un pò di tempo.
Ottimo! Fai con comodo ...
La prima delle due figure del precedente commento, illustra il seguente fatto, dimostrato nelle successive righe di commento.
Fatto1: Dati un segmento e il suo punto medio à possibile usando solo la riga (cioé tracciando solo linee rette) ottenere la parallela per il punto al segmento dato.
Questo fatto (a fronte di un minore notorietà rispetto alla concorrenza delle altezze di un triangolo) consente di risolvere un problema più generale di quello posto.
Dati un cerchio, una retta e un punto nel piano in posizioni qualsiasi, tracciare la parallela per il punto alla retta data usando solo la riga.