Abbiamo visto come sia il piano inclinato che la carrucola possano servire per misurare un'accelerazione relativamente bassa, attraverso la misura del tempo e dello spostamento, e -di conseguenza- permettano di determinare l'accelerazione di gravità g al suolo, con minore o maggiore precisione. Il fatto stesso che questi due "sistemi" riescano a diminuire l'accelerazione di un corpo, rendendola misurabile, comporta anche il viceversa: accelerazione minore vuol dire forza minore, a parità di massa, e questo li classifica come macchine semplici, capaci di ridurre le forze necessarie a compiere un certo lavoro.

Introducendo le tensioni di una fune, vi avevo promesso esempi più o meno complicati di sistemi composti da piani inclinati e da carrucole varie: essi acquistano particolare importanza proprio perché sono le basi per la costruzione di un numero svariato di "macchine". Anzi, sono proprio loro le due macchine più semplici: leva e piano inclinato. La carrucola sembrerebbe diversa dalla classica leva, ma vedremo che ne è, invece, un classico esempio, sia di primo che di secondo genere.

Il nostro Circolo è ricco di ingegneri che sorrideranno volendo parlare di leve e di macchine, ma spero che abbiano pazienza e comprensione per i meno esperti in meccanica razionale. Un breve richiamo alle leve (e alle macchine semplici) mi sembra, comunque, doveroso.

Ricordiamo brevemente le leve e il loro vantaggio (o svantaggio) nell'essere usate come macchine.  Basterebbe ricordare Archimede e il suo grido: "Datemi una leva e vi solleverò il Mondo!" Aveva ragione? Beh, quasi... se volete divertirvi, calcolate a che distanza avrebbe dovuto trovarsi Archimede per sollevare la Terra, usando la Luna come fulcro della sua leva. Attenzione al numero di zeri e ... buon divertimento!

La leva è una macchina che sfrutta i momenti di una forza che "resiste" e di una che "agisce". L'esempio più classico è l'altalena...

La Fig. 1 riporta schematicamente i tre possibili casi di leva, che si differenziano in base alla posizione delle due forze, rispetto a un punto (fulcro) attorno a cui può ruotare una certa asta rigida.

Partendo dall'alto, troviamo la leva di primo genere: la resistenza si trova all'estremità opposta della trave rispetto alla forza motrice, quella che deve imporre il nostro Archimede, rispetto al fulcro.

Poi abbiamo la leva di secondo genere, dove la resistenza si trova tra la forza motrice e il fulcro.

Infine, vi è la leva di terzo genere, dove  la resistenza e la forza motrice si scambiano la posizione, rispetto al caso precedente.

Non è certo difficile fare esempi usati giornalmente di tutte e tre le leve. Ad esempio, le forbici (1°), lo schiaccianoci (2°) e le pinzette (3°). Tre casi in cui sono sempre presenti  una coppia di leve (Fig. 1bis). Teniamo presente che la forza resistente non è sempre la forza peso, ma può essere la reazione del corpo a un tentativo di deformazione.

Scriviamo una semplice formula che ci permetta di sintetizzare meglio il problema e di valutare quali leve siano vantaggiose e quali no.

Affinché un certa forza motrice equilibri perfettamente una forza resistente è necessario che sia nulla la somma dei momenti delle due forze rispetto al fulcro F (M_m e M_r). In semplici parole matematiche:

M_m - M_r = F_m b_m - F_r b_r = 0

F_m b_m = F_r b_r

Compare il segno meno nella formula, in quanto i due momenti causano rotazioni opposte.

b_m e b_r sono, ovviamente, i bracci delle forze, ossia le distanze tra il punto di applicazione e il fulcro F. Se b_m = b_r, per potere ottenere un momento totale nullo (ossia l'equilibrio) le due forze devono uguagliarsi in modulo.

Nel caso di una "bilancia" si ottiene proprio l'equilibrio e quindi si può misurare il peso di una qualsiasi massa sconosciuta, utilizzando usa serie di contrappesi di massa conosciuta. Uno strumento utilissimo da sempre, ma che diventa una vera macchina quando si vuole sollevare un corpo, come ci insegna l'altalena.

Il vantaggio della leva si determina  leggendo meglio la formuletta precedente, dove mettiamo in evidenza la forza agente:

F_m = F_r b_r/b_m

Data una certa forza resistente F_r, basta aumentare la distanza b_m perché si ottenga l'equilibrio con una forza F_m sempre minore (da cui la celebre leva di Archimede).

Ovviamente, otterremmo un risultato contrario se diminuissimo la distanza b_m:  faremmo sempre più fatica a sollevare il peso F_r. Ne consegue che la leva di primo genere può essere sia vantaggiosa (F_m < F_r) che svantaggiosa (F_m > F_r), sia indifferente (F_r = F_m).

Si definisce proprio vantaggio meccanico il rapporto tra forza motrice e forza resistente (o tra i rispettivi bracci). Se questo rapporto è minore di uno la leva è vantaggiosa; se è maggiore di uno è svantaggiosa; se è proprio uguale a uno la leva è indifferente. Attenzione! Essere indifferente non vuol dire essere inutile.

La carrucola fissa  è proprio una leva di primo genere indifferente, che è, comunque, estremamente utile!

Immaginiamo, in Fig. 2, a sinistra, di voler sollevare un certo peso P (F_r) mediante una fune legata attorno al peso.

Beh... dovremmo, ovviamente, esercitare una forza uguale a P sulla fune. Non è certo facile.  Però, se facessimo passare la fune attorno a una ruota C, a destra, otterremmo una leva di primo grado indifferente: il fulcro è il punto di rotazione della ruota e i bracci dei due momenti sono proprio entrambi uguali al raggio r della carrucola.

L'equilibrio si otterrebbe sempre con una forza F_m esercitata sulla fune uguale a F_r (b_r = b_m = r), ma sarebbe decisamente più semplice tirare la fune verso il basso che non verso l'alto. Anche perché, usando la carrucola, potremmo  sfruttare la nostra  forza peso oltre che la forza muscolare. Ritornando ai casi già visti (QUI e precedenti) abbiamo che la forza agente = forza resistente = tensione della fune.

L'asta della leva di Archimede è diventata una fune e, come già evidenziato negli altri articoli, la costanza della  tensione permette di cambiare la direzione delle forze agenti su di essa. Ciò che conta è il momento risultante che dipende solo dalla forza e dal braccio e non dalla direzione della forza.

Ad esempio, per diminuire la forza necessaria nell'operazione, basterebbe bloccare il capo libero della corda su un cilindro solidale con una ruota più grande e, agendo su quest'ultima, diminuire la forza necessaria al sollevamento del peso, come mostra la Fig. 3.

Siamo di fronte a ciò che prende nome di verricello o argano, a seconda dell'asse di rotazione (verticale o orizzontale, ossia trascinamento o sollevamento). Ovviamente al posto della ruota più grande può essere usato un timone o un pedale, come ben sanno coloro che amano la bicicletta.

Un altro modo per sollevare pesi considerevoli con un minimo sforzo è l'utilizzo della carrucola mobile (paranco) semplice o multipla. Essa è assimilabile a una leva di secondo genere ed è quindi sempre vantaggiosa, dato che la distanza tra la forza resistente F_r e il fulcro F è sempre minore di quella tra lo stesso fulcro e la forza motrice F_m. L'equilibrio si ottiene sempre con una F_m minore di  F_r.

In Fig. 4, a sinistra, schematizziamo una carrucola mobile.

Essa è libera di salire o scendere verticalmente e la fune, prima di avvolgersi attorno a lei, viene fissata al soffitto.

Il peso P = F_r da mantenere in equilibrio (o da sollevare) è sistemato sotto la carrucola. Tale forza si distribuisce, attraverso la tensione della fune, metà a sinistra e metà a destra. La forza motrice F_m pareggia la tensione e, quindi risulta pari alla metà della forza resistente F_r. In altre parole, per tenere in equilibrio il peso basta una forza pari alla metà di esso.

Dicevamo che essa rappresenta una leva di secondo genere ed è abbastanza facile da comprendere il perché. Il fulcro, infatti, si trova  nel punto F, attorno a cui avverrebbe la rotazione della carrucola. Tale rotazione  è dovuta al momento della forza resistente Fr, applicata nel baricentro, moltiplicata per la distanza dal fulcro, ossia il raggio della carrucola r, mentre la forza motrice deve essere moltiplicata per la sua distanza dal fulcro, ossia 2r, diametro della carrucola. L'annullamento del momento totale porta a scrivere:

F_r r = F_m 2r

ossia

F_m = F_r/2

come preannunciato.

Ovviamente, non è certo semplice agire con una forza che tira verso l'alto, per cui si inserisce una seconda carrucola fissa (Fig. 4, a destra), che, come già visto, non comporta nessun vantaggio meccanico, ma aiuta di molto nell'applicazione della forza al capo libero della fune.

Notiamo in Fig. 5, a sinistra, che la situazione può ripetersi più volte, aggiungendo altre carrucole mobili.

Ogni carrucola mobile riduce della metà la forza motrice necessaria all'equilibrio, per cui il vantaggio meccanico cresce al crescere delle carrucole mobili. Ma, allora, si potrebbero usare N carrucole e basterebbe una piccolissima forza... Ciò è ovviamente vero, ma la macchina serve solitamente a sollevare un peso e non soltanto a tenerlo in equilibrio. E qui casca l'asino. Se volessi sollevare il peso di 10 metri e avessi a disposizione 100 carrucole mobili, dovrei tirare la corda di ben 10 · 100 = 1000 metri! Sarebbe un po' come costruire la leva di Archimede per sollevare la Terra... In poche parole, ciò che si guadagna in forza si perde in lunghezza di sollevamento! La Fig. 5, a destra, mostra ciò che capita, tenendo ben presente che la fune è inestensibile e deve mantenere sempre la stessa lunghezza tra punto di ancoraggio iniziale A e punto in cui applicare la forza motrice F_m.

Sollevare il peso di 1 tratto azzurro significa diminuire la lunghezza della fune di 4 tratti azzurri. Questi 4 tratti non possono certo scomparire e devono essere aggiunti alla fine della fune per mantenere costante la sua lunghezza totale.

Sembrerebbe che si possa solo dividere per un numero pari. Ma non è così, dato che un sistema come quello di Fig. 6, a sinistra, comporterebbe una riduzione di 1/3 della forza motrice rispetto al peso.

Il sistema risulta molto più compatto e si può utilizzare anche per riduzioni di un numero pari (a destra). E' facile valutare il fattore di riduzione della forza motrice contando il numero di volte che la fune arriva sulla/e carrucola/e mobile/i. Notiamo, inoltre, che il capo della fune su cui imporre la Fm può inclinarsi rispetto alla verticale, come ci ha già insegnato la tensione di una fune.

Ovviamente, potrei sempre scegliere di tirare la fune da un punto più in alto (come tentava di fare la scimmietta) e quindi non conservare la sua lunghezza complessiva. In realtà, si può inserire alla fine della fune un verricello che avvolga la corda. Anzi, quest'ultima "intrusione" permetterebbe di guadagnare ancora un po' di forza motrice, dato che avvolgeremmo la corda attorno a un cilindro solidale con una ruota più grande, dove poter applicare la nostra forza muscolare.

Le leve di terzo genere sono forse meno usate, dato che sono sempre svantaggiose, ma non per questo meno utili. Pensiamo alle pinze per prendere il ghiaccio o spostare le legna in un caminetto.

Praticamente,  tutti gli strumenti casalinghi o gli attrezzi di lavoro, più o meno sofisticati, sono delle macchine sia  semplici che composte da macchine semplici unite assieme.  Guardiamoci attorno e vediamo di scoprire che tipo di leve stiamo usando. Datemi una leva e ...

Concludiamo questo articolo estremamente semplice e didattico (per molti forse anche prolisso), passando al piano inclinato, inteso come macchina semplice. La sua utilità è indubbia e basterebbe pensare alla costruzione delle piramidi egizie per averne la dimostrazione.

Vogliamo nuovamente sollevare un peso, per portarlo dal livello del suolo a una certa altezza h. Basta farci aiutare dalla reazione del piano inclinato e applicare un minimo di trigonometria, come mostra la Fig. 7.

A sinistra, solleviamo il peso che, a causa della gravità, impone una resistenza Fr. Per tenerlo in equilibrio ad una altezza h dobbiamo, ovviamente, contrapporre una forza motrice Fm uguale e contraria.

A destra, utilizziamo il piano inclinato... La resistenza Fr si può scomporre in due componenti: Fr cos a e Fr sin a. La componente Fr cos a viene pareggiata dalla reazione del piano e, quindi, a noi rimane solo , per imporre l'equilibrio, di imporre una forza motrice uguale e contraria a Fr sin a. Più l'angolo è piccolo e minore è la forza motrice necessaria. Ovviamente, per sollevare il peso basta che la Fm sia superiore a Fr sin a. Il vantaggio è assicurato anche se, ancora una volta, va a scapito del tempo necessario all'operazione e alla lunghezza s del piano inclinato da dover percorrere.

Infatti, al posto di sin a possiamo scrivere h/s e ottenere la relazione:

h = s sin a

sin a = h/s

Fm = Fr h/s

Ovviamente, invece di spingere (o tirare) direttamente il peso si può usare una fune e collegarla ad un argano come fatto precedentemente.

Bene, abbiamo ormai preso dimestichezza con leve, piani inclinati, tensioni di una fune e macchine semplici, in genere, possiamo perciò costruire sistemi e /o macchine di cui calcolare i parametri fondamentali dell'equilibrio e del moto.