Abbiamo da poco visto come il limite elastico della materia possa in parte imporre dei limiti all'altezza di una montagna. Abbiamo anche studiato le funi ideali, considerate inestensibili. Sembra il momento giusto per parlare di forza elastica e del moto da essa causato.

Forza elastica e legge di Hooke

Che cosa si intende per forza elastica? Essa è una forza che si oppone alla deformazione di un oggetto e tende a ristabilire la condizione dell'oggetto a riposo, ossia  la condizione di equilibrio.

Per potere eseguire questa azione la molla deve far nascere una forza, uguale e contraria alla forza esterna applicata, diretta, perciò, in verso opposto, lungo la direzione della deformazione subita. L'oggetto emblematico per studiare la forza elastica è sicuramente la molla, che, sottoposta a una forza esterna di allungamento o di contrazione, immagazzina energia potenziale in modo che, annullata la forza esterna, possa ritornare alle condizioni iniziali di equilibrio restituendo il lavoro svolto per la deformazione. Questa forza viene descritta dalla legge di Hooke e nasce dal terzo principio della dinamica che dice chiaramente come ogni forza debba dar luogo a una forza uguale e contraria. Se agisco su un corpo con una certa forza causando una deformazione, il corpo deve reagire imponendo una forza uguale e contraria su chi applica la forza.  Ovviamente, vi è un limite massimo della forza esterna applicabile, altrimenti si può ottenere una deformazione permanente.  Se la molla torna perfettamente alle condizioni iniziali si parla di molla ideale rigida elastica.

Per quanto detto è facile scrivere la legge:

F_el = - k x

x è la deformazione della molla rispetto alla posizione di equilibrio posta a x = 0, misurata lungo l'asse x della forza esterna, mentre k è un parametro tipico della molla (coefficiente elastico) e misura la capacità della molla di tornare nelle condizioni di equilibrio.  Il segno meno è fondamentale, in quanto ci dice che la forza elastica è diretta SEMPRE in verso contrario alla posizione di partenza nel momento in cui si smette di applicare la forza esterna. Da quanto scritto si evince che la forza elastica non è una forza costante, ma varia linearmente con l'allungamento (o la contrazione) subita.

E' facile notare come tale forza agisca in modo simile alla gravità, nelle montagne russe. Se portiamo in alto il carrello esso scende sotto l'azione della forza peso, acquistando velocità ed è in grado di proseguire nella successiva salita, raggiungere la stessa altezza della partenza e invertire il movimento. In mancanza di attriti il moto sarebbe continuo. Così la nostra molla, allungata da una forza esterna che è simile a quella che ha portato il carrello in alto, ad altezza d, una volta libera di muoversi spontaneamente si contrae fino a passare per la posizione di equilibrio, per poi continuare fino a una distanza pari a - x e così via... O, se preferite, basta pensare al pendolo, lasciato in balia della forza di gravità. Quello che faceva la forza di gravità sul carrello, sulla molla viene fatto dalla forza elastica. Questa grande somiglianza fa già intuire che il moto risultante sia proprio quello armonico semplice.

La Fig. 1 ci mostra la molla in azione.

In (a) abbiamo una certa massa M, in condizioni di riposo della molla (x = 0) . In (b) viene allungata fino a una lunghezza + x, sotto l'azione della forza esterna a cui si oppone con una forza uguale e contraria F_el. Annullando la forza esterna (c), la molla si contrae e raggiunge la posizione di equilibrio(d) con una certa velocità tale da costringerla a continuare nella contrazione fino a un valore - x (e) e, quindi, tornare indietro.

Moto armonico semplice

E' estremamente importante e interessante studiare questo moto nei dettagli e, in particolare, le leggi con cui variano la posizione, la velocità e l'accelerazione della massa M.

Per far ciò si deve "costruire" un'equazione  che leghi le varie grandezze con il tempo. Da un lato sappiamo che la forza F_el vale - k x, ma dall'altro  sappiamo anche che vale la seconda legge di Newton, ossia una forza è uguale alla massa moltiplicata per l'accelerazione. Possiamo scrivere, perciò:

F_el = M a = - k x

k si misura, ovviamente, in Newton su metro

Ma l'accelerazione di x non è altri che la derivata seconda di x rispetto al tempo, ossia:

M d²x/dt² = - kx

d²x/dt² + k x/M = 0

Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine. Esistono vari modi per risolvere le equazioni differenziali che potrebbero essere usati, ma in questo caso basta ragionare e farsi guidare dalla logica. Vogliamo determinare una funzione x(t) che abbia la derivata seconda uguale alla funzione stessa, cambiata di segno.

Una funzione perfetta per questo scopo è quella sinusoidale, la stessa che descrive il moto armonico semplice come  proiezione del raggio vettore nel moto circolare uniforme.   Ponendo come condizione iniziale quella di massimo allungamento A , possiamo usare il coseno, dato che esso vale 1  all'istante t = 0. Risulta, in analogia con il moto armonico già studiato:

x(t) = A cos (wt)

dove A è l'ampiezza della sinusoide (o cosinusoide per essere esatti) e w è la velocità angolare o meglio la pulsazione (w = 2π/T), chiamando T il periodo di oscillazione. Vogliamo ora verificare se questa funzione soddisfa pienamente l'equazione differenziale

d²/dx²(A cos (wt)) = d/dx (- wA sin(wt)) = - w² A cos(wt)

L'equazione è soddisfatta, a patto che:

w² = k/M

La legge oraria del moto risulta quindi essere:

x(t) = A cos(√(k/M) t)

La pulsazione è legata al periodo di oscillazione da:

w = 2π/T

per cui il periodo T dell'oscillazione vale:

T = 2π/w = 2π√(M/k)

Notiamo che il periodo non dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, ma solo dalla massa M (e dal coefficiente k). Se la molla viene allungata di più è vero che lo spazio che deve percorrere è maggiore, ma risulta anche maggiore la forza F_el e, quindi, l'accelerazione della massa M. I due effetti si compensano completamente.

N.B.: Nel caso del moto del pendolo semplice, la forza Fel è sostituita, come forza di richiamo, dalla forza di gravità e il coefficiente di elasticità della molla diventa Mg/L

k = F_el/x = Mg/L

dove L è la lunghezza del filo

Da cui si ottiene la ben nota formula del periodo del pendolo per piccole oscillazioni:

T = 2π √(M/k) = 2π √(M L/Mg) = 2π√(L/g)

Confermata la legge oraria è facile ricavare la velocità e l'accelerazione della molla.

v = dx/dt = - A w sin(wt)

Ovviamente, è anch'essa una sinusoide sfasata di π/2 rispetto alla legge oraria. Quando la posizione è alla sua massima elongazione, la velocità è uguale a zero. Lasciata libera la molla, essa passa per la configurazione di equilibrio, dove x = 0 e la velocità raggiunge il massimo valore. Dopo di che l'elongazione cresce nuovamente in segno negativo (contrazione), fino a che la velocità torna a zero. Poi tutto si ripete...

Analogo discorso vale per l'accelerazione:

a = dv/dt = - A w² cos(wt)

Nel momento del rilascio della molla l'accelerazione ha il suo valore massimo con segno opposto al verso dell'elongazione subita. L'accelerazione si annulla nella condizione di equilibrio per poi ritornare al suo massimo valore quando la molla si contrae completamente. La Fig. 2 mostra le tre oscillazioni: posizione, velocità e accelerazione in funzione del tempo.

Energia potenziale elastica

Portando la molla alla sua massima elongazione abbiamo svolto un certo lavoro, ossia la molla ha immagazzinato dell'energia che rilascia tornando verso la condizione di equilibrio. Quando giunge in questa configurazione, però, ha sì speso quell'energia, ma, intanto, ha acquistato energia cinetica che la fa proseguire verso la contrazione. E' qualcosa di analogo a ciò che succede per la gravità, quando solleviamo un peso rispetto al suolo, considerato come posizione di equilibrio.

Nel caso della gravità basta ricordare che il lavoro svolto è pari alla forza moltiplicata per lo spostamento. Teoricamente, dovremmo calcolare l'integrale di F dx nell'intervallo tra i due valori estremi. Essendo la forza una costante (Mg), F esce dall'integrale che risulta essere soltanto uguale a x iniziale meno x finale, ossia proprio uguale all'altezza h totale. L'energia risulta quindi pari  semplicemente a Mgh (considerando, ovviamente, g costante).

Nel caso della molla la faccenda è leggermente più complicata, dato che la forza F_el non è una costante, ma varia al variare di x. Per calcolare il lavoro basta, comunque, integrare la forza moltiplicata e si ottiene, per l'energia potenziale, immagazzinata in funzione della posizione x:

U_el = ∫_o^x x h F dx = ∫_o^x k x dx = 1/2kx²

In ogni posizione della molla abbiamo, perciò, due energie in gioco: quella cinetica che è pari a 1/2 mv² e quella potenziale che vale K_el = 1/2 kx².

Conservazione energia totale

Possiamo dire che l'energia si conserva? Sicuramente sì. Basta solo ricordarsi i valori ottenuti per x(t) e v(t).

E_tot = U_el + K_el = 1/2 k (A cos (wt))²  + 1/2 M(- A w sin(wt))² = 1/2 A²k cos²(wt) + 1/2 A²Mw² sin²(wt)

Ricordiamoci quanto vale w ...

w² = k/M

E_tot  = 1/2 kA²cos²(wt) + 1/2 A²M (k/M) sin²(wt) = 1/2 kA²

L'energia risulta essere costante e dipende solo dal coefficiente k e dall'elongazione massima.

Analogamente a quanto capita per il carrello delle montagne russe, quando è nulla l'energia cinetica risulta massima l'energia potenziale si annulla e viceversa. L'unica differenza sostanziale è che anche l'energia potenziale varia col quadrato di x. Possiamo mettere in grafico  le due energie nel piano energia- spazio x.

L'energia potenziale è massima (pari all'energia totale)  per x = A  e x = - A. Diventa zero per x = 0. La funzione è quindi una parabola con la concavità rivolta verso l'alto. Come posiamo rappresentare il grafico dell'energia cinetica, dove non compare x, ma solo v? Molto facile, sapendo che K_el = E_tot - U_el, ossia  Kel = 1/2 A²k - 1/2k x². Quando x vale + A o - A l'energia si annulla, mentre  è massima  quando x = 0 (pari all'energia totale). L'andamento è nuovamente parabolico con concavità invertita, come mostra la Fig. 3.