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Tags: età media numeri case
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:7
(Q) Dai numeri delle case all'età di un abitante **/***
Vari metodi per giungere alla soluzione... trovate il più rapido ed elegante.
L'abitazione del signor X si trova su una strada in cui le case sono numerate consecutivamente da 1 a N, con N>2.
Oggi è il suo compleanno e, per gioco, decide di calcolare la media dei numeri di tutte le case tranne la sua e aggiungere la sua età a tale media. Il risultato è uguale a 20.16.
Sapete dirmi quanti anni ha compiuto il signor X?
7 commenti
È bravo il ragazzino, infatti ha 7 anni ed abita al nr 22. Per la spiegazione mi serve un po' di tempo...
Una proposta sotto in bianco
Le N-1medie possibili, per un dato N, sono i numeri N/2+k/(N-1) con k ={1,2,…, N-1}.
Per N pari, il problema ha soluzione se per qualche k, k/(N-1)=0,16.
Questa condizione si può riscrivere come 25*k= 4*(N-1) essendo 4 e 25 coprimi, vuol dire che k è un multiplo di 4 e N-1 un multiplo di 25.
Vediamo un po' alcuni casi
K | N-1 | N
4 | 25 | 26
8 | 50 | 51
12| 75 | 76
Il caso k=4 ed N = 26 porta alla soluzione N/2+k/(N-1)=13+0,16 per cui l’età è 7 anni.
Tutti gli altri valori non vanno bene perché la media supererebbe il valore di 20,16
Per N dispari, poi ci penso ...
La media nei numei civici escluso il suo (detto c) è
[ n(n+1)/2 -c] / (n-1)
a questa sommo l'età X ed uguaglio a 10.16 in forma frazionaria e numeri primi
[ n(n+1)/2 -c] / (n-1) + X = 2^3 3^2 7 / 5^2
pongo m=n-1 e moltiplico tutto per 2m
n(n+1) -2c +2 m X = 2^3 3^2 7 / 5^2 * 2m
la somma deve fornire un numero intero divisibile per 5^2 per cui m deve annullare il denominatore m = 5^2 =25
Segue n = 26 , sostiuendo:
26 * 27 - 2c + 50 X = 1008
da cui
50 X = 2c+1008 -702
c= 25 X - 153
ma essendo tutti interi, e c <= 26 , si ha che l'unico numero valido per X è
X = 7 , infatti 25 * 7 - 153 = 22 , che è minore del numero dei civici ( 26).
sotto in bianco la secodna parte
Per N dispari poniamo N=2h+1, bisogna imporre che la parte decimale di (2h+1)/2 + k/2h sia 0,16.
Questo comporta che k/(2h) = 0,66 cioè 25*k = 33*h per cui h deve essere multiplo di 25 ma questo va fuori dai vincoli del problema.
Riassemblato il tutto, con qualche dettaglio in più.
Le N-1medie possibili, per un dato N, sono i numeri N/2+k/(N-1) con k ={1,2,…, N-1} (*)
Per N pari, il problema ha soluzione se per qualche k, k/(N-1)=0,16.
Questa condizione si può riscrivere come 25*k= 4*(N-1) essendo 4 e 25 coprimi, vuol dire che k è un multiplo di 4 e N-1 un multiplo di 25.
Vediamo un po' alcuni casi
K | N-1 | N
4 | 25 | 26
8 | 50 | 51
12| 75 | 76
Il caso k=4 ed N = 26 porta alla soluzione N/2+k/(N-1)=13+0,16 per cui l’età è 7 anni.
Tutti gli altri valori non vanno bene perché la media supererebbe il valore di 20,16
Per N dispari poniamo N=2h+1, bisogna imporre che la parte decimale di (2h+1)/2 + k/2h sia 0,16.
Questo comporta che k/(2h) = 0,66 cioè 25*k = 33*h per cui h deve essere multiplo di 25 ma questo va fuori dai vincoli del problema.
(*) Per dare qualche dettaglio in più, si consideri la sequenza 1,2, …, N (N1)
la media più grande tra quelle con un termine in meno della sequenza (N1) è quella con il primo termine mancante: 2,3, ….,N.
Questa media vale (N+2)/2 = N/2+1.
La media più piccola si ha quando manca l’ultimo termine.
Questa media vale N/2.
Indico adesso con S(k) la somma della sequenza dove manca il termine k-esimo.
In generale vale che S(k+1) = S(k) – 1.
Dividendo tutto per (N-1) si ottiene che M(k+1) = M(k) -1/(N-1), con intuitivo significato dei simboli.
EC.
Le N-1medie possibili, per un dato N, sono i numeri N/2+k/(N-1) con k ={1,2,…, N-1} (*)
diventa
Le N medie possibili, per un dato N, sono i numeri N/2+k/(N-1) con k ={0, 1,2,…, N-1} (*)
Propongo un metodo di risoluzione parzialmente alternativo.