Sappiamo molto bene quanto siano utili le funzioni trigonometriche e come siano strettamente collegate tra loro. Non abbiamo mai parlato, però, in dettaglio, delle equazioni che ne possono derivare, ossia di quelle equazioni in cui l’incognita compare come argomento di una funzione trigonometrica,  e di come si possano risolvere. Vi sono vari livelli di complessità e iniziamo a definire velocemente il caso più semplice.

Presto fatto:

sin(x) = m

L'incognita è, ovviamente, la x. Dato il valore della funzione seno, si chiede di determinare l'angolo a cui corrisponde. Trattiamo solo il caso del seno, ma è facile intuire che analogo discorso vale per le altre funzioni. Il modo più rapido è senza dubbio quello di utilizzare una calcolatrice che regala immediatamente il risultato, ossia il valore dell'arcoseno, la funzione inversa del seno.

Facciamo finta di non avere una calcolatrice e di agire in modo grafico. La prima cosa da fare è vedere se esistono soluzioni reali. Sappiamo, infatti, che la funzione seno varia tra 1 e -1, per cui se m fosse più grande o più piccolo l'equazione non sarebbe risolvibile. Ammettiamo che m sia, ad esempio, uguale a 1/2. L'equazione diventa:

y = sin(x) = 1/2

Cerchiamo l'angolo che ha per seno 1/2, ossia cerchiamo l'arcoseno di 1/2.  Disegniamo il cerchio goniometrico di raggio 1 e tracciamo la retta y = 1/2 (Fig. 1).

Le intersezioni dl cerchio con la retta sono due, proprio quelle identificate dai punti P e Q, dato che entrambi hanno per ordinata proprio 1/2. A partire dall'asse x, andando in senso antiorario,  tracciamo l'angolo tra questo asse e la congiungente il centro O con il primo punto P. Questo angolo è proprio una delle x che soddisfano l'equazione. E' facile ricordare che questo angolo è uguale a 30°, ossia a π/6. La seconda soluzione si ha nel punto Q, corrispondente a un angolo di π - π/6 = 5π/6. Le soluzioni sono sempre due, tranne il caso in cui la y valga proprio 1 oppure - 1, il che comporta solo x = π/2 e solo x = - π/2 (3π/2), rispettivamente.

Non arrabbiatevi se abbiamo richiamato concetti decisamente fin troppo semplici. Era bene stabilire  la situazione più elementare, in modo da potere descrivere senza problemi un metodo per determinare la soluzione di equazioni lineari in cui compaiano sia sin(x) che cos(x), ossia, qualcosa del tipo:

a sin(x) + b cos(x) = m

In particolare, vogliamo descrivere il metodo dell'angolo aggiunto. Non è l'unica via possibile, ma spesso è la più rapida.

Ciò che si deve fare è trasformare la funzione di sinistra in qualcosa di simile al caso più semplice, in cui sia presente solo il seno. Ossia scrivere:

a sin(x) + b(cos(x) = R sin(x + θ)

Abbiamo aggiunto l'angolo θ e inserito un coefficiente R in modo che l'equazione di partenza si trasformi nella classica equazione elementare con una sola funzione trigonometrica.  Dobbiamo dimostrare che i due membri sono uguali per particolari valori di R e θ che si determinano facilmente. Per far ciò, ricordiamo la formula di addizione del seno:

R sin(x + θ) = R sin (x) cos(θ) + R cos(x) sin(θ)

Ma il secondo membro è uguale alla nostra funzione di partenza assumendo:

R cos (θ) = a                   .... (1)

R sin (θ) = b

Facendo il rapporto determiniamo subito la tangente dell'angolo aggiunto θ:

tan(θ) = b/a

mentre quadrando e sommando le (1) ricaviamo facilmente R:

R²cos²(θ) + R²sin^2₍θ) = a² + b²

R = √(a² + b²)

Ovviamente, R è sempre positivo.

Abbiamo determinato tutto ciò che è necessario? In realtà non ancora, dato che abbiamo soltanto la tangente dell'angolo e tale valore può essere ottenuto sia nel primo che nel terzo quadrante o sia nel secondo che nel quarto. Tuttavia, noi possiamo stabilire quale vogliamo, guardando i segni di a e b, ossia i segni del seno e del coseno. Ad esempio, una tangente positiva corrisponde a un arcotangente θ minore di π/2 (primo quadrante) se a e b sono entrambi positivi, mentre corrisponde a π + θ se sono entrambi negativi (terzo quadrante).

Dopo aver stabilito il valore di θ e quello di R, la faccenda diventa banale, dovendo risolvere un'equazione semplice con un solo seno:

R sin (x + θ) = m

con R e θ noti.

Per cui, ci siamo ricondotti al caso banale in cui:

sin(x + θ) = m/R

La conoscenza di m/R permette di calcolare i valori degli angoli che hanno m/R come seno (sempre che esistano), ossia i valori di (x + θ) e quindi di x. Ovviamente, alle soluzioni va sempre aggiunto 2kπ, con k intero, dato che il seno ha periodo 2π.

Facciamo un esempio e tutto risulterà più chiaro...

√3 sin(x) + cos(x) = √3

L'angolo aggiunto θ si ottiene dal rapporto dei due coefficienti a e b

tan θ = b/a = 1/√3

b e a sono entrambi positivi per cui l'angolo θ sta nel primo quadrante ed è quello la cui tangente vale 1/√3 ossia π/6

Determiniamo anche R:

R = √(3 + 1) = 2

L'equazione diventa, quindi:

2 sin(x +π/6) = √3

sin(x + π/6) = √3/2

per cui si hanno le due possibilità:

x₁ + π/6 = π/3 + 2kπ

x₂ + π/6 = 2π/3 + 2kπ

x₁ = π/3 - π/6 + 2kπ = π/6 + 2kπ

x₂ = 2π/3 - π/6 + 2kπ = 3π/6 + 2kπ = π/2 + 2kπ

Il metodo risulta, quindi, molto semplice e utile, a patto di stare bene attenti alla tangente e al suo quadrante.

Tuttavia, la conoscenza delle formule trigonometriche permette di risolvere anche casi dall'aspetto più complicato, ma riconducibili a quello appena descritto.

QUIZ FACOLTATIVO

Determinare l'angolo x per cui vale l'equazione:

2√3 cos²(x) + 2 sin(x) cos(x) = √3 - 1

Provate a farlo da soli e poi lo svolgeremo insieme...

 

SOLUZIONE

L'equazione sembra ben distante da quella che abbiamo appena imparato a risolvere. E' necessario, perciò, ricordare alcune formule relative alle funzioni trigonometriche. In particolare, quelle di duplicazione...

Partiamo da quelle ben note di addizione del seno:

sin(a + b) = sin (a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Poniamo a = b e otteniamo:

sin(2a) = sin(a) cos(a) + cos(a) sin(a) = 2 sin(a) cos(a)

Essa permette di scrivere una funzione in seno e coseno come semplice funzione in seno dell'angolo doppio (formula di duplicazione del seno). La nostra equazione ha un termine di questo genere che può quindi essere scritto come

 2 sin(x) cos(x) = sin(2x) 

Utilizziamo, adesso, la formula di addizione del coseno:

cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) cos(b)

per a = b

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

che è la formula di duplicazione del coseno.

Modifichiamola un po', ricordando che  sin²(a) = 1 - cos²(a)

cos(2a) = 2 cos² (a) - 1

cos²(a) = (cos(2a) + 1)/2

Al posto di cos²(x), possiamo, perciò, scrivere:

cos²(x) = (cos(2x) + 1)/2

Ne segue che l'equazione di partenza diventa:

sin(2x)  + 2√3(cos(2x) + 1)/2 = √3 - 1

sin(2x)  + √3 cos(2x) + √3 + = √3 - 1

 sin(2x) + √3 cos(2x) =  - 1

A questo punto, possiamo scrivere l'equazione risolvente in cui compare solo il seno di 2x.

R sin(2x + θ) = -1

Dove:

tan (θ) =b/a = √3

L'angolo che ha per tangente √3 è π/3, ossia sta nel primo quadrante dato che sia il seno che il coseno sono positivi.

θ = π/3 

e R risulta:

R = √(a² + b²) = √(1 + 3) = 2

2 sin(2x + π/3) = - 1

sin(2x + π/3 ) = - 1/2

Gli angoli che hanno per seno - 1/2  si ricavano facilmente anche utilizzando il cerchio goniometrico e sapendo che sin(π/6) = 1/2 (Fig. 2). Gli angoli sono 7π/6 e 11π/6.

2x₁ + π/3 = 7π/6 + 2k π

2x₂ + π/3 = 11π/6 + 2k π

 

2x₁  = 7π/6 - π/3+ 2kπ  = 5π/6 + 2kπ

2x₂  = 11π/6 - π/3+ 2kπ = 3π/2 + 2kπ

 

x₁ = 5π/12 + kπ

x₂ = 3π/4 + kπ

Verifichiamo che le soluzioni siano corrette:

2√3 cos²(x) + 2 sin(x) cos(x) = √3 - 1·

sin(x₁) = 0.9659

cos(x₁) = 0.2588

cos²(x₁) = 0.0670

2 · 1.7321 · 0.0670 + 2 · 0.9659 · 0.2588 = 1.7321 - 1

0.7321 = 0.7321

 

sin(x₂) = 0.7071

cos(x₂) = - 0.7071

cos²(x₂) = 0.5

2 · 1.7321 · 0.5 - 2 ·0.7071 · 0.7071 = 1.7321 - 1

1.7321 - 1 = 1.7321 - 1