In un recente articolo abbiamo mostrato come risolvere un'equazione trigonometrica lineare in seno e coseno attraverso il metodo dell'angolo aggiunto. In realtà, mi sono accorto che non abbiamo mai trattato molte formule trigonometriche, molto utili per la soluzione di questo tipo di problematica e non solo. Ci siamo, infatti, limitati alle formule di addizione e sottrazione degli angoli e, parzialmente  di duplicazione. Vediamo di prendere due piccioni con una fava e allargare il discorso in modo da avere una visione più chiara delle relazioni che legano tra loro il seno, il coseno e la tangente.

Formule di duplicazione

Innanzitutto, completiamo il formulario relativo alla duplicazione trattando i casi del coseno e della tangente.

Partiamo da:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)   (formula di addizione del coseno)

Inseriamo a al posto di b:

cos(2a) = cos(a)cos(a) - sin(a)sin(a)

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)                        .... (1)

la stessa formula può anche scriversi in due modi leggermente diversi:

ricordiamo che

sin²(a) + cos²(a) = 1

per cui:

sin²(a) = 1 - cos²(a)

sostituendo

cos(2a) = cos²(a)  - 1 + cos²(a)

cos(2a) = 2 cos²(a) - 1                            .... (2)

Oppure, inserendo  il coseno in funzione del seno:

cos(2a) = 1 - 2 sin²(a)                                .... (3)

Per ricavare la formula di duplicazione della tangente, conviene eseguire il rapporto tra il seno e il coseno che abbiamo appena ricavato:

tan(2a) = sin(2a)/cos(2a) = 2 sin(a)cos(a)/(cos²(a) - sin²(a))

dividiamo numeratore e denominatore per cos²(a) e semplifichiamo ...

tan(2a) = 2 tan(a)/(1 - tan²(a))        .... (4)

Formile parametriche

Siamo pronti per introdurre le formule parametriche che ci permettono, anch'esse, di risolvere le equazioni lineari in  seno e coseno. Quando abbiamo utilizzato l'angolo aggiunto abbiamo fatto in modo che venisse eliminata una delle due funzioni (in quel caso il coseno), riconducendoci così alla risoluzione più elementare nel solo seno. Questa volta, invece, trasformiamo sia il seno che il coseno nella funzione tangente, riconducendoci, così, nuovamente a una sola funzione trigonometrica.

In particolare, cerchiamo di scrivere sin(a) e cos(a) in funzione di tan(a/2).

Iniziamo con lo scrivere la formula di duplicazione del seno

sin(2a) = 2 sin(a)cos(a)

sappiamo che

sin²(a) + cos²(a) = 1

per cui possiamo scrivere:

sin(2a) = 2 sin(a)cos(a)/(sin²(a) + cos²(a))

Dividiamo numeratore e denominatore per cos²(a)

sin(2a) = 2 tan(a)/(1 + tan²(a))

A questo punto basta dividere l'angolo per due:

sin(a) = 2 tan(a/2)/(1 + tan²(a/2))                   .... (5)

In modo analogo possiamo trattare il cos(2a):

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

cos(2a) = (cos²(a) - sin²(a))/(sin²(a) + cos²(a))

dividere per cos²(a)

cos(2a) = (1 - tan²(a))/(tan²(a) + 1)

cos(a) = (1 - tan²(a/2))/(tan²(a/2) + 1)                           .... (6)

Concludiamo, ponendo per semplicità di scrittura

t = tan(a/2)

sin(a) = 2t/(1 + t²)                                                        ... (7)

cos(a) = (1 - t²)/(1 + t²)

Le (7) sono le formule trigonometriche che cercavamo e che permettono di risolvere equazioni lineari inserendo t al posto di seno e coseno.

L'assunzione di partenza, ossia tan(x/2) = t  può essere praticata solo se

x/2 ≠ π/2 + kπ     (k intero)

dato che se valesse l'uguaglianza la tangente andrebbe a infinito. Ciò vuole dire che il caso x/2 =π/2 + kπ potrebbe anche essere una soluzione che, però, va verificata in modo indipendente e non attraverso le formule parametriche.

In altre parole, prima di iniziare con la sostituzione va verificato se

x = 2(π/2) + 2kπ = π + 2kπ

Se ciò è verificato, tale valore di x rimane, comunque, una soluzione della nostra equazione, che non può essere trovata attraverso le formule parametriche.

Facciamo subito un esempio e risolviamo la seguente equazione:

√3 sin(x) + 3 cos(x)+ 3 = 0

poniamo

tan(x/2) = t

e ricordiamo i valori del seno e coseno

sin(x) = 2t/(1 + t²)

cos(x) = (1 - t²)/(1 + t²)

Prima di procedere, dobbiamo verificare se la soluzione x = π + 2kπ soddisfi oppure no l'equazione...

√3 sin(π + 2 kπ) + 3 cos(π+ 2 kπ) + 3 = 0

√3(0) 0 + 3 (-1) + 3 = 0

-  3 = - 3

perfetto x = π + 2kπ è una (o meglio "infinite") soluzione.

Vediamo se ve ne sono altre, applicando le formule parametriche. Aspettiamoci un'espressione piuttosto laboriosa.

√3 sin(x) + 3 cos(x) + 3 = 0

√3 2t/(1 + t²) +3 (1 - t²)/(1 + t²)

Attraverso passaggi algebrici un po' noiosi e qualche semplificazione perveniamo alle seguente equazione:

2√3 t + 6 = 0

t = -√3

Ossia, troviamo che:

tan(x/2) = -√3

L'angolo x/2 che ha per tangente -√3 risulta essere 2π/3 + kπ, per cui:

x/2 = 2π/3 + kπ

x = 4π/3+ 2kπ

A questa soluzione va aggiunta quella che abbiamo ricavato all'inizio, ossia:

x = π + 2kπ

Proposta di esercizio 1:

Provate a risolvere la stessa equazione utilizzando il metodo dell'angolo aggiunto.

Il cerchio goniometrico

Introduciamo un terzo metodo per la soluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, notando che l'equazione

a sin(x) + b sin(x) + c = 0

ha due incognite, il seno e il coseno. Potremmo pensare di risolverla utilizzando una seconda equazione in seno e coseno e fare sistema. Ma quale equazione usare? Beh... ne abbiamo sempre una a disposizione, quella che deriva dalla formula fondamentale:

sin²(x) + cos²(x) = 1

Basta porre Y = sin(x)  e X= cos(x) per ottenere un sistema di due equazioni in due incognite, che possiamo risolvere facilmente. Un sistema che diventa

aX + bY + c = 0

X² + Y² = 1

Ragioniamo "graficamente"...

La prima equazione è quella che descrive una retta nel piano X,Y; la seconda descrive, invece, una circonferenza di raggio 1. Le soluzioni del sistema  rappresentano  proprio le intersezioni tra la retta e la circonferenza, come mostra la Fig. 1.

La retta è facilmente tracciabile, ponendo X = 0 e trovando la Y corrispondente e fare altrettanto ponendo Y = 0 e trovando la X corrispondente (retta per due punti). Altrettanto immediata è la costruzione del cerchio di raggio 1. Le due intersezioni sono P(X1,Y1) e Q(X2,Y2). Ma, sappiamo che:

X1 = cos(x1)

Y1 = sin(x1)

e

X2 = cos(x2)

Y2 = sin(x2)

Conoscendo sia il seno che il coseno dei due angoli x1 e x2 è facile calcolare gli angoli x1 e x2.

Potremmo, ovviamente, avere due soluzioni reali, una soluzione(retta tangente) o nessuna. L'algebra elementare ci permette di risolvere facilmente il sistema e determinare le due incognite X e Y, dato che ci siamo trasportati nei casi di equazioni lineari elementari, dove in ognuna compare solo il seno o il coseno. Ovviamente, la conoscenza del coseno permetterebbe di avere ancora due possibili valori dell'angolo, ma la conoscenza del seno individua il giusto quadrante. Ciò si deve fare sia per X1,Y1 che per X2,Y2.

Proposta di esercizio 2:

Risolvere la stessa equazione precedente, ossia:

√3 sin(x) + 3 cos(x) + 3 = 0

e verificare che si ottengono gli stessi risultati del metodo parametrico e dell'angolo aggiunto.