Fabry e Sprmnt21 hanno risolto il problema, emulando Pippo e Pappo. Di seguito riporterò, comunque, una soluzione un po' diversa, spiegandola passo dopo passo.

Utilizziamo un caso semplice (N = 3) per descrivere una strategia vincente...

Ovviamente, se io volessi scrivere i miei 6 numeri in modo qualsiasi non avrei problemi, dato che potrei utilizzare la distribuzione che segue:

1 2 3 1 2 3

Il risultato non è corretto. Infatti, ciò che si vuole ottenere è che non solo si riempiano esattamente le sei caselle a disposizione, ma anche che sia rispettata la regola delle distanze tra i numeri. La coppia di numeri uguali deve essere separata da un numero di caselle pari allo stesso numero.

Per visualizzare meglio la situazione, scriviamo le coppie di numeri nel caso N = 3, scrivendo x al posto delle caselle che devono essere riempite da numeri diversi.

Il numero 1 si può scrivere come 1 x 1

Il numero 2 come 2 x x 2

Il numero 3 come 3 x x x 3

Se conciassi con il numero 1, avrei

1 x 1

Proviamo ad aggiungere il 2, in modo che non violi la regola della distanza

1 x 1

+

x 2 x x 2

1 2 1 x 2

Inseriamo, infine, il numero 3

1 2 1 x 2

+

x x x 3 x x x 3

1 2 1 3 2 x x 3

Una soluzione non certo valida, dato che le caselle utilizzate risultano maggiori di 2N = 6, in particolare 8.

Se numerassi le caselle necessarie a ottenere la distribuzione finale da 1 a 2N, otterrei che la loro somma sarebbe:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

dato che le caselle necessarie sono 8 e non 6. Ciò che invece vogliamo è che la somma delle caselle utilizzate rimanga uguale a 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 .

Cambiamo posizione alle coppie di numeri...

Ad esempio;

x 1 x 1 x x  +

3 x x x 3     +

x x 2 x x 2   =

3 1 2 1 3 2

Perfetto, regola rispettata con solo 6 caselle.

Questo semplice ragionamento ci dice che CONDIZIONE NECESSARIA  affinché sia possibile (anche se non sicuramente possibile, ossia non SUFFICIENTE)  ottenere la distribuzione voluta utilizzando solo 2N caselle è che la somma delle caselle utilizzate sia uguale alla somma di 2N. Una vera ovvietà, che, però, permette di risolvere il problema, dato che se non si verifica questa condizione è IMPOSSIBILE sicuramente che si ottenga la distribuzione voluta.

Non ci resta che generalizzare il risultato ottenuto per N = 3 al caso N qualsiasi.

Le caselle devono essere tutte riempite, ossia la somma dei numeri delle caselle necessarie deve essere 2N. Ovviamente, qualsiasi posizione delle coppie di numeri uguali è ammessa, basta che stia nelle caselle permesse.

Indichiamo ogni coppia nel seguente modo:

ak, ak + k + 1

In tal modo se nella posizione a1 mettiamo 1, possiamo scrivere

a1, a1 + 1 + 1

per N possiamo scrivere

aN, aN + N + 1

Nelle nostre 2N caselle vengono inserite tutte le coppie in modo tale che riempiano le 2N caselle in modo esatto.

Sommiamo tra loro i numeri delle caselle e imponiamo che il risultato sia uguale alla somma di 2N caselle. In tal modo otteniamo un'identità necessaria allo scopo, in funzione del numero N, indipendentemente da come siano state inserite le coppie nella distribuzione:

(a1 + a1 + 1 + 1) + (a2 + a2 + 2 + 1) + (a3 + a3 + 3 + 1) +..... + (aN + aN + N + 1) = 1 + 2 + ... + 2N

Compattando

2(a1 + a2 + ... + aN) + 2 + ... + N+ 1 = 2N(2N + 1)/2

La somma dei numeri che vanno da 2 a N+ 1 è uguale alla somma dei numeri che vanno da 1 a N + 1 a cui va sottratto 1:

2(a1 + a2 + ... + aN) + (N + 1)(N+2)/2 - 1 = 2N(2N + 1)/2

moltiplicando per 2

4(a1 + a2 + ... + aN) + (N + 1)(N + 2) - 2 = 2N(2N + 1)

4(a1 + a2 + ... + aN) + N² + 3N + 2 - 2 = 4N² + 2N

4(a1 + a2 + ... + aN) = 3N² - N

dividendo per 4

(a1 + a2 + ... + aN) = (3N² - N)/4

Ma la somma di numeri interi deve essere un intero, per cui deve essere un intero anche il secondo membro. Perché ciò possa succedere è necessario che

3N² - N sia divisibile per 4.

Questa è, perciò, la condizione necessaria perché si possa costruire la sequenza desiderata. SICURAMENTE non si può ottenere se non sussiste la divisibilità per 4.

Dato N (10, 15, 20, 25 e 30) è immediato fare i calcoli e stabilire che 10, 25 e 30 NON possono dare la sequenza voluta.

Per i più esperti

Tradotto in aritmetica modulare, possiamo dire che esistono solo 4 possibilità...

N può essere congruente a 0, 1, 2 e 3, modulo 4. Tuttavia, per n = 2 e 3 otteniamo un valore di 3N² - N che non è divisibile per 4, per cui la possibilità esiste solo per

N≡ 0 (mod 4)

N≡ 3 (mod 4)

In parole semplici, o N-1 e o N - 3  devono essere multipli di 4.

10 - 0 = 10   NO    o  10 - 3 = 7    NO                --> NO

15 - 0 = 15   NO    o   15 - 3 = 12   SI                  --> SI

20 - 0 = 20  SI     o   20 - 3 = 17   NO                --> SI

25 - 0 = 25  NO   o    25 - 3 = 22  NO                --> NO

30 - 0 = 30  NO   o    30 - 3 = 27  NO                --> NO

In tal modo non vi è nemmeno bisogno di calcolare 3N² - N solo dopo aver saputo i numeri N. Basta infatti sottrarre 0 o 3 a N e vedere se il risultato è divisibile per 4. Insomma, basta conoscere a memoria la tabellina del 4!