Chi non conosce la successione di Fibonacci? Sicuramente nessuno tra i lettori di questo blog. Tutti conoscono sicuramente anche  il "quiz" proposto dal grande matematico che ha dato origine a tale celeberrima sequenza:

Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?

Ne ha anche parlato dettagliatamente Valentina in questo articolo. Tuttavia, Fibonacci ha proposto molti altri quiz, apparentemente molto facili, che hanno permesso, però, un salto qualitativo fondamentale, permettendo l'applicazione dell'analisi matematica a problemi pratici. Egli è ormai universalmente riconosciuto come il padre della matematica in Occidente, il grande "traghettatore" della matematica greca e araba, in Italia e in Europa.

Vogliamo, perciò, proporre un altro dei suoi problemi, veramente molto semplice, che rappresenta, però, un esempio perfetto di come un'attenta applicazione delle regole matematiche permettano la soluzione di una situazione realistica, apparentemente complicata, in una banale formula generale.

Il problema è il seguente:

Due persone si mettono in cammino lo stesso giorno, per un lungo viaggio a piedi (ad esempio per raggiungere Santiago di Compostela). Il primo è in piena forma e decide di dare il massimo fin  dall'inizio, percorrendo 20 chilometri al giorno, costantemente. Il secondo, invece, decide di scaldarsi un po' alla volta, percorrendo un chilometro il primo giorno, due chilometri il secondo, tre il terzo e via dicendo. Dopo quanti giorni le due persone si incontreranno?

Provate a rispondere senza l'utilizzo di relazioni matematiche e sarà facile capire come la faccenda poteva apparire veramente difficile da risolvere. Aggiungiamo un vincolo e cambiamo un po' la domanda:

Sapendo che il massimo di chilometri percorribili in un giorno non può superare i quaranta, ce la farà la seconda persona a raggiungere la prima?

Rispondete senza fare nessun conto matematico e capirete l'importanza dell'approccio innovativo di Fibonacci.

SOLUZIONE

Analizziamo matematicamente il cammino dei due viaggiatori:

Il primo percorre 20 km al giorno. Ne segue che dopo x giorni ha percorso 20 x chilometri.

Il secondo percorre 1 km il primo giorno, 1 + 2 il secondo, 1 + 2 + 3 il terzo e via dicendo. Dopo x giorni ha percorso la somma dei numeri interi da 1 a x ( 1 + 2 + 3 + .... + x). Sappiamo però che la somma dei primi x numeri interi è data da una semplice formuletta

1 + 2 + 3 + ... + x = x(x +1)/2

Basta allora uguagliare i due valori così trovati:

20 x = x(x + 1)/2

40 x = x2 + x

x2 - 39 x = 0

x(x - 39) = 0

Vi sono solo due soluzioni:

x = 0    che non è altri che il giorno della partenza.

x = 39

La risposta alla domanda è quindi SI, dato che le due persone si incontrano quando la seconda ha percorso in un giorno 39 chilometri, ancora percorribili!