La storia della trigonometria è decisamente lunga e complessa. Probabilmente è nata con l'uomo e con il suo bisogno di misurare gli angoli che erano necessari per dividere in modo ripetitivo il movimento del Sole durante il giorno e durante l'anno. In realtà, come si può definire la trigonometria? Presto detto: il legame che esiste tra i lati e gli angoli di un triangolo. Pensiamoci bene... Come possiamo definire il SENO? Esso non è altro che il rapporto tra un cateto e l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Analogamente viene definito il COSENO, considerando l'altro cateto. Il rapporto dei cateti dà luogo alla TANGENTE.  L'importanza di queste funzioni sta nel fatto che esse rimangono costanti ingrandendo o diminuendo la lunghezza dei lati, mantenendo però la similitudine dei triangoli. Per quanto detto possiamo anche considerare la trigonometria e le sue funzioni come un modo per misurare la lunghezza dei segmenti costruiti su un cerchio di raggio unitario. E' facile concludere che la costruzione delle piramidi e le misure astronomiche effettuate dai babilonesi e dagli antichi greci dovevano farne uso anche se in modo più o meno evidente. Non si faceva riferimento a nomi particolari, ma le formule esistevano comunque ed esprimevano tali relazioni.

Se, invece, vogliamo risalire alla prima formulazione del seno trigonometrico dobbiamo  andare in India e fare la conoscenza del matematico e astronomo Aryabatha (476–550 d.C.). Egli, nella sua opera Aryabhata-Siddhanta, definì per la prima volta il seno come la relazione (moderna) fra la metà di un angolo e la metà della corda. Data una corda qualsiasi, infatti, basta tracciare la perpendicolare ad essa dal centro del cerchio e ottenere il triangolo rettangolo in cui metà della corda è proprio il seno della metà dell'angolo al centro corrispondente alla corda. Nelle sue opere si trovano anche le più antiche tavole pervenuteci dei valori del seno e del senoverso (1 − coseno), per intervalli di 3,75° da 0° a 90°, con un'accuratezza di 4 cifre decimali.

Egli usò le parole jya per il seno, kojya per il coseno, che divennero in seguito seno e coseno per via di un errore di traduzione. Spieghiamoci meglio...

La parola moderna seno è derivata dalla parola latina sinus, che significa "golfo" o "insenatura", a causa di un errore di traduzione  della parola sanscrita jiva, altrimenti detta jya. Aryabhata usava il termine ardha-jiva ("metà-corda"), che venne abbreviato in jiva e quindi tradotta dagli arabi come jiba. I traduttori europei del dodicesimo secolo, confusero jiba con jaib, che significa "baia" e così restò nei secoli a seguire.

Questa può essere considerata la nascita ufficiale della trigonometria vera e propria, ma le relazioni tra lati e angoli e quelle tra le funzioni trigonometriche ufficiali, come seno e coseno (anche se ancora senza un nome preciso), erano sicuramente già state usate, sia da Ipparco che da Tolomeo. Tuttavia, ben prima di loro, Archimede ne aveva fatto uso, anche se non venne citato espressamente. In particolare, esiste un teorema attribuito ad Archimede che è la traduzione geometrica perfetta della relazione sen (x - y), dove x e y sono due  archi della circonferenza unitaria.

Sono stati i matematici arabi ad attribuire ad Archimede  il "teorema della corda spezzata" che oggi viene da molti considerato una chiara dimostrazione della sua conoscenza "trigonometrica", un vero e proprio punto di partenza.

Consideriamo la Fig. 1.

BM è in comune, AM = MC dato che M è punto medio dell’arco AC. L’angolo BAM è uguale all’angolo BCM, dato che angoli alla circonferenza di un stesso arco BM. I due triangoli sono congruenti, per cui:

AB = B’C.

Possiamo, perciò, scrivere:

DC = DB’ + B’C = BD + AB

c.v.d.

Vediamo di tradurre questa relazione facendo uso delle funzioni seno e coseno, utilizzando la Fig. 2, dove il  cerchio di centro O ha raggio unitario.

L'arco MC è pari a 2x, mentre l'arco MB è pari a 2y. Ne consegue che l'arco AB risulta essere uguale a 2x - 2y.

Tracciamo da O le perpendicolari alle corde MC e MB. Ne segue che:

MH = sin x

MC = 2 sin x

MK = sin y

MB = 2 sin y

L'arco AB vale 2x - 2y, ossia 2(x - y). Possiamo scrivere:

BR = sin(x - y)

AB = 2 sin (x - y)

DC è il cateto maggiore del triangolo DMC, in cui MC = 2 sin x. Ma l'angolo MCB è la metà dell'angolo al centro MOB = 2y

Ne segue che:

DC = MC cos y = 2 sin x cos y

Analogamente:

BD =  MB cos x = 2 sin y cos x

Il teorema della corda spezzata dice che

BD + AB = DC

ossia:

2 sin y cos x + 2 sin(x - y) = 2 sin x cos y

dividendo per 2 e spostando i termini...

sin(x - y) = sin x cos y - sin y cos x

che è proprio la formula di sottrazione del seno!

Lo stesso teorema permette di scrivere altre formule trigonometriche…

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x

Infatti, dalla relazione geometrica

BC = BD + DC

Otteniamo:

2 sin(x + y) = 2siny cos x + 2 sinx cos y

Se poi rimpiazziamo x con 90 – x si ottengono le formule analoghe per il coseno…

sin(90 - x + y) = cos (x – y) = sin y sin x + cos x cos y

sin(90 - x - y) =  cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

Archimede, però, è andato sicuramente oltre, come si può dedurre da un altro suo teorema che gli permetteva di calcolare la corda di metà di un angolo. Teorema, questo, che ha utilizzato per il calcolo dei perimetri dei poligoni regolari. Tolomeo lo ha usato nei suoi studi astronomici, ma -come era suo uso- non  ha fatto cenno dai quanto già descritto da Archimede.

Il teorema stabilisce:

Sia ACB un semicerchio di centro Z  e sia ΑΒ = d il suo diametro. AC  sia una corda e D il punto di mezzo dell'arco BC.

Tracciando i segmenti DB = DC e imponendo che AH sia uguale ad AC, vale la relazione: