Prendiamo una coppia di ciascun numero intero dispari da 1 a 5...

11 33 55

Dividiamo le seconde tre cifre per le prime tre:

355/113 ≈ 3.141592...

Una semplice divisione di due numeri di sole tre cifre, facilmente memorizzabili, dà una magnifica approssimazione del numero pi greco, precisa fino alla sesta cifra decimale. Una scoperta non certo "nuova", dato che era già conosciuta nella Cina del V secolo d. C, per merito di  Zu Chongzhi (429-500 d.C.). Un'approssimazione straordinaria che arrivò in Europa solo a fine 1500. Va ricordato che essa è  la migliore approssimazione frazionaria di pi greco con denominatore inferiore a 16600.

Sappiamo bene che esistono moltissime serie numeriche che approssimano in modo eccezionale il pi greco, ma resta impossibile, ovviamente, rappresentare graficamente il lato del quadrato che abbia la stessa area di un cerchio. In poche parole, è impossibile quadrare graficamente il cerchio con riga e compasso molle, alla moda degli antichi greci.

Tuttavia, si può arrivare estremamente vicini alla soluzione cercando di trasformare il rapporto 355/113 in un qualcosa di costruibile graficamente con riga e compasso. Uno splendido risultato, in tal senso, è stato ottenuto dal genio di Ramanujan nel 1913. Vale la pena descrivere il suo metodo, sapendo che ciò che si ottiene è il lato del quadrato con una precisione grafica straordinaria, praticamente perfetta "fisicamente"!

Prima di iniziare, ricordiamo che tra le costruzioni ammissibili con riga non graduata e compasso molle possiamo inserire sia la divisione di un segmento in un certo numero qualsiasi di parti uguali (QUI), sia il trasporto di un segmento, come dimostrato già da Euclide. Non mi sembra di avere già trattato quest'ultima costruzione, per cui la riporto brevemente qui di seguito.

Sia AB il segmento di partenza che vogliamo trasportare con pari lunghezza sulla retta r (A'B'), a partire da A'. Utilizziamo la Fig. 1.

Uniamo A con A' e costruiamo il triangolo equilatero che ha AA' come lato. Per ottenerlo basta fare centro in A e in A' con raggio AA' e trovare l'intersezione C. Prolungo il lato CA e tracciamo la circonferenza di centro A e raggio AB, determinando il punto D. Tracciamo, adesso, la circonferenza di raggio CD, con centro in C fino a incontrare il prolungamento di CA' in E. Non resta che tracciare con centro in A' la circonferenza di raggio A'E e incontrare la retta r  in B'. Ovviamente, A'B' = AB.

Fatte queste dovute premesse, costruiamo, un po' alla volta, la figura di Ramanujan che ci permetterà di rendere geometricamente  perfetto il rapporto 355/113, ossia l'approssimazione del pi greco.

Disegniamo la Fig. 2, in cui il cerchio abbia diametro d.

O sia il suo centro e PR un diametro. RT sia pari  a un terzo di OR:

RT = d/6 

Dividere OR in tre parti è operazione fattibile.

Vogliamo calcolare la lunghezza di QT, che si ottiene tracciando la perpendicolare a PR in T.

PT = d/2 + 2d/3 = 5d/6

I triangoli PTQ e QTR sono, ovviamente, simili, per cui:

QT/PT = TR/QT

QT² = PT ∙ TR

QT² = 5d/6 · d/6 = 5d/36

Passiamo alla Fig. 3.

Costruiamo la corda RS tale da avere la stessa lunghezza di QT (fattibile). Da O e da T tracciamo le parallele a RS che incontrano il segmento PS in M e N.

Dal triangolo rettangolo PSR otteniamo:

PS² = PR² – SR² = d²– 5d²/36  = 31d²/36 

OT = d/3

Dai triangoli simili PNQ, PMT e PSR, possiamo ricavare:

PM²/PO² = PS²/PR²

PM² = PS² ∙ PO²/PR²

PM² = (31 d²/36) ∙ (d²/4 )/d²

PM² = 31 d² /144

MN²/OT² = PM²/PO²

MN² = PM²  ∙ OT²/PO²

MN² = (31 d²/144) ∙ (d²/9 )/(d²/4)

MN² = 31 d² /324

Riprendiamo la Fig. 3 ed elaboriamola nella Fig. 4.

Portiamo PM in PK

PK =  31 d² /144

Da P tracciamo la tangente alla circonferenza e stacchiamo su di essa il segmento PL uguale a MN

PL = 31 d² /324

Uniamo P con K, K con R e L con K.

Facendo centro in R tracciamo la circonferenza di raggio RH ( OH = d/4) fino a determinare il punto C in RK.

Tracciamo, infine, il segmento CD parallelo a KL.

Non ci resta che calcolare la lunghezza di alcuni segmenti, utilizzando i triangoli rettangoli PKR e RPL ...

RK² = PR² – PK²

RK² = d² – 31 d² /14

RK² = 113 d² /144

RL² = PR² + PL²

RL² = d² + 31 d² /324

RL² = 335 d² /324

I triangoli RKL e RCD sono simili, per cui

RC/RD = RK/RL = (√(113/144) d · √(324/335)/d) = (18/12)√(113/355)

RC/RD = (3/2) √(113/355)

RD = RC (3/2) √(113/355)

ma

RC = RH = d/2 + d/4 = 3d/4

da cui:

RD = d√(113/355)/2

RD² = r² (113/355)

con l'approssimazione π = 113/355

otteniamo che l'area del quadrato di lato RD è proprio uguale all'area del cerchio di raggio r.

Alla fine del suo breve articolo lo stesso Ramanujan sottolinea la grande precisione ottenuta in modo grafico  con riga e compasso, scrivendo: "Se l’area del cerchio fosse 140 000 miglia quadrate, RD sarebbe maggiore della lunghezza reale soltanto di circa 1 pollice (2.54 cm)". Un risultato matematicamente impreciso, ma fisicamente eccezionale!

Il metodo è estremamente semplice e -quasi- ovvio. Forse, addirittura, "ingenuo", ma la visione matematica di Ramanujan rimane straordinaria.