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Tags: bisettrici geometria triangolo isoscele
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:8
(Q) Un triangolo isoscele inaspettato ***
Un problema geometrico che probabilmente è meno facile di quello che sembra a prima vista. Può darsi, però, che la soluzione da me trovata non sia la più semplice. Invito i nostri grandi "geometri" a fare di meglio! Il "quiz" è comunque interessante per vari motivi...
Risolverlo con la pura geometria (alla "greca").
Sia ABC un triangolo tale da avere i suoi tre angoli nel rapporto 1:2:4. Da ciascun vertice tracciamo la rispettiva bisettrice. I punti di intersezione con i lati opposti al vertice formano un triangolo DEF (D opposto ad A, E opposto a B e F opposto a C). Dimostrare che il triangolo DEF è isoscele.
Aggiungo due consigli decisamente importanti: (1) utilizzare un disegno il più preciso possibile, (2) non farsi ingannare dalle apparenze.
Prego i potenziali solutori di spiegare ogni singolo passaggio e/o conclusione.
8 commenti
Una proposta come le olive di Verdone
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2025/07/triangolo_isoscele_124_2.pdf
PS
la configurazione del triangolo dato mette a disposizione una serie vastissima di "regolarità" e "fatti notevoli". Forse proprio per questo (troppa grazia sant...) non è facile individuare i passi strettamente utili a trovare quanto conclamato.
Hai pienamente ragione, carissimo!
Anch'io l'ho risolto attraverso i due triangoli uguali... Bisogna solo stare attenti a non considerare, frettolosamente, CJ perpendicolare ad HK. Ho però utilizzato il teorema delle bisettrici di un triangolo isoscele. Sono convinto che esistano molte strade per giungere allo scopo...
Facendo riferimento alla figura del mio commento, vi propongo i seguenti "fatti" (alcuni possono essere utili alla prova del numero 9, che mi sembra più difficile (ma qualcuno può trovare altre scorciatoie):
L’angolo esterno in C è 3a...? Non capisco cosa intendi per angolo esterno.
<KMA = 2 a? A me sembra che <LMA = 2 a. <KML = 7a - 2a = 5a, per cui <KMA = 3a ...
Cerca di sistemare bene le formule e le conclusioni (con qualche spiegazione in più), altrimenti si crea confusione...
Il concetto di angolo esterno in un dato vertice di un triangolo, credo sia abbastanza standard. Comunque sia, mi riferisco all'angolo (uno dei due) adiacente all'angolo in C. Essendo <C = 4a, l'angolo esterno adiacente (complementare ad esso) vale 3a. Siccome l'angolo esterno in L è 3a la figura BCKL ha BK come asse di simmetria, da cui seguono le proprietà indicate nel punto 2) del file linkato.
Sul punto 5) sono andato troppo di fretta. Lo riscrivo
5) Da 4) (cioé l'essere ciclico di AKML) si deduce facilmente che <KMA = <KLA = 3 a ed essendo <MKL = <MAL = a si ha che <MKA = 3a cioè che MAK è isoscele. Quindi AM = AK.
PS
E' difficile in generale tarare il livello di spiegazione dei vari passaggi di una soluzione.
A maggior ragione in questo caso, considerando il rgado di difficoltà di questo esercizio e la complessità del procedimento risolutivo, suonerebbe "strano" fare "passi" troppo brevi.
riguardo alla spiegazione, voglio solo dire che bisognerebbe spiegare bene ogni singolo passaggio e non dare mai conclusioni come scontate, anche se sembrano ovvie. Io, almeno, cerco sempre di farlo e, se non lo faccio, vorrei che mi fosse richiesto, se necessario. Ad esempio, e al limite, se concludo che a2 più b2 è uguale a c2, devo comunque dire che ho applicato Pitagora. Se trovo che un quadrilatero è ciclico, devo comunque accennare al fatto che in tal caso la somma degli angoli opposti vale 180, così come, esistendo un cerchio circoscritto, vale la regola dell'uguaglianza tra gli angolo sottesi da uno stesso arco. E via dicendo... Non tutti hanno dimestichezza con i vari teoremi, anche se abbastanza immediati. Cerchiamo, io per primo, di semplificare anche i problemi difficili non lasciando nessun passaggio senza una spiegazione di livello elementare.
Una soluzione che non usa niente altro che il teorema di Talete e alcuni criteri di eguaglianza dei triangoli, né proprietà dei quadrilateri ciclici né altro.
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2025/07/triangolo-isoscele-2.pdf
E.C.: L'angolo in I del triangolo IDC NON è 3a... ma 6a (14 -8)