Sprmnt21 ha sicuramente detto molte cose giuste, ma ha anche riportato conclusioni che non mi sembrano tutte corrette... Per non creare confusione in chi sta lavorando sul problema, preferisco riportare la mia soluzione, sperando, comunque, che ne arrivino altre...

Iniziamo col disegnare il nostro triangolo ABC, sapendo che i suoi angoli stanno tra loro come 1 : 2: 4. Ciò vuol dire che vale la relazione:

BAC + ABC + ACB = 1 + 2 + 4 = 7

Ma

BAC + ABC + ACB = π

7 : π = 1 : BAC

BAC = π/7 = 25°.7

7 : π = 2 : ABC

ABC = 2 π/7 = 51°.4

7 : π = 4 : ACB

ACB = 4 π/7 = 102°.9

Costruiamo con la massima precisione possibile il triangolo così definito.

Tracciamo le bisettrici dei tre angoli, ottenendo la Fig. 1.

La metà dell’angolo minore lo chiamiamo ϑ. Riferiamo a ϑ tutti gli altri angoli, ricordando il loro rapporto. Ovviamente, l’angolo piatto vale 14 ϑ.

Si ricava immediatamente che:

AE = EB

e

CF = FB

dato che i triangoli AEB e CFB sono isosceli (angoli alla base uguali).

Per dimostrare che EDF è isoscele dobbiamo  dimostrare che sono uguali gli angoli DEF e EDF oppure che sono uguali i lati EF e FD. Attenzione a non farsi ingannare dalle apparenti simmetrie della figura. Il segmento CF NON è perpendicolare a ED. Cerchiamo di capire bene la configurazione … CE non è uguale a CD.

Utilizziamo la Fig. 2 per visualizzare meglio ciò che equivale al nostro caso.

Angoli uguali hanno colore uguale. HQ (perpendicolare a MP) non coincide con SQ (bisettrice di MNP). Provare l’uguaglianza dei due angoli arancioni sembra una soluzione problematica, meglio provare l’uguaglianza dei lati MQ e QP.

Tornando al nostro triangolo,  cerchiamo due triangoli che abbiano EF e FD come lati, sperando che essi siano congruenti.

Sicuramente adatti allo scopo sono DBF ed ECF (Fig. 3). Cosa conosciamo di loro?

Hanno gli angoli ECF e DBF congruenti. Inoltre abbiamo già dedotto che FB = CF. Basterebbe, perciò dimostrare che altri due lati sono congruenti. In particolare, che DB = EC. Se DB = EC i due triangoli sarebbero congruenti e, di conseguenza, anche EF e FD.

Analizziamo meglio i triangoli ECI  e CID.

L’angolo CEI si ricava dal triangolo CEB di cui conosciamo due angoli. Quello in B è uguale a 2ϑ e quello in C vale 8ϑ. Ne segue che:

CEI = 14ϑ - 8ϑ - 2ϑ = 4ϑ

Di conseguenza il triangolo ECI è isoscele e, quindi:

EI = CI                           … (1)

L’angolo ADB si ricava dal triangolo ADB e vale:

ADB = 14ϑ - 4ϑ – ϑ = 9ϑ

E, quindi:

CDI = 14ϑ - 9ϑ = 5ϑ

Ne segue:

CID = 14ϑ - 4ϑ - 5ϑ = 5ϑ

Anche il triangolo CID è isoscele, per cui:

CI = CD

Dalla (1), otteniamo:

CD = EI                      …. (2)

Siamo a un passo dalla soluzione…

Consideriamo il triangolo isoscele AEB

Tracciamo la bisettrice dell’angolo EBA che incontra AC in G.

AI e BG sono le bisettrici del triangolo isoscele AEB, ne segue che GI//AB e, in particolare che:

EG = EI

Quanto detto risponde a una proprietà dei triangoli isosceli che si può dimostrare facilmente (vedi appendice):

Le intersezioni, con i lati uguali, delle bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele formano un trapezio isoscele, la cui base minore è uguale ai due lati obliqui.

A noi basta sapere che il triangolo EGI è anch’esso isoscele con:

EG = EI

Per cui, dalla (2):

EG = CD

Non dimentichiamoci, però, che:

GC = CB

Ossia

CE + EG = CD + DB

Ma, dato che EG = CD otteniamo che

CE = DB

Questa, però, è proprio l’uguaglianza che cercavamo per dimostrare che i triangoli azzurri ECF e DFB sono congruenti.

Ne segue perciò che:

EF = FD

c.v.d.

APPENDICE

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