Stiamo eseguendo una missione geografica per effettuare misure di distanza e di altezza in luoghi inaccessibili. In particolare, stiamo cercando di determinare l'altezza di un'alta montagna che sorge su un'isola che è impossibile avvicinare con la nostra nave a causa degli scogli che la circondano. Poco male... abbiamo a disposizione una tecnologia efficiente e precisa. Il problema è che non siamo nel 2025, ma nel terzo secolo dopo Cristo. La trigonometria non esiste ancora e bisogna arrangiarsi con mezzi tecnici che oggi apparirebbe "ridicoli", ma anche con le nostre capacità mentali. Per essere precisi, abbiamo a disposizione solo delle aste rigide. Anche gli antichi greci non avrebbero avuto grandi problemi, ma è interessante vedere come lo stesso risultato sarebbe stato raggiunto in Cina.

Nel terzo secolo d.C. brillava la stella di un grande matematico, Liu Hui, a cui si deve un'ottima approssimazione del pi greco, ma, soprattutto, uno splendido saggio di geometria applicata a casi veramente pratici e di interesse generale che è passato alla storia come "Il Manuale matematico dell'isola", contenente le soluzioni di vari problemi legati alla determinazione delle altezze, delle distanze e delle dimensioni di luoghi inaccessibili. Il più noto, che ha dato anche il nome al trattato, è proprio quello che ci interessa, ossia quello relativo al calcolo dell'altezza di una montagna presente su un'isola, irraggiungibile direttamente. Il metodo si basa sull'utilizzo di aste rigide e di una sorta di proto trigonometria che sfrutta un teorema poco conosciuto relativo al "rettangolo inscritto in un triangolo rettangolo". Vale la pena richiamarlo sia per il teorema in sé, sia per l'estrema praticità. E' anche utile per capire come la matematica e la geometria si  siano sviluppate in modo diverso nelle varie culture antiche.

Descriviamo, innanzitutto, il teorema di Liu Hui, che è la base di tutte le misure descritte nel manuale. Un semplice teorema di banale dimostrazione che equivale all'applicazione delle similitudine tra triangoli che avrebbero usato i geometri greci.

Traduciamolo in linguaggio corrente:

Le perpendicolari ai lati di un rettangolo, tracciate da un punto qualsiasi di una sua diagonale, individuano due rettangoli di uguale area inscritti nei due triangoli rettangoli congruenti  definiti dalla diagonale.

Costruiamo la Fig. 1

La diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli congruenti. Tracciamo due perpendicolari ai lati del rettangolo di partenza da un suo punto qualsiasi. Vogliamo dimostrare che R1 ha la stessa area di R2. Non c'è bisogno di utilizzare  la similitudine di triangoli. L'area del triangolo rettangolo sopra la diagonale può essere scritta come somma di tre aree:

T1 + R1 + T2

Ciò vale anche per l'area del triangolo rettangolo sotto la diagonale:

T3 + R2 + T4

Ma

T1 = T3

T2 = T4

da cui si ha subito che:

R1 = R2

c.v.d.

Veramente immediato, anche se rimane una proprietà poco conosciuta nello studio della "nostra" geometria.

Facciamo, ancora, qualche riflessione... E' interessante vedere come le diverse culture abbiano ottenuto risultati equivalenti attraverso approcci differenti, probabilmente legati alla gestione politica, spirituale, religiosa nelle varie zone geografiche, tutte bagnate da grandi fiumi (Egitto, Mesopotamia, India, Cina) Vale la pena ricordare, a questo proposito, come il teorema di Pitagora, sia molto probabilmente già stato dimostrato geometricamente in Cina ben prima di Pitagora. Una figura, che dovrebbe essere considerata eccezionale, lo dimostra. Essa si riferisce al Teorema Gou Gu ed è riportata in Fig. 2.

Gou e Gu sono i nomi dati ai due cateti.

Cosa rappresenta la figura?

Consideriamo un triangolo rettangolo e copiamolo altre tre volte. Inseriamo le quattro copie proprio come viene rappresentato nella Fig. 2a . Chiamiamo a e b i due cateti (Gou e Gu) e c l'ipotenusa.

L'area totale è data proprio da c al quadrato.

Spostiamo, adesso, le copie del triangolo in modo da formare la figura 2b. E' immediato concludere che il quadratino rosso ha lato a, mentre quello azzurro ha lato b. L'area totale risulta, quindi, essere a² + b². Ma le due figure 2a e 2b hanno per costruzione la stessa area, per cui si ottiene che:

a² + b² = c²

c.v.d.

Un metodo diverso, ma capace di dare lo stesso risultato ottenuto, secoli dopo, da Pitagora...

Sarebbe bello se, in tempi ormai scanditi dalle risposte di una "macchina", si insegnassero, in parallelo, le conquiste della mente nelle diverse culture antiche. Quanto servirebbe a cambiare convinzioni del tutto arbitrarie ed errate sulla capacità intellettuali degli antichi popoli che influenzano ancora oggi la nostra visione del mondo. Senza dimenticare che la "nostra" cultura ha subito un arresto durato, per motivi essenzialmente religiosi, molti secoli, mentre le "altre" progredivano...

Torniamo alla nostra isola e vediamo di misurarne l'altezza attraverso il metodo di Liu Hui.

Immaginiamo si essere su una nave che non può avvicinarsi di più all'isola in cui domina la montagna di cui vogliamo misurare l'altezza. Sia d la distanza dell'isola (o meglio della proiezione sul livello del mare della cima della montagna) e h la sua altezza, come mostra la Fig. 3.

Sulla nave vengono posizionate due aste rigide, di altezza a1 = a2,  a una certa distanza  tra di loro. Riproponiamo la Fig. 3 in Fig. 4, dando maggior risalto a ciò che capita sulla nave, aggiungendo alcune lettere.

Per quanto detto prima, le aste rigide sono

FG = DE

e la loro distanza è uguale a GE. Questi sono le misure conosciute. Il primo passo pratico è quello di sistemare le aste per potersi chinare e guardare la loro cima allineata con quella della montagna.  Si individuano, così, le direzioni HF e DB e si possono misurare direttamente le lunghezze dei segmenti GH ed EB.

Calcoliamo l'area del rettangolo GFDE in due modi diversi:

S(GFDE) = S(JDEA) - S(FJAG)

Ma, per il solito teorema:

S(FJAG) = S(POFK)

Per cui:

S(GFDE) = S(JDEA) - S(POFK)

Sappiamo, però, che l'area di un rettangolo è dato da base per altezza:

S(GFDE) = S(JDEA) - S(POFK) =  GE · ED               ... (1)

E' anche vero, però, che:

S(JDEA) = S(NMDL)

per cui:

S(GFDE) = S(NMDL) - S(POFK) = ML · DL - OK · FK = ML · DL - ML · GH = ML(DL - GH)          ... (2)

Dalla (1) e dalla (2)

GE · ED = ML(DL - GH)

e, infine:

ML = GE ∙ ED/(DL – GH)

Ma

ML = CJ

CJ + JA = GE ∙ ED/(DL – GH) + JA = GE ∙ ED/(DL – GH) + FG

CA = GE ∙ FG/(DL – DH) + FG

Rapidamente si determina anche la distanza AG

S(JFGA)  = S(POFK)

JA · AG = PF · FK = CJ · GH

AG = CJ · GH/JA  

Niente male, vero?