Categorie: Matematica
Tags: cubo diagonale maggiore geometria quiz solido di rotazione
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:8
Un cubo rotante ****
Il cubo è sicuramente uno dei solidi più semplici, ma può dar luogo a configurazioni non del tutto banali. Un problema estremamente interessante è quello legato alla sua rotazione attorno alla diagonale maggiore. Ciò che vogliamo determinare è il volume del solido di rotazione così ottenuto. Per semplicità ipotizziamo che il lato del cubo sia pari a un'unità. Il solido che si ottiene con tale rotazione non è una figura comune e va studiata con molta attenzione. Vi sono vari modi per definirla esattamente, ma io ho risolto il problema per via geometrica pura senza applicare la geometria analitica. E' un modo sicuramente più semplice, ma necessita di un'ottima visione tridimensionale, da cui i 4 asterischi. Dico subito che oltre a varie considerazioni geometriche va anche eseguito un integrale veramente banale.
Il risultato è un valore molto semplice, sicuramente inatteso...
Utilizzate pure il metodo che preferite.
Sarà molto interessante vedere come un semplice cubo possa dare luogo a configurazioni non certo immediate.
Buon lavoro miei prodi!
8 commenti
IL tutto ruota su triangoli rettangoli i cui lati sono rad(3), rad(2) e 1 . La diagonale di rotazione è lunga rad(3). Di più non posso perché non mi funziona più l'equation editore.
io nn ho avuto bisogno di latex e simili...
Se il cubo è di lato unitario, la diagonale di una faccia è √2 mentre la diagonale maggiore è √3. In un sistema di riferimento cartesiano, ho posto il triangolo rettangolo con l’ipotenusa √3 poggiato sull’asse delle X e, simmetricamente rispetto all’asse di AB, lo stesso triangolo "specchiato". La rotazione intorno all’asse X del poligono ACEDB disegna un solido simile ad uno “yo-yo” dove le due estremità sono due coni mentre la parte centrale assume la forma di un iperboloide, come nella figura seguente:
Tutte le misure indicate si ottengono dal confronto tra triangoli rettangoli simili oppure per differenze.
Ora, il mio ragionamento è il seguente:
il volume del cono ACC’ è 1/3 del volume del cilindro FCC’G che a sua volta è 1/3 del volume del cilindro che contiene tutto il cuboide, per cui
Volume cono ACC’ / Volume cilindro FF’G’G = 1/9;
stesso discorso per il cono DBD’;
allora se chiamo k il rapporto tra il volume dell’iperboloide e il cilindro CDD’C’,
posso scrivere:
Volume iperboloide / Volume cilindro FF’G’G = k/3
In sostanza il volume del cuboide è pari al volume del cilindro che lo contiene moltiplicato un fattore 1/9 + 1/9 + k/3 = (3k + 2)/9.
Il problema diventa quindi trovare quella quadrica il cui arco compreso in un certo intervallo, taglia una fetta arcuata circolare dal cilindro CDD’C’ durante la sua rotazione.
Non voglio interferire con l'approccio di Andy, ma volevo far presente che la curva cercata può essere trovata facilmente come luogo di punti che soddisfano certe condizioni geometriche.
Il solido di rotazione del cubo intorno alla diagonale è equivalente al solido di rotazione di una figura piana delimitata dall'asse e dai punti di massima distanza dall'asse su ciascun piano perpendicolare all'asse di rotazione.
Come una gabbia a protezione di chi si avvicina al cubo.
Mi mancava il volume del blocco centrale iperboloide.
Se il suo volume è 5π√3 / 27, il rapporto tra questo volume e il terzo di cilindro che lo contiene è:
k = [ 5π√3 / 27 ] / [ π(√6 / 3)^2 × (√3 / 3) ] = 5/6
allora, come ho scritto nel mio precedente post,
Volume cuboide = Volume cilindro contenitore × (3k + 2)/9 =
= π(√6 / 3)^2 × √3 × (3·5/6 + 2)/9 =
= 2π√3 / 3 × 1/2 = π√3 / 3 = π / √3
cioè il volume disegnato dal cubo che ruota sulla sua diagonale maggiore posta in posizione ortogonale rispetto al piano di terra è la metà del volume del cilindro di
raggio=√6 / 3 (che è l’altezza sull'ipotenusa del triangolo rettangolo 1,√2, √3)
e altezza √3 (che è l’ipotenusa del triangolo rettangolo 1,√2, √3).
Curiosamente, si arriva allo stesso risultato moltiplicando il volume di tutto il cilindro contenitore per il quadrato della tangente di θ.
Mi intrigava la possibile relazione tra l’angolo θ e i volumi del cilindro contenitore e del cuboide.
Allora ho cercato di individuare l’iperbole che congiunge i due spigoli del cubo in rotazione, formati dal lato 1 e dalla diagonale di una faccia √2, simmetrici rispetto all’asse della diagonale maggiore, ponendo la distanza tra i fuochi dell’iperbole pari alla diagonale maggiore √3 :
quindi 2c=FF’=√3 → c=√3 / 2
Strutturando l’equazione canonica dell’iperbole rispetto al centro O:
x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = −1 (taglia l'asse delle Y, simmetrica rispetto all’asse delle X)
e dato che a^2 + b^2 = c^2 allora a^2 + b^2 = 3/4.
E qui ho fatto ricorso all’angolo θ, sperimentando di imporre il rapporto tra i due semiassi
b/a = diagonale di una faccia / lato del cubo = cotan(θ)=√2
Dal sistema
a^2 + b^2 = 3/4
b/a = √2
si ottiene a=±1/2 e b=±√2 / 2 per cui l’equazione cercata è:
x^2 / (1/2)^2 – y^2 / (√2 / 2)^2 = −1 →
x^2 / (¼) – y^2 / (½) = −1
che rispetta il passaggio per i punti di ascissa ±√3 / 6 e ordinata ±√6 / 3 (punti C , D e simmetrici C’ , D’).
Isolando y^2:
2y^2 = 4x^2 + 1 → y^2 = 2x^2 + 1/2 = [f(x)]^2
Adesso posso calcolare il volume di rotazione del tratto di iperbole compreso tra O=0 e P’=√3/6 e raggio √6 / 3, moltiplicando l’integrale per 2 per simmetria rispetto all’asse passante per l'origine O:
V = 2×π∫ [f(x)]^2 dx , estremo inferiore 0 estremo superiore √3/6
V = 2π∫ (2x^2 + ½) dx =
= 2π[(2/3)x^3 + x/2]
= (4/3)πx^3 + πx
e sostituendo i valori degli estremi:
= (4/3)π√3 / 72 + π√3 / 6 =
= 5π√3 / 27
Aggiungo qualche dettaglio su come ho ricavato i raggi del la parte centrale del solido di rotazione in funzione di z.
Nelle figure sopra alcuni di questi esagoni, in vista laterale e da sopra, a partire da quelli degeneri che coincidono con le basi delle due piramidi.
I raggi sono le distanze dell'asse di rotazione di vertici degli esagoni che si forma dalla intersezione tra il cubo e i piani perpendicolari all'asse.