Sembra quasi un destino, ma le donne che hanno eccelso in matematica sembrano legate alla stregoneria. Vediamo il caso di Maria Gaetana Agnesi che è piuttosto divertente oltre che geometricamente molto interessante.

Chi non conosce la prima donna matematica della storia? Stiamo parlando di Ipazia di Alessandria, filosofa neo-platonica, matematica di Alessandria d'Egitto, trucidata barbaramente da fanatici cristiani nel 415 d.C., su mandato del Vescovo che l’aveva accusata di essere una strega.

In realtà, la sua unica colpa era non solo di essere donna, ma anche donna estremamente attiva nel dibattito scientifico dell’epoca, che arditamente si pronunciava contro il modello geocentrico di stampo tolemaico, che poneva la Terra al centro dell’Universo e che ai tempi era ritenuto la teoria consolidata, a favore del modello eliocentrico, con il Sole centrale, che si rifaceva invece ai vecchi e dimenticati studi di Aristarco.

Ipazia venne, ovviamente, accusata di stregoneria, nonché diffidata in quanto pretendeva di insegnare agli uomini. E il vescovo disse: "Sia lapidata a morte". Un gruppo di monaci andò oltre... la trascinò in una chiesa dove venne uccisa a colpi di conchiglie affilate. Ancora viva, le furono cavati gli occhi come punizione per avere avuto la presunzione di studiare il cielo. Fu, infine fatta a pezzi e bruciata.

Un bell'inizio per le donne che avrebbero voluto far parte della Scienza e della matematica in particolare. L'unico modo era forse quello di essere figlie di uomini potenti (che, però, ben difficilmente avrebbero ritenuto giusto  perorare la loro causa) o di illustri accademici che avrebbero potuto inserirla, anche se con tacito disappunto, tra gli studiosi del loro tempo. L'incubo della stregoneria incombeva, tuttavia, sempre in modo più o meno subdolo.

Il primo caso in cui una donna riuscì ad essere accettata  ci porta nel '700, quando le doti di Maria Gaetana Agnesi vennero riconosciute e, abbastanza stranamente, incoraggiate dal padre, valente e ricco docente di matematica presso l'Università di Bologna, che la fece studiare privatamente con illustri precettori e ne fece quasi un'attrazione per il proprio salotto. Un primo tassello che restò comunque  isolato, se pensiamo che nello stesso periodo di tempo Sophie Germain fu costretta a fingersi uomo per riuscire a frequentare la Scuola Politecnica di Parigi.

Tutto bene per Agnesi? Potremmo dire di sì, anche se, alla morte del padre, quando le venne offerta la cattedra di matematica, lei rifiutò essendosi stancata delle difficoltà incontrate e decise di dedicarsi alla sua grande passione per le opere di carità, fondando e dirigendo fino alla morte il Pio Albergo Trivulzio di Milano. Nel frattempo, però, ancora giovane, aveva pubblicato un'opera fondamentale: il trattato di Istituzioni Analitiche, un testo pensato come manuale di studio che trattava in maniera chiara e concisa le diverse aree della matematica: l'algebra, la geometria e i neonati calcolo differenziale e integrale. Era il primo lavoro sistematico di questo genere ed ottenne un notevole successo anche all'estero, non solo per la chiarezza e l'originalità di molte argomentazioni, ma anche poiché aggiornava le teorie seicentesche con le nuove teorie elaborate nel XVIII secolo. Esso inoltre conteneva nuovi procedimenti per la risoluzione delle equazioni differenziali.

Ecco però che, a causa della fama acquisita, il suo nome venne di nuovo accostato a quello di strega. La vicenda è alquanto interessante e curiosa...

Già Fermat aveva introdotto una curva analitica pubblicata nel 1666, che era stata studiata più a fondo da Luigi Guido Grandi nel 1703. Una curva a cui Grandi diede un nome apparentemente un po' strano di versoria.

Per meglio comprendere il nome conviene ricordare una funzione trigonometrica particolare, conosciuta da molto tempo, il senoverso. Essa era indicato come  y = versin(x) = 1 - cos(x). La sua forma  era molto simile a quella della nuova curva che decise di chiamare  col nome di  versoria che significava anche corda attaccata a un vela, proprio quella che serve per le virate, ossia per andare "contro" una certa direzione (versus significa anche contro).

Agnesi la inserì nel suo trattato e la volle chiamare con un nome italiano (come era scritto l'intero trattato) e la funzione divenne versiera. Un nome che fece nuovamente piombare una eccezionale matematica nel regno della stregoneria. La causa fu della grande celebrità del trattato e della volontà del matematico inglese John Colson di tradurlo in inglese. La traduzione venne pubblicata postuma nel 1801. Colson si trovò davanti alla parola versiera. Cosa voleva mai significare? Ciò che gli venne in mente, senza capirne veramente la ragione, è il nome che in quei tempi veniva dato al diavolo in latino: avversario di Dio, ossia avversiero in italiano, spesso abbreviato in versiero. La moglie del diavolo era ovviamente una strega e veniva chiamata versiera. Proprio il nome che figurava nel trattato di Agnesi. Strega si traduce in inglese come witch. Ragione per cui la versiera di Agnesi venne tradotta come la strega di Agnesi e, come tale, è ancora chiamata in varie parti del mondo.

In questo articolo vogliamo proprio parlare più a fondo di quella celebre strega di Agnesi... Si potrebbe pensare, perciò che la strega sia Agnesi e non la  curva da lei descritta nel trattato. Prima di iniziare era giusto ribadire quest'ultimo concetto ed evitare di accostare l'appellativo di strega nuovamente a una donna esperta in matematica.

Descriviamo la versiera attraverso la sua costruzione geometrica riportata in Fig. 1.

Consideriamo un sistema di assi cartesiano x e y nel piano. Disegniamo una circonferenza di raggio r che sia tangente all'asse x nell'origine. Tracciamo la tangente t alla circonferenza che passi per il punto T di coordinate 0 e 2r, che sia, perciò, parallela all'asse x. A partire dall'origine consideriamo il fascio di semirette s che intersecano la circonferenza. Da queste intersezioni (che chiamiamo C) tracciamo la parallela all'asse x e chiamiamo G l'intersezione di una di queste semirette con la retta t. Da G tracciamo la perpendicolare all'asse x che interseca la retta  parallela all'asse x ,che passa per C, nel punto P, che descrive la versiera, indicata in rosso.

Non è certo difficile scrivere l'equazione di questa curva, utilizzando un paio di triangoli simili...

Chi ha voglia di divertirsi può fare da solo...

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Il punto P ha coordinate x e y. I segmenti che compaiono nella figura possono essere scritti come:

OH = y     

HP =TG = x

OT =2r

HT = 2r - y

Nella nostra Fig. 1 consideriamo i triangoli THC e HCO. Essi sono entrambi rettangoli e simili tra loro. Possiamo perciò scrivere:

HC/HT = HO/HC

HC² =HO HT

HC = √(y(2r - y))

Dai triangoli simili HCO e TOG, possiamo scrivere:

OH/HC = OT/ TG = OT/HP = y/√(y(2r – y)) = 2r/x

L'equazione della versiera ha , quindi, equazione:

y/√(y(2r – y)) = 2r/x

Sistemiamola meglio...

Quadriamola

x²y² = 4r² y(2r - y)

x²y = 4r²(2r - y)

x²y = 8r³ - 4r²y

y(x² + 4r²) = 8r³

y = 8r³/(x² + 4r²)

La funzione di Agnesi appare un po' ovunque in fisica e in probabilità. Essa descrive andamenti  di  risonanze molecolari e, in tale contesto, viene anche chiamata distribuzione o funzione di Lorentz.  Distribuzioni differenti dalla distribuzione di Poisson. Senza entrare in particolari troppo complicati ci basta ricordare una interessante caratteristica della versiera:

L'area racchiusa tra la curva e l'asse delle x è pari a quattro volte l'area del cerchio di partenza.

Anche in questo caso potete agire da soli ...

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E abbastanza ovvio che per calcolare l'area che sta al di sotto della nostra curva va fatto il suo  integrale tra - ∞ e + ∞. Ossia:

∫_-∞^+∞ 8r³/(x² + 4r²) dx

conviene scrivere l'equazione inserendo il diametro del cerchio d = 2r.

L'integrale diventa

∫_-∞^+∞d³/(x² + d²) dx

d³∫_-∞^+∞1/(x² + d²) dx

A questo punto ricordiamoci della derivata dell'arcotangente di x...

1/(x² + 1)

Questo fatto ci fa pensare di introdurre come funzione da integrare la derivata di atan(x/d)... Proviamo a calcolarla, ricordando che al posto di x abbiamo posto x/d, ossia una funzione di x. Ciò vuol dire che a numeratore deve comparire la derivata di x/r (derivata di funzione di funzione).

La derivata risulta essere:

(1/d)/(x²/d² + 1) = (1/d)/(x² + d²)/d² = (1/d)d²/(x² + d²) = d/(x² + d²).

Come pensavamo la funzione da integrare è proprio la derivata dell'arctan(x/d), che dobbiamo soltanto dividere per d. In altra parole:

∫_-∞^+∞ 1/(x² + d²) dx = (1/d) [atan(x/d)]_-∞^+∞

Il nostro integrale diventa, perciò:

(d³/d) ∫_-∞^+∞1/(x² + d²) dx = d² [atan (x/d)]_-∞^+∞

Ricordiamo la funzione arcotangente... Essa vale - π/2 per x = -∞ e π/2 per x = +∞

Ne segue che il nostro integrale diventa

d² (π/2 -(-π/2) )= d²π

Ma d = 2r, per cui:

Area = 4r²π

c.v.d.

Una "strega" veramente simpatica e molto utile in vari campi pratici della fisica, dell'ingegneria e della probabilità.

P.S.: Dopo avere scritto questo articolo mi sono accorto di avere già parlato della versiera nel lontano 2014 (QUI). A quel tempo l'avevo inserito come quiz "difficile", mentre oggi è sicuramente alla portata di molti lettori. Tuttavia, mi ero dimenticato di darne la soluzione, per cui riporto questo nuovo articolo che la descrive, oltre  che affrontare altre caratteristiche anche divertenti, oltre che interessanti.