Ringrazio, innanzitutto, Andy e Fabrizio per l'attenta analisi del problema che hanno svolto compiutamente. Inserisco la mia versione che ha, ovviamente, parecchi punti in comune, ma che predilige la visione diretta delle proiezioni su piani particolari, cercando di essere il più semplice e divulgativo possibile. In poche parole, spero che la soluzione sia alla portata di chiunque abbia voglia di seguirla.

Se volete creare il cubo in questione e vederlo nelle varie posizioni vi do il seguente consiglio: prendete una scatola di cartone, come quelle che contengono flaconi di gocce (i vecchietti come me ne hanno a iosa...).Tagliate i lati più lunghi in modo da formare il vostro cubo. Infilate uno stecchino in un vertice e adagiate e incollate lo stecchino nel vertice opposto. In tal modo potete sistemare la diagonale maggiore (stecchino) come volete e guardare direttamente la relativa proiezione del cubo secondo la linea di vista che preferite. L'elementare procedimento lo vedete nella figura che segue...

Iniziamo ...

Ricordiamo, innanzitutto che il cubo ha lato unitario.

Sfrutterò alcune relazioni che dovrebbero essere di dominio pubblico e le scriverò subito.

Dato un triangolo equilatero di lato L il raggio del cerchio circoscritto R vale L√3/3

Dato u7n triangolo equilatero di lato L il raggio del cerchio inscritto r vale L/(2√3)

La Fig. 1 riassume quanto appena detto

Fatte queste premesse, che torneranno utili in seguito, disegniamo in Fig. 2 il nostro cubo in una posizione qualsiasi.

OO' sia la diagonale attorno a cui vogliamo far ruotare il cubo.

Tagliamo il cubo con un piano perpendicolare alla diagonale OO’, passante per i vertici A, B, e C. Questo piano individua il triangolo verde ABC. Analogamente, il piano perpendicolare alla diagonale, passante per A’, B’ e C’ individua il triangolo A’B’C’. I due triangoli sono equilateri,  in quanto i loro lati sono delle diagonali delle facce del cubo e misurano, perciò, √2. Notiamo che abbiamo diviso il cubo in tre parti, quella tra il piano di ABC e il punto O, quella uguale ed opposta tra il piano di A’B’C’ e il punto O’ e quella di mezzo compresa tra i due piani. Occupiamoci , per adesso, delle due parti esterne.

Le due parti esterne sono, ovviamente, delle piramidi a base triangolare (triangolo equilatero di lato √2) e di altezza OH. Ruotando il cubo attorno a OO' la piramide descrive un cono con raggio di base uguale ad HC. Il suo volume sarà quindi pari a:

V = 1/3 π HC² OH

Dobbiamo calcolare i valori di HC e OH in funzione del lato del cubo L = √2.

Sappiamo che il triangolo verde di Fig. 2 è equilatero e che H ha uguale distanza da A, B  C, per costruzione. Possiamo perciò vedere questo triangolo nella direzione OO' = OH, come mostra la Fig. 3.

HA = HC = HB è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo equilat5ero ABC, per ui sappiamo che vale:

HC = AB √3/3 = √2 √3/3 = √2/√3

Per determinare l'altezza del cono OH basta guardare il cubo con la diagonale OO' posizionata in verticale sul piano del foglio (Fig. 4)

E' immediato concludere che tale segmento é pari a 1/3 della diagonale OO'. Ossia, ricordando che se il lato del cubo vale 1 ne segue che OO' = √3,possiamo scrivere:

OH = √3/3

E' banale calcolare il volume del cono superiore...

Vs = 1/3 π HC² OH =  1/3 π  2/3 √3/3

Vs = 2 π /(9 √3)

Per ovvie ragioni di simmetria lo stesso volume si riferisce al cono inferiore con triangolo di base A'B'C' e altezza H'O'...

Vi = 2 π /(9 √3)

Per essere più divulgativi possibile, vediamo, in Fig. 5, il cono di cui abbiamo appena calcolato il volume

Rimane da analizzare la parte più difficile, ossia quella relativa alla rotazione attorno ad OO’ della parte rimanente, compreso tra i due coni. Chiamiamola parte di mezzo.

Guardiamo nuovamente il cubo in Fig. 6, con la diagonale OO’ perpendicolare al foglio, come avevamo fatto in Fig. 3, ma evidenziamo nuovi particolari.

Innanzitutto, disegniamo anche il triangolo A’B’C’, che corrisponde al punto H’. Il raggio HB del cerchio circoscritto al triangolo ABC è il raggio che ci era servito per calcolare il volume del cono superiore. Scriviamolo in altro modo…

HB = √(HL² + LB²)

Tuttavia, notiamo che HL = MB non è altri che la metà del lato del triangolo ABC, ossia √2/2 = 1/V2

HL = √2/2

da cui:

HB = √(1/2 + LB²)

Dobbiamo anche notare che LB è il raggio del cerchio inscritto nel triangolo ABC.

LB = √2/(2√3) = 1/√6 

Attenzione però! Il segmento LB non è costante lungo la diagonale OO'.

Esso  è funzione del punto dell’asse di rotazione compreso tra H e H’. Indichiamo con x l’asse di rotazione OO'. Quando siamo in H, il segmento HM non è altri che il raggio del cerchio inscritto. Scendendo verso H’ esso diminuisce al variare di x. In particolare si annulla proprio quando giungiamo al centro del cubo X (incontro tra le diagonali maggiori) che è anche il punto di mezzo di HH’. Ricomincia poi a crescere per tornare al valore H’M’ = LB quando arriviamo in H’. La Fig. 7 rappresenta in 3D questa situazione in cui abbiamo ingrandito la distanza tra H e X per comprenderla meglio.

Sappiamo già che la distanza tra H e H’ lungo l’asse x vale √3/3. Per ovvie ragioni di simmetria, il centro del cubo X dista dal triangolo ABC la metà di HH’, cioè  V3/6.

L’asse x parte dal centro del cubo, per cui possiamo scrivere LB in funzione di x.

LB varia in modo lineare rispetto a x, ossia LB(x) = kx, dove k è una costante. Quando siamo in H vale V3/6, quando siamo nel centro del cubo X vale 0, quando arriviamo in H’ vale nuovamente LB. In generale, quindi, per qualsiasi valore di x abbiamo un valore di LB che può essere scritto come kx:

HB = √(1/2 + (kx)²)

Dobbiamo  calcolare k... Niente di più facile disegnando la Fig. 8

HM/HX = kx/x

(1/√6)/(√3/6) = k

k = 6/(√3 √6) = (2  3)/(√3√2√3) = 2/√2 = √2

Ne segue che:

HB = √(1/2 + (√2 x)²)

HB = √(1/2 + 2 x²)

Per ogni valore di x, possiamo calcolare il volume del disco sottile di altezza dx

Vx = π HB² dx

V_x =  π (1/2 + 2x²) dx

Per avere il volume V_PM volume della parte di mezzo)  tra x = V3/6 e  x = 0 basta fare l’integrale (somma di tutti i dischi sottili) e poi moltiplicare per 2, data l'uguaglianza tra HX e XH'.

V_PM=  2 π ∫₀^√3/6 (1/2 + 2x²)dx = 2 π  [x/2 + 2x³/3]₀^√3/6  = 2 π ((1/2)(√3/6) + (2/3)(3√3)/(2³3³)) =  2π(1/4√3) + 1/(v3 3³ 2²) = 2π/(1/(4√3) + 1/(√3 36) = π(9 + 1)/(√3 18)) = π 10 /(√3 18)) = π 5/(√3 9)

V_PM = π 5/(√3 9)

Sommando i tre pezzi:

Vtot = Vs + Vi + V_PM = π (4 /(9 √3) + 5/(9 √3))

Vtot = π/√3

L'iperbole che racchiude il volume parte di mezzo durante la sua rotazione è, quindi:

y = √(1/2 + 2x²)

nell'intervallo x = 0 e x = √3/6 e nell'intervallo y = 0.71 e y = 0.82, come mostra la Fig. 9