Conosciamo tutti Erone, a cui si deve la formula per il calcolo dell'area di un triangolo qualsiasi conoscendo solo i suoi lati. Un problema veramente importante anche per le sue applicazioni. Si conosce sicuramente molto meno il suo metodo per la determinazione delle radici quadrate, facilmente generalizzabile a radici di ordine superiore. Oggi basta avere una banale calcolatrice e nessuno si sogna di fare il calcolo a mano. Tuttavia, il metodo di Erone è veramente geniale nella sua semplicità e vale la pena ricordarlo anche se "praticamente" inutile. Va anche notato che riesce ad approssimare il valore corretto molto velocemente.

In realtà il metodo di Erone, o qualcosa di molto simile, era molto probabilmente già stato usato dai babilonesi, come dimostra la tavoletta  YBC 7289 datata tra il 1800 e il 1600 AC, in cui viene riportata la radice quadrata di 2 con ben 5 cifre decimali esatte.

Quasi duemila anni prima di Cristo l'uomo era stato in grado di svolgere calcoli di pura matematica nella regione mesopotamica. Se si pensa a ciò che sta passando oggi quel territorio sembra veramente un assurdo. Torniamo alla matematica, pensando che la storia è ricca di alti e bassi e, magari, tutto cambierà tra qualche centinaio di anni o forse anche molto prima...

Il metodo si formalizza normalmente con un algoritmo algebrico iterativo di facilissima applicazione. Tuttavia esso si basa su un approccio puramente geometrico veramente geniale. In poche parole, si parte da un rettangolo con un lato scelto a caso, che abbia come area proprio il numero di cui si voglia calcolare la radice quadrata e con l'applicazione di medie aritmetiche si trasforma in un quadrato che abbia come lato proprio il numero da ottenere, ricordando, ovviamente, che l'area di un quadrato è proprio pari al lato elevato al quadrato.

Spieghiamolo direttamente con un esempio numerico, in modo da valutare meglio la rapidità con cui si riesce a ottenere un' ottima precisione.

Calcoliamo la radice quadrata di 7, ossia quel numero il cui quadrato è proprio 7.

Iniziamo costruendo il rettangolo di partenza con un lato scelto a caso  che sia, chiaramente, minore di 7. Mettiamoci nelle condizioni peggiori e prendiamo il lato di base b uguale a 1. Ne segue immediatamente che la sua altezza deve essere uguale a 7/1 in modo da ottenere proprio  7 come area. Se avessimo scelto 2 , l'altezza sarebbe stata 7/2, ossia Area A divisa per la base b. Cerchiamo di migliorare il nostro rettangolo e avvicinarlo a un quadrato. Per far ciò dobbiamo trovare un valore intermedio per la base b. Presto fatto, calcoliamo la nuova base facendo la media aritmetica tra base e altezza di partenza. In poche parole sommiamo i valori di partenza e dividiamo per 2.

b1 = 1/2(b + h) = 1/2(b + A/b) = 1/2(1 + 7/1) = 1/2 8 = 4

Abbiamo, ovviamente ottenuto un nuovo valore della base (b1) a cui corrisponde una nuova altezza pari a

h1 =A/b1 = 7/4 = 1.75

In semplici parole, il nuovo rettangolo ha base 4 e altezza 1.75. Beh... il miglioramento sembra molto modesto, ma, ricordiamo che siamo partiti da una base uguale a 1, sicuramente ben lontana dal valore finale.

Cosa possiamo fare? Cambiare nuovamente la base del rettangolo e prendere, come prima, il valor medio tra base e altezza, ossia:

b2 = 1/2(b1 + h1) = 1/2(4 + 7/4) = 2.875

Nuovo rettangolo che ha per base 2.875 e per altezza

h2 = A/b2 = 7/2.875 = 2.435

Un rettangolo decisamente migliore del precedente...

Ripetiamo l'operazione

b3 = 1/2(b2 + h2) = 1/2(2.875 + 2.435) = 2.655

La nuova altezza diventa:

h3 = 7/2.655 = 2.637

Il nostro rettangolo è sempre più... quadrato. Ripetiamo l'operazione precedente ancora una volta:

b4 = 1/2(2.655 + 2.637) = 2.646

Quale sarà la nuova altezza h4?

h4 = 7/2.646 = 2.646

Perfetto il nuovo rettangolo è diventato un quadrato alla terza decimale, per cui possiamo dire che

√7 = 2.646 con 3 decimali esatti.

Ad ogni passaggio successivo si otterrebbero due decimali esatti in più... Tutto sarebbe stato ancora più veloce se avessimo scelto come base iniziale un numero più vicino alla radice di 7, ad esempio 2 o, magari, 2.5 che sappiamo essere sicuramente minore di √7.

Il semplice procedimento geometrico utilizzato può essere espresso con un altrettanto semplice algoritmo iterativo:

x_{i + 1} = 1/2 (x_i + A/x_i)   con i che tende a infinito

Dove ogni x successivo approssima sempre meglio la radice quadrata di A.

Applichiamolo alla radice quadrata di 2, tornando all'antica Babilonia.

x₁ = 1/2(1 + 2/1) = 1.5

x₂ = 1/2(1.5 + 2/1.5) = 1.416667

x₃ = 1/2(1.416667 + 2/1.416667) = 1.414216

x₄ = 1/2(1.414216 + 2/1,414216) = 1.414214

x₅ = 1/2(1.414214 + 2/1.414214) = 1.414214

Al quinto passaggio abbiamo la conferma che i 6 decimali sono esatti!

Qualcuno mi dirà sicuramente: "Ma con le  calcolatrici di oggi, perché sprecare tempo con calcoli fatti mano? Inoltre, per fare le divisioni del procedimento iterativo devo comunque usare la calcolatrice...".  Ci sarebbero molte risposte da poter dare, ma preferisco farlo con un breve e magnifico racconto di Asimov: Nove volte sette, che potete leggere liberamente QUI.

N.B.  Generalizzazione dell'algoritmo

E' facile notare che con il procedimento seguito per la radice quadrata si possono eseguire anche la radici di ordine ennesimo. Per la radice cubica basta partire con un parallelogramma di base quadrata  di lato b. L'altezza è ovviamente data dal numero di cui si vuole la radice cubica divisa per il lato di base b al quadrato (in modo da ottenere un'area del parallelepipedo uguale al numero di cui si vuole la radice).

L'algoritmo diventa:

x_{i + 1} = 1/3(2x_i + A/x_i²)

Ovviamente si fa la media aritmetica di tre valori: due volte la base più l'altezza corrispondente.

Niente ci vieta di andare oltre, verso dimensioni sempre più grandi. Basta scrivere:

x_i+1  = 1/n ((n-1)x_i + A/x_iⁿ)

dove n è l'ordine della radice...

Le n dimensioni non avrebbero spaventato più di tanto gli antichi matematici!