Quando si parla di triangoli non può non venire in mente Erone di Alessandria, capace di calcolare l'area di un triangolo conoscendo solo i suoi lati. La formula risolvente è ben nota a tutti e può essere scritta come segue:

A = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

dove a, b e c sono i lati del triangolo, mentre s = (a+ b + c)/2 è il semiperimetro.

Meno noti forse sono dei triangoli piuttosto speciali, tali da avere tutti i lati pari a numeri interi e capaci di avere intera anche l'area. In altre parole, tali  che A sia intero, ossia che la relazione sotto radice sia un quadrato perfetto. Questi triangoli prendono  il nome di triangoli eroniani. Notiamo anche che ogni triangolo pitagorico (triangoli rettangoli con i lati interi) devono essere triangoli eroniani (si dimostra facilmente...).

Quanti sono i triangoli eroniani? Infiniti... per cui chiedere anche quali siano sarebbe un'impresa impossibile e inutile.

Un problema interessante, però, può nascere dal fatto che un triangolo eroniano deve, per definizione, avere anche il perimetro pari a un numero intero, essendo la somma di numeri interi. Ed ecco, allora, una domanda veramente intrigante con una risposta che non è assolutamente ovvia: "Quanti e quali sono i triangoli eroniani che hanno il perimetro uguale all'area ?". Ovviamente, il significato di "uguale" non avrebbe senso, dato che area e perimetro hanno dimensioni diverse. Uguali significa solo che il numero che li misura è lo stesso.

La risposta a "quanti" potrebbe essere: "Nessuno" o "Infiniti", oppure soltanto un numero finito. Non è ovvio rispondere e, tantomeno lo è la ricerca dei possibili candidati. Non possiamo certo andare per tentativi, dato che sarebbe impresa veramente assurda, date le infinite possibilità di costruire triangoli con area intera. Tuttavia, con conoscenze matematiche veramente elementari (da scuola media) è possibile dare una risposta precisa, usando solo e soltanto tanta logica, capacità che ormai sta scomparendo molto velocemente dal cervello umano.

Non lo proponiamo come "quiz", ma lo risolviamo insieme, evidenziando soprattutto i ragionamenti che permettono la giusta soluzione.

Abbiamo, in pratica, una sola equazione in tre incognite (i lati a, b e c) che lega area e perimetro (formula di Erone) e dobbiamo riuscire a limitare le soluzioni possibili restringendo sempre di più l'insieme in cui cercarle, attraverso riflessioni logiche basate su concetti veramente elementari alla portata veramente di chiunque abbia voglia ancora di ragionare.

Scriviamo l'equazione risolvente:

2s = √(s(s - a)(s - b)(s - c))                  .... (1)

Abbiamo posto la condizione che l'area data dalla formula di Erone sia uguale al perimetro.

Scriviamo il semiperimetro s in funzione di a, b e c

s = (a + b + c)/2

così come le differenze che compaiono sotto radice:

s - a = (a + b + c)/2 - a

s - a = (b + c - a)/2

e, analogamente:

s - b = (a + c - b)/2

s - c = (a + b  - c)/2

La (1) diventa:

2(a + b + c)/2 = √((a + b + c)/2 · (b + c -a)/2 · (a + c - b)/2 · (a + b - c)/2)

Eleviamo a quadrato entrambi i membri

(a + b + c)² = (a + b + c)/2 · (b + c -a)/2 · (a + c - b)/2 · (a + b - c)/2

16 (a + b + c)² = (a + b + c) · (b + c  -a) · (a + c - b) · (a + b - c)

semplificando

16 (a + b + c) =  (b + c  - a) · (a + c - b) · (a + b - c)                 .... (2)

Potremmo continuare a eseguire le moltiplicazioni, ma non sembra sia la migliore alternativa. Conviene, allora, cercare di semplificare la scrittura attraverso un cambio di variabile.

Poniamo

b + c - a = x

a + c - b = y                .... (3)

a + b - c = z

La conoscenza di x, y e z porterebbe facilmente alla conoscenza di a, b e c (tre equazioni in tre incognite).

Sommiamo a due a due le tre equazioni della (3)

b + c - a + a + c - b = x + y

a + c - b +a + b - c = y + z

b + c - a + a + b - c = x + z

Semplificandole, otteniamo

2c = x + y

2a = y + z                      .... (4)

2b = x + z

Sommiamole...

2c + 2a + 2b = x + y + y + z + x + z

2(a + b +c) = 2(x + y + z)

a + b + c = x + y + z

Sostituiamo quanto trovato nella (2) che diventa:

xyz = 16(x + y + z)                  ... (5)

x, y e z, per come sono stati definiti devono essere numeri interi, dato che sono somma o sottrazioni di numeri interi.

x, y, z  NUMERI INTERI 

Potrebbero, però, non essere positivi. Verifichiamo...

Sappiamo che a, b e c sono numeri positivi, per cui, dalle (4), abbiamo anche che:

a = (y + z)/2 > 0

b = (x + z)/2 > 0

c = (x + y)/2 > 0

Se a è positivo deve esserlo anche (y + z). Ne segue che:

y + z > 0

x + z > 0                     .... (6)

x + y > 0

sommando

2(x + y + z) > 0

Per cui:

x + y + z > 0

Riprendiamo la (5)

xyz = 16(x + y + z)   

16 è maggiore di zero. così come lo è anche x + y + z

Ne segue che xyz DEVE essere maggiore di zero (positivo per positivo deve dare un numero positivo)

Se x > 0 e z < 0   dovrebbe anche essere y < 0   ma la (6) ci dice che z + y > 0 e quindi non può verificarsi.

Analogamente se x < 0  e z> 0 deve nuovamente essere y < 0, ma la (6) ci dice che x + y > 0.

Affinché sia x + y + z > o e xyz> 0 deve, perciò, essere che:

 x, y e z  NUMERI POSITIVI

Notiamo che x, y e z sono partiti come numeri reali, poi sono passati nel sottinsieme dei numeri interi e, adesso, sono passati nel sottinsieme dei numeri positivi. Il campo di ricerca di x, y e z (ossia di a, b, c) si sta riducendo sempre di più...

Cerchiamo di proseguire su questa strada.

Dimostriamo che x, y e z sono numeri pari.

Sappiamo  dalla (4) che

x + y = 2c

x + z = 2b

y + z = 2a

Dato che a, b e c sono numeri interi e vengono moltiplicati per due DEVONO essere numeri PARI. Ne segue che

x + y   = pari

x + z   = pari                 .... (7)

y + z   = pari

Affinché la somma di due numeri interi e positivi sia pari può capitare solo e soltanto essere solo e soltanto se tutti e due i numeri sono pari o dispari , ossia:

pari + pari = pari

dispari + dispari = pari

Ne segue che x, y e z devono essere o tutti e tre pari o tutti e tre dispari.

Riprendiamo la (5)

xyz = 16(x + y + z)

Se tutti e tre x,y e z fossero dispari, avremmo che xyz sarebbe un numero dispari, così come lo sarebbe(x + y + z). Avremmo che un numero dispari sarebbe uguale a un numero pari (16) moltiplicato per un numero dispari. Ma ciò sarebbe impossibile perché un numero pari per uno dispari deve dare come risultato un numeri pari.

Si conclude che

x, y e z NUMERI  PARI

Potremmo proseguire senza ulteriori sostituzioni, ma per facilità di calcolo, possiamo scrivere x, y e z, come

x = 2X

y = 2Y

z = 2Z

Se x, y e z sono pari possono, infatti, essere scritti come un numero moltiplicato per 2. X, Y, Z potrebbero anche essere dispari, ma poco importa, dato che pari per 2 o dispari per 2 rimane sempre un numero pari. X, Y e Z sono comunque interi e positivi perché lo sono x, y e z.

Riprendiamo ancora la (5) e sostituiamo x, y e z con 2X, 2Y e 2Z

xyz = 16(x + y + z)

8 XYZ = 16 2(X + Y + Z)

XYZ = 4 (X + Y + Z)                            .... (8)

A questo punto è fondamentale notare che l'equazione ottenuta è simmetrica, ossia X, Y e Z possono essere tranquillamente scambiati tra di loro. Non si perde in generalità, perciò, ad assumere che

X ≤ Y ≤ Z

In parole più tecniche questo segue dal fatto che sia il prodotto che la somma sono operazioni commutative.

Non siamo lontani, come ragionamento, dal risultato finale.

Possiamo infatti scrivere che

XYZ ≤ 4(Z + Z + Z)

ossia

XYZ ≤ 12 Z          .... (9)

Semplifichiamo, dividendo entrambi i termini per Z (lo possiamo fare perché Z non può essere uguale a zero)

XY ≤ 12

ma possiamo ancora scrivere che:

X X ≤ XY ≤ 12

X² ≤ 12

Questo risultato ci porta a  restringere di molto i possibili valori di X.  X² deve essere, infatti, un quadrato perfetto compreso tra 1 e 12. Ricordiamo che X deve essere un numero intero e positivo. Ne esistono soltanto tre: X = 1, X = 2, X = 3.

Tutte le soluzioni che possono dare triangoli di uguale area e di uguale perimetro devono avere come X (legata a x e quindi ad a, b e c) i valori 1 o 2 o 3.

Cominciamo con X = 1

X = 1

La (8) diventa

1 Y Z = 4(1 + Y + Z)

YZ = 4 + 4Y + 4Z

YZ - 4Y - 4Z = 4

Risolviamola con un semplice "trucchetto".  Cerchiamo, cioè, di scriverla come PRODOTTO di due termini, uno che contenga Y e uno Z. Non è difficile, basta ragionare e notare che al primo membro manca solo un 16 per ottenere quanto vogliamo. Aggiungiamolo perciò a entrambi i membri 16...

YZ - 4Y - 4Z + 16 = 16 + 4

Y(Z - 4) - 4(Z - 4) = 20

(Y - 4)(Z - 4) = 20

Per riuscire a ottenere come risultato 20 vi sono solo tre possibilità (Y e Z numeri interi):

1 · 20 = 20

2 · 10 = 20

4 ·  5   = 20

Ossia

Y - 4 = 1

Z - 4 = 20

 

Y - 4 = 2

Z - 4 = 10

 

Y - 4 = 4

Z - 4 =  5

 

Sono infatti escluse le soluzioni con il segno meno (- 1 e - 20 e analoghe) dato che Y e Z sono positivi. Ma anche quelle con Y > Z dato che abbiamo posto Y <= Z

Ne segue che esistono tre coppie di soluzioni per Y e Z

Y = 5

Z = 24

 

Y = 6

Z = 14

 

Y = 8

Z = 9

Ricapitolando abbiamo le tre terne

X = 1, Y = 5, Z = 24

X = 1, Y = 6, Z = 14

X = 1, Y = 8, Z = 9

 

Passiamo a X = 2

X = 2

La (8) diventa:

2YZ = 4(2 + Y + Z)

2YZ - 4Y - 4Z = 8

YZ – 2Y – 2Z = 4

Operiamo come nel caso precedente e aggiungiamo 4  a entrambi i membri

YZ - 2Y– 2Z + 4 = 8

(Y – 2)(Z – 2) = 8

Per ottenere 8 vi sono solo due possibilità

8 = 1 · 8

8 = 2 · 4

da cui

Y – 2 = 1

Y = 3

Z – 2 = 8

Z = 10

 

Y – 2 = 2

Y = 4

Z – 2 = 4

Z = 6

Aggiungiamo, quindi, altre due soluzioni:

X = 2, Y = 3, Z = 10

X = 2,  Y = 4, Z = 6

 

Ci rimane solo da provare con X = 3

X = 3

La (8) diventa:

3 YZ = 4(X + Y + Z)

Risolviamola in modo più rapido...

3YZ ≤ 4(Z + Z + Z)                (X ≤Y ≤ Z)

3YZ ≤ 12 Z

semplificando...

Y ≤ 4

Dato che X = 3 non può essere altri che Y = 3  oppure Y = 4

Proviamo con Y = 3, inserendola nella (8)

3 · 3Z = 4(3 + 3 + Z)

9Z = 24 + 4Z

5Z = 24

Z = 24/5

IMPOSSIBILE perché Z deve essere intero

Proviamo con Y = 4

3 · 4Z =  4(3 + 4 + Z)

12Z = 4(7 + Z)

3Z = 7 + Z

Z = 7/2

IMPOSSIBILE perché Z deve essere intero.

Il caso con X = 3 non porta nuove soluzioni possibili.

In conclusione abbiamo ottenuto solo 5 soluzioni.

X = 1, Y = 5, Z = 24

X = 1, Y = 6, Z = 14

X = 1, Y = 8, Z = 9

X = 2, Y = 3, Z = 10

X = 2, Y = 4, Z = 6

E', ora, facilissimo ottenere i valori di x, y e z

Basta raddoppiare i valori di X,Y e Z

x = 2, y = 10, z = 48

x = 2, y= 12, z = 28

x = 2, y = 16, z = 18

x = 4, y = 6, z = 20

x = 4, y = 8, z = 12

Non resta, infine, che passare ai valori di a, b e c attraverso le relazioni (4):

x = 2, y = 10, z = 48

(y + z)/2 = a

(x + z)/2 = b

(x + y)/2 = c

a = 12/2 = 6

b = 58/2 = 29

c = 50/2 = 25

e, in modo analogo, le altre quattro terne:

I nostri 5 triangoli che hanno lati interi e area intera uguale al perimetro  sono i seguenti:

6, 25, 29

9, 10, 17

7, 15, 20

5, 12, 13

6, 8, 10

e li possiamo vedere nella figura che segue

Notiamo che i primi tre (azzurri) sono ottusangoli, mentre gli ultimi due sono rettangoli, ossia pitagorici.

Un magnifico esempio di riflessioni logiche, non vi pare?

N.B.:

Da quanto visto questi cinque triangoli hanno la stessa area e lo stesso perimetro. Tuttavia, sappiamo che il raggio del cerchio inscritto in un triangolo è uguale al rapporto tra area e semiperimetro (la dimostrazione è veramente facile). Ne segue, quindi, che tutti e 5 i triangoli trovati devono avere lo stesso raggio del cerchio inscritto, che è pari a 2. La figura lo illustra molto bene...