In questo articolo parleremo di città americane, ma potevamo anche parlare di molte altre cose sia concrete che astratte. Infatti, ci dedicheremo agli insiemi e alla loro rappresentazioni. Sul nostro Circolo vi sono già molti e bellissimi articoli del grande Umberto, prematuramente scomparso, dedicati agli insiemi ed a quelli infiniti , in particolare. Qui voleremo molto più in basso, ricordando che l'insiemistica è utilizzata fin dalle scuole elementari e medie.

Immaginiamo di voler rappresentare graficamente un certo numero di insiemi per capire le relazioni che potrebbero esistere tra loro. Sembra un gioco semplice (e lo è), ma fa in fretta a diventare anche molto complesso.

Facciamo un esempio banale e consideriamo due insiemi di elementi di cui non conosciamo a priori  le caratteristiche. Per esempio, rappresentiamo due insiemi composti dalle capitali degli Stati Uniti e dalle città più popolose di ogni singolo Stato.

Ho scelto questo esempio perché da bambino mi aveva sempre stupito il fatto che spesso e volentieri le capitali dei vari stati statunitensi erano piccole città e non certo le loro grandi metropoli.  La capitale dello stato di New York non è assolutamente l’immensa New York,  con i suoi quasi 9 milioni di abitanti, ma la cittadina di Albany che non arriva nemmeno a 100 000.

Un confronto tra due insiemi particolarmente interessante che merita uno studio abbastanza articolato. Un lavoro che sembrerebbe perfetto  per una Intelligenza Artificiale, che dovrebbe conoscere vita, morte e miracoli degli Stati Uniti e delle sue città. Non usatela! Ancora una volta, anche senza proporre problemi di matematica e geometria, la ChapGPT, che inserisce sempre la sua risposta ai nostri quesiti, anche se non voluta, riporta soluzioni errate.

Tuttavia, noi non siamo interessati, per il momento,  al risultato di questa ricerca, ma solo ad una sua rappresentazione grafica. Il modo migliore e più esaustivo è il diagramma di Venn.

Diagramma di Eulero Venn

Esso viene spesso associato anche al nome di Eulero che per primo ebbe questa intuizione, ma che poi è stata "migliorata" da Venn in modo da essere ancora più esaustiva.

Identifichiamo prima l'insieme ben più largo che contenga, ad esempio, tutte le città del mondo. Lo possiamo chiamare "Insieme Universo". Potremmo anche restringerlo e considerare solo l'insieme delle  città degli stati Uniti, insieme che sicuramente contiene tutto ciò che vogliamo studiare e confrontare. Tracciamo un grande cerchio che rappresenti questo "Universo". Al suo interno disegniamo due cerchi più piccoli, rappresentanti le città più grandi di ogni singolo stato e le sue capitali.

Due insiemi che hanno il vantaggio di contenere lo stesso numero di elementi: 50 per le capitali e 50 per le città più grandi. Senza sapere ancora il risultato mettiamo in evidenza l'intersezione tra questi due insiemi, ossia proprio la zona che rappresenta le città più popolose che siano anche capitali di uno stato. Seguendo Venn non dobbiamo preoccuparci, operando in tal modo, di sapere a priori se esiste tale zona (sottinsieme) oppure sia del tutto vuoto, ossia, in pratica, che non esista nessuna capitale che non sia anche la città più popolosa di tale stato. E nemmeno, del fatto che potrebbe essere vero il contrario ossia che tutte le capitali siano anche le città più popolose, ossia un insieme sia del tutto uguale al secondo.

Il diagramma di Venn, infatti, rappresenta tutte le possibili relazioni tra insiemi, lasciando aperte tutte le possibilità. Al limite, compariranno, alla fine, degli insiemi vuoti (senza elementi). Tuttavia, in tal modo, se dovesse comparire un nuovo elemento inaspettato,  avrebbe comunque e sicuramente una zona già preparata per poterlo accogliere.

Proprio in questo senso il digramma di Venn differisce dal diagramma di Eulero, il quale evidenzia  solo le zone realmente occupate. In particolare, se nessuna capitale fosse la città più grande dello stato, il diagramma di Eulero disegnerebbe due insiemi distinti, senza intersezione, mentre se tutte le capitali fossero anche le città più grandi il diagramma di Eulero mostrerebbe un unico insieme, dato che il numero di città da considerare sarebbe uguale nei due insiemi.

Ribadiamo che, anche se sovrabbondante, il diagramma di Venn permette automaticamente l'inserimento di qualsiasi nuovo elemento che abbia la giusta caratteristica per essere inserito in uno o più degli insiemi già disegnati.

Torniamo al nostro diagramma di Venn (Fig. 1) sulle capitali e sulle città più popoloso dei vari stati.

Si vedono chiaramente 4 zone. Quella comune ai due insiemi, quella delle capitali che non sono le città più grandi, quella delle città più popolose che non sono capitali e quella di tutte le città degli USA che non sono né capitali né  città più popolose di uno  stato. La prima zona contiene 17 città, la seconda e la terza devono contenere lo stesso numero di città, dato che ogni stato può inserire un solo elemento (50 per ciascun insieme), ossia 50 - 17 = 33. Beh, tutto veramente facile e adatto a insegnare l'insiemistica anche agli alunni delle elementari. Ovviamente, per dare i ... numeri (giusti) è necessario conoscere bene i due insiemi di partenza, ma questa è un'altra storia e, come visto, non bisogna affidarsi all'IA automatica.

Il diagramma di Venn, però, è molto utile in moltissimi campi e non solo in quello dell'insegnamento nelle scuole. Esso è uno strumento importante per il confronto dei dati e la misura delle probabilità. Può evidenziare differenze e somiglianze tra un qualsiasi gruppo di insiemi, che possono non avere niente o poco a che fare con la matematica, come anche solo concetti reali o astratti. Non per niente,  ha acquistato ormai una grande importanza negli affari e in vari campi dell'antropologia.

Ma torniamo alle nostre città americane.

Vediamo di complicare un poco il digramma. Per far ciò, inseriamo nel nostro Universo, un nuovo, ben più grande, insieme, ossia quello delle città statunitensi che superano i 100 000 abitanti. L'insieme Universo (tutte le città americane) vede cosi al suo interno tre insiemi il cui diagramma di Venn  vuole descrivere tutte le possibili relazioni tra loro. Quante zone avremo di fronte. Inseriamo i nostri tre cerchi-insiemi e costruiamo la Fig. 2.

E' facile vedere che in tal modo vengono evidenziate otto zone. Sono tutte quelle possibili teoricamente? Proviamo a vederle una per una. Coloriamo con colori diversi i tre insiemi di partenza, lasciando in bianco la parte di Universo che li contorna, ossia tutte le città americane. L'insieme capitali lo coloriamo in azzurro, l'insieme delle città più grandi di ogni singolo stato lo coloriamo in rosa, mentre quello delle città superiori a 100 000 abitanti in giallo. Poniamo dei numeri, da 1 a 8, alle singole regioni secondo cui s'interfacciano  i tre insiemi all'interno dell'Universo.

Ragioniamo con attenzione...

Nella zona 1 abbiamo le città capitali che hanno meno di 100 000 abitanti e che non sono le più popolose del loro stato.

Nella zona 2 abbiamo le città capitali che sono anche le più popolose, ma che hanno meno di 100 000 abitanti

Nella zona 3 abbiamo le città che sono le più popolose, ma non sono capitali, e hanno meno di 100 000 abitanti

Nella zona 4 abbiamo le capitali che non sono le più popolose ma hanno più di  100 000 abitanti

Nella zona 5 abbiamo le capitali che sono anche le più popolose e hanno  più di 100 000 abitanti

Nella zona 6 abbiamo le città più popolose dello stato che hanno più di 100 000 abitanti ma non sono le capitali

Nella zona 7 abbiamo le città non capitali che non sono le più popolose dello stato, ma hanno più di 100 000 abitanti

Nella zona 8 abbiamo tutte le città degli Stati Uniti con meno di 100 000 abitanti che non sono né capitali né le più popolose del loro stato.

Bene! Possiamo dire tranquillamente che abbiamo evidenziato gli elementi di ogni  possibile zona e, andando a studiare i singoli insiemi, che non esistono zone senza elementi, anche se le zone 2 e 3 sono proprio al limite  (rispettivamente 2 e 5 città soltanto )...

Notiamo anche che l'unione delle zone 2 e 5 individua proprio quanto trovato in Fig.1, ossia le 17 città capitali, che sono le più popolose, indipendentemente dal numero di abitanti che hanno.

Con un banale diagramma di questo tipo si possono preparare molti esercizi numerici, dando solo alcune informazioni su qualche insieme. Esercizi che possono essere di vario livello sia nelle elementari che nelle medie. Dovrebbero essere tutti alla portata delle superiori, ma oggi... chissà!

Così come lo abbiamo presentato, resta comunque un diagramma  utile e interessante che potrebbe  mostrare qualche situazione inaspettata  in chi non conosce bene la geografia urbana degli USA. Sarebbe anche bello, a questo punto, andare a riempire con i nomi le varie zone. Io l'ho fatto...

Fino a qui siamo stati nel "semplice". Adesso, però, facciamo ancora un passo in avanti e vediamo come sono cresciute le varie zone del diagramma a partire dall'inizio.  Se non inserivamo nessun insieme nell'Universo ci trovavamo di fronte a una sola zona, proprio l'Universo. Se inserivamo un insieme avevamo due zone. Inserendo due insiemi abbiamo ottenuto 4 zone e inserendone 3 abbiamo trovato 8 zone. In poche parole, il numero di zone possibili è pari a  2 elevato al numero di insiemi inseriti:

2⁰ = 1

2¹= 2

2² = 4

2³ = 8

Calcoliamo le possibili combinazioni **

Questo risultato può essere facilmente spiegabile per via matematica (semplice) calcolando per un certo insieme di n elementi tutte le combinazioni  che si possono formare, estraendo k elementi, con k che va da 1 a n. In altre parole, parliamo proprio delle zone precedenti.

Siano A, B e C gli elementi dell'insieme di partenza. Attenzione! Per insieme di partenza intendiamo i tre insiemi contenenti le città. Ossia, A sta per l'insieme capitali, B per l'insieme "più popolose", C per l'insieme" più di 100 000 abitanti". L'insieme di partenza ha, perciò, n = 3 elementi, Calcoliamo quanti gruppi (le nostre zone) si possono formare con k = 1 elemento. Beh... è banale, si possono estrarre 3 gruppi. Quanti gruppi da 2 elementi? E' nuovamente facile arrivarci. I  possibili gruppi composti da due elementi sono AB, AC, e BC, dato che non ci interessa l'ordine (AB = BA).  Quanti gruppi da 3? Banalissimo! Tutto l'insieme di partenza contiene tre elementi, per cui vi è un solo modo per estrarne 3: considerare tutto l'insieme di partenza, ABC.

Non ci resta che sommarli insieme e otteniamo 3 da 1 (a, b e c), 3 da 2 (ab, ac, bc) e 1 da 3 (abc), per un totale di 3 + 3 + 1 = 7 modi possibili. A questi va sempre aggiunto anche il risultato per k = o. Quanti sotto gruppi esistono con nessun elemento dell'insieme di partenza. Beh, è ancora facile dirlo: uno e uno solo, ossia quello ESTERNO all'insieme di partenza, proprio quello che abbiamo chiamato Universo e che contiene tutte le città degli Stati Uniti.

Traferiamo questo ragionamento ai nostri insiemi "cittadini". I tre elementi di partenza sono proprio i tre insiemi delle città capitali, delle città più popolose e delle città con più di 100 000 abitanti. Quando cerchiamo i gruppi composti da un solo elemento (k = 1) cerchiamo in pratica le zone formate SOLO dalle città capitali (A), SOLO dalle città più popolose dello stato(B) e SOLO dalle città superiori ai 100 000 abitanti (C). Quando cerchiamo i gruppi formati da due elementi (k = 2) vuol dire che cerchiamo i gruppi formati da coppie di elementi di partenza, ossia (AB), (AC) e (BC), ossia le zone formate dalle città capitali che sono anche le più popolose dello stato, quello formato dalle città capitali che sono anche superiori ai 100 000 abitanti e quelle delle città più popolose superiori ai 100 000 abitanti. Infine, quando vogliamo le zone delle citta capitali che sono le più popolose e abbiano superato i 100000 abitanti, abbiamo un solo gruppo (ABC). In tal modo abbiamo calcolato tutte le possibili connessioni tra gli elementi di partenza che sono proprio i tre insiemi cittadini.

Abbiamo fatto i calcoli a mente, dato che è banale contare il numero dei vari gruppi, ma, in generale, ciò che dobbiamo fare, per sapere quante zone esistono, è calcolare e sommare tra loro i coefficienti binomiali di n elementi presi a gruppi di k che va da zero a n.

Proviamo a fare i conti per il caso n = 2 e 0<=k<=2, ricordando che 0! = 1

k = 0         Numero zone= n!/(n - k)!k! = 2!/(2 -0)!0! = 2!/2! = 1      ( che è proprio la zona di solo Universo)

k = 1         Numero zone= 2!/(2 - 1)!1!  =  2/1 = 2  (che sono le zone che hanno solo capitali o solo città più popolose)

k = 2         Numero zone = 2!(2 - 2)! 2!  = 2/2  = 1 (che è la zona che contiene sia le città capitali che quelle più popolose)

Sommiamo le zone ottenute e troviamo proprio 4 (1 + 2 + 1) , ossia 2² dove l'esponente è proprio il valore di n.

Facciamo anche il caso con n = 3

k = 0         N. z. = 3!/(3 - 0)!  = 3!/3! = 1

k = 1          N. z. = 3!/(3 - 1)!  = 3 2!/2! = 3

k = 2          N. z. = 3!/(3- 2)!2! = 3 2!/2! = 3

k = 3          N. z. = 3!/(3 - 3)! 3! = 3!/3! = 1

Totale = 8 , ossia 2³

E se inserissimo un nuovo insieme? Quante zone dovremmo trovare in totale? Ad esempio potremmo voler sapere quante città sono attraversate da un fiume. Gli elementi di partenza sarebbero adesso 4 e il calcolo appena descritto ci porterebbe a 2⁴ = 16 gruppi (o zone).

Scriviamo per esteso i nostro conti...

k = 0                     4!/(4!0!)    = 1

k = 1                      4!/(3!1!) = 4

k = 2                      4!/(2! 2!) = 6

k = 3                      4!/(1!3!) =  4

k = 4                       4!/(0!4!) = 1

Totale proprio uguale a 16.

Prendiamo i nostri cerchi (che sono diventati 4) e inseriamoli nell'Universo come mostrato in Fig. 3 ...

Quiz

Tutto bene? Vogliamo provare a contare le zone individuate? ... No, non va affatto bene! Sono  segnate solo 14 zone contro le 16 che ci aspettavamo. Quali mancano? Come fare a rappresentare anche queste due?

Per adesso lascio a voi la risposta... Se, come temo, nessuno risponderà, inserirò la soluzione e qualche altra considerazione tra qualche giorno.