Il titolo di questo articolo è una domanda che sembrerebbe avere una risposta univoca e banale. E, invece, la mia risposta è piuttosto vaga e indecisa. Com'è mai possibile? Provate a pensarci sopra e vediamo se capite il perché.

Beh, pensate a Flatlandia... Tutto dipende, infatti, dallo spazio in cui viviamo.

Parlando di Dante e della sua rappresentazione del "mondo" sia terreno che celeste abbiamo discusso a lungo dell'ipersfera, ossia di una sfera a 4 dimensioni. Sappiamo anche che la relatività di Einstein ha introdotto una coordinata in più per descrivere lo spaziotempo. Sembra proprio che le quattro  dimensioni siano un qualcosa di realistico, non solo da un punto di vista matematico. Inoltre, la teoria delle stringhe tende addirittura ad aumentare di molto le dimensioni. Ne consegue che una trattazione puramente geometrica delle n dimensioni acquista sempre di più un'importanza non solo astratta ma, anche "materiale". Vedremo anche che certi integrali e certe funzioni di cui abbiamo parlato QUI e QUI acquistano un'importanza concreta e decisiva per definire esattamente ciò che stiamo cercando.

Non spaventatevi, però... faremo solo riferimento a questi concetti, inserendo il calcolo più difficile nell'appendice destinata ai più preparati e/o volenterosi.

Mettiamo subito in chiaro che la domanda del titolo ha un ruolo abbastanza marginale e il vero scopo è proprio quello di fare una trattazione puramente geometrica degli spazi a n dimensioni e vedere come determinare lo spazio contenuto in una sfera al variare delle dimensioni. Chiamiamo questa figura  ipersfera e definiamo come ipervolume la parte di "spazio" che sia a una distanza non superiore al raggio r dal centro.

Consideriamo una sfera e cerchiamo di immaginarla nelle sue varie possibili dimensioni. Cominciamo con la dimensione 1. Cos'è una sfera? La regione di spazio che è contenuta nella figura composta da tutti i punti che hanno distanza r da un punto centrale O. Nello spazio a una sola dimensione, ossia su una retta, Prendiamo un punto O e individuiamo due altri punti P1 e P2, che abbiano distanza r da O. Bene la lunghezza del segmento P1P2 è l'equivalente di una sfera, in quanto è proprio formato da tutti i punti o - se preferite- dallo spazio (a una dimensione) compreso tra P1 e P2, ossia dai due punti a distanza r da O. Questa lunghezza P1P2  può essere considerata il volume a una dimensione del segmento P1P2. Esso è ovviamente pari a 2r.

Attenzione: quanto appena detto è la definizione di una sfera a 1 dimensione. Ma se considerassimo una curva chiusa (la circonferenza) di raggio r, potremmo anche dire che nello spazio curvo a 1 dimensione, ossia la circonferenza, la lunghezza di tale curva non sarebbe altri che 2πr. Restiamo comunque nello spazio euclideo e proseguiamo, tenendo conto di questo fondamentale risultato.

Passiamo alle due dimensioni e disegniamo una circonferenza. Bene, essa è formata da tutti i punti che abbiano distanza r da C. All'interno della circonferenza abbiamo una parte di spazio il cui "volume" non è altri che l'area del cerchio. Come fare a determinarla.

Conosciamo già la lunghezza di una circonferenza (2πr). Bene, prendiamo un anello all'interno del nostro cerchio e immaginiamo che esso abbia una larghezza molto piccola dx. Possiamo, in prima approssimazione, considerare il suo "volume" come 2πx · dx. Dividiamo  l'intero spazio del cerchio in tanti piccolissimi anelli di larghezza dx e lunghezza 2πx, come mostrato in Fig. 1.

Sommiamo tutti questi anelli e facciamo tendere il loro numero a infinito, ossia rendiamo sempre più piccola la larghezza dx.  In altre parole, integriamo tra o e r questi infinitesimi anelli e troviamo il volume a due dimensioni del cerchio, che sarebbe la sua superficie nel nostro mondo a 3D.

V2 = ∫₀^r 2πx dx = 2π[x²/2]_o^r = πr²

Questa è la ben nota area del cerchio che corrisponde al volume di una sfera a due dimensioni.

Passiamo a una "vera" sfera, quella a 3 dimensioni. Possiamo usare una strategia simile a quella adottata per il cerchio.  Partiamo dalla conoscenza della superficie sferica e consideriamo la nostra sfera a 3D come una "cipolla" composta da tante superfici sferiche di spessore piccolissimo dx, mostrata in Fig. 3.

Facendo la somma di tutte questi strati, per un numero di strati che tende a infinito, arriviamo, come prima, all'integrale

V3 = ∫₀^r 4πx² dx = 4π[x³/3]₀^r = 4/3πr³

E abbiamo trovato proprio il volume della sfera a tre dimensioni. Perché, allora non continuare?

Basterebbe, adesso, considerare la superficie sferica a 4 dimensioni e creare una nuova cipolla i cui strati siano proprio le superfici sferiche a 4D. Le conosciamo? No, non ancora, e quindi dobbiamo prima determinare queste ultime e poi integrarle tra o e r per ottenere il volume.

Per far ciò le cose si complicano e abbiamo bisogno di andare a recuperare due concetti che abbiamo già descritto: l'integrale di Gauss e la funzione Gamma di Eulero. La faccenda è di difficoltà decisamente superiore ai due asterischi, per cui  riporto una sua descrizione in appendice, in modo abbastanza compatto, considerando come conosciuti alcuni passaggi già discussi negli articoli sullo Jacobiano (e sulle coordinate polari e sferiche), sull'integrale di Gauss e sulla funzione Gamma. Per adesso prendiamo come buoni i risultati ottenuti e facciamo alcune considerazioni decisamente interessanti, ma sicuramente più semplici.

Inseriamo una tabella che riassuma i risultati ottenuti, sia per le superfici che per i volumi a n dimensioni, aggiungendo anche le loro misure per un valore unitario del raggio.

Notiamo, innanzitutto, che conoscendo i volumi a n dimensioni è immediato ricavare subito le relative ipersuperfici.  Queste ultime non sono altro che le derivate dei volumi corrispondenti.  D'altra parte è proprio integrando la superficie che abbiamo determinato il volume e quindi era ovvio aspettarselo. Questa conclusione è proprio ciò che permette di utilizzare il metodo " a cipolla" anche per ipersfere a n>3 dimensioni.

Veniamo adesso al titolo di questo articolo. Cosa succede all'ipervolume di una ipersfera facendo crescere il numero di dimensioni?  Attenzione, però ... vedendo le cose in questo modo confronteremmo mele con arance! Non ha infatti senso confrontare metri quadri con metri cubi e via dicendo. E' necessario, perciò, fare un confronto con ipervolumi di figure più intuitive, come ad esempio l'ipercubo. Conviene anche imporre un raggio unitario in modo che l'unità di misura sia sempre uguale a 1. Facendo in questo modo ci accorgiamo che il volume dell'ipercubo deve rimanere sempre lo stesso, dato che esso vale rⁿ = 1. Il volume dell'ipersfera, invece, non è costante.

Nel caso di due dimensioni dobbiamo confrontare un quadrato di lato 1 con un cerchio di raggio 1 e vince decisamente la sfera a 2D (π contro 1). Per una sfera a 3-D la sfera continua a vincere (4π/3  contro sempre 1), ma cosa succede per dimensioni maggiori? Il volume della sfera di raggio unitario raggiunge un valore massimo per n = 5, ma poi inizia a diminuire fino a che per n uguale a 13 essa è costretta ad avere un valore di volume inferiore a 1, ossia a quello dell'ipercubo, come mostra la Fig. 3, in cui si rappresenta la curva relativa ai volumi dell'ipersfera in funzione della dimensione n e la retta orizzontale dei volumi dell'ipercubo.

Questa specie di paradosso, che tale però non è a causa di spazi di cui non abbiamo certo una visione intuitiva, potrebbe forse essere compreso ancora meglio considerando un quadrato e il cerchio tangente internamente ad esso. Abbiamo un lato del quadrato che è uguale al diametro del cerchio(2r). L'area del quadrato vale, perciò, (2r)² = 4r², mentre quello del cerchio vale π r². Il loro rapporto è 4/π. Aumentando le dimensioni, il rapporto tra  i due ipervolumi cresce a favore del cubo: l'ipercubo in 3 dimensioni ha un volume pari a 8r³, mentre la sfera ha volume pari a (4/3)πr³. Il loro rapporto è diventato 8/(4π/3) = 6/π . In altre parole, lo spazio tra ipercubo e ipersfera cresce con le dimensioni. E' facile capire perché: la distanza massima tra punti dell'ipercubo è rappresentata dalla diagonale che è sempre uguale al lato moltiplicato per la radice quadrata delle dimensioni : √2(2r), √3 (2r) e via dicendo, mentre per la sfera la distanza massima tra due punti vale sempre 2r. In altre parole, lo spazio a disposizione dell'ipercubo cresce, mentre per la sfera deve rimanere costante.   Sembrerebbe quasi che nell'ipercubo al crescere delle dimensioni la misura dello spazio disponibile per l'ipercubo cresca, come forse sarebbe intuitivo, mentre nell'ipersfera questa entità geometrica si "accartocci" su se stessa e alla fine la misura dello  spazio a disposizione si annulli.

Teniamo conto che queste sono riflessioni che cercano di dare una visione geometrica conforme allo spazio in cui viviamo e ben poco si avvicinano a spazi di dimensioni maggiori. Se non ci credete provate a chiedere al povero quadrato di Flatlandia!

Infatti, noi possiamo comprendere come il quadrato, nel suo mondo a due dimensioni, possa  vedere il transito di una sfera come una sequenza di cerchi (in realtà segmenti con sfumature di colore variabili), ma sarebbe ben più difficile pensare a un cubo a tre dimensioni (come siamo noi...) che assista al p0assaggio di una ipersfera a 4 dimensioni. Sarebbe soltanto una sequenza di sfere a tre dimensioni? Direi proprio di no... La stessa sfera del romanzo, teoricamente più evoluta,  limita la propria visione a ciò che appare a lei come la migliore spiegazione. Infatti, quando il quadrato ipotizza la possibilità di avere quattro, cinque, sei o più dimensioni, la sfera afferma con sussiego che il mondo ha solo tre dimensioni e non ne può avere di più. Si dimostra meno riflessiva del quadrato, convinta di avergli insegnato la perfezione. Mancanza di fantasia e di capacità di estrapolazioni astratte? Sicuramente sì. Nel romanzo la sfera appare nuovamente al quadrato, affermando che effettivamente è possibile proseguire all'infinito nella ricerca di altre dimensioni. Saremo capaci di ammetterlo anche anche noi in un mondo che sembra svilupparsi attraverso una visione sempre più conservatrice e utilitarista e  offusca sempre di più le capacità intellettuali e creative del proprio cervello?

Appendice: Come ricavare un ipervolume (aiutati da Gauss ed Eulero) ****

Ribadiamo, innanzitutto, il fatto che l'integrale dell'ipersuperficie è proprio il volume cercato.  Notiamo, inoltre,  che le ipersuperfici hanno un valore che è dato dall'ipersuperficie di raggio unitario (ovviamente non dipendente da r) moltiplicato sempre per il raggio elevato a (n - 1), mentre i volumi presentano r elevato all'ennesima potenza.

Sintetizzando:

Sn(r) = Sn(1) r^{(n -1)}

Vn(r) = Vn(1) rⁿ

E', perciò, fondamentale ricavare i valori dei coefficienti numerici Sn(1) e poi quelli di Vn(1).

Iniziamo, considerando un integrale "multiplo" (ennesimo) che sembrerebbe non avere niente a che fare con il nostro problema.

∫_-∞^+∞...∫_-∞^+∞ e ^{-(x₁2 + x₂2 + ... + x_n2)} dx₁ dx₂ ... dx_n = ∫_-∞^+∞ e ^-x₁2 dx₁ ∫_-∞^+∞ e ^-x₂2 dx₂... ∫_-∞^+∞ e ^-x_n2 dx_n

Pur cambiando variabile, tutti questi integrali sono uguali e devono dare lo stesso risultato, per cui possiamo scrivere che esso è anche uguale a:

(∫_-∞^+∞ e ^-x2 dx)ⁿ

Ma quello all'interno della parentesi è proprio l'integrale di Gauss che abbiamo visto valere √π e ne segue che:

(∫_-∞^+∞ e ^-x2 dx)ⁿ = π^n/2

Tuttavia, lo stesso integrale ennesimo può essere scritto in altro modo, ricordando che l'esponente di e non è altri che il quadrato del raggio di una n-sfera (cambiato di segno). Eseguiamo, allora, una passaggio alle coordinate polari (in questo caso sferiche) ottenendo

∫₀^+∞e ^-r2 Sn(r) dr

Questo passaggio non è banale e richiede un po' di fatica, ma era stato già usato parlando dell'integrale di Gauss. Ora ci basta provarlo per n = 2.

Consideriamo la superficie di una sfera a 2 dimensioni. L'integrale diventa

∫_-∞^+∞e ^{- (x2 + y2)} dx dy =∫₀^+∞e ^{- r2} dr r ∫₀^2πdt = ∫₀^+∞e ^{- r2}  2πr dr= ∫₀^+∞e ^{- r2} S2(r) dr

L'ultimo integrale possiamo scriverlo come:

S2(1)∫₀^+∞e ^{- r2} r dr

Passando alle n dimensioni, abbiamo:

Sn(1)∫₀^+∞e ^{- r2} r^{(n - 1)} dr

Possiamo perciò uguagliare i due risultati ottenuti per lo stesso integrale ennesimo

Sn(1)∫₀^+∞e ^{- r2} r^{(n - 1)} dr = π^n/2

Questa uguaglianza ci mostra che il valore cercato di Sn(1) si può determinare dividendo π^n/2 per l'integrale.

Ancora uno sforzo e calcoliamo il valore di tale integrale

Ci basta fare una sostituzione acconcia:

u = r²

du = 2r dr

r = u^1/2

r^{(n -1)} = u^{(1/2)(n - 1)} = u^{(n/2 - 1)}

∫₀^+∞e ^{- r2} r^{(n - 1)} dr = ∫₀^+∞e^{- u} u^{(n - 1)/2} 1/2  du = 1/2∫₀^+∞e^{- u} u^{(n - 1)/2} du

1/2∫₀^+∞e^{- u} u^{(n - 1)/2} du = 1/2 Γ(n/2)

In pratica, siamo riusciti a costruire la funzione Gamma di Eulero, che è legata ai fattoriali dei numeri reali.

Ne segue che:

Sn(1) = π^n/2/(∫₀^+∞e ^{- r2} r^{(n - 1)} dr) = 2π^n/2/Γ(n/2)

Ricordando che:

Sn(r) = Sn(1) r^(n-1)

Abbiamo, infine, che:

Sn(r) = 2π^n/2 r^(n-1)/Γ(n/2) 

Basta integrare tra 0 e r per ottenere

Vn(r) = 2π^n/2 rⁿ/(n Γ(n/2)) 

Dato che l'unica variabile è r^(n-1)

La funzione Gamma è facilmente calcolabile anche on line, ma è riconducibile ai fattoriali.