Categorie: Matematica Riflessioni
Tags: cavaliere coraggio logica Re
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:12
Non basta il coraggio **
Un giovane cavaliere si è messo in luce per il coraggio mostrato nella battaglia che ha portato finalmente la pace nel regno. Il re vuole premiarlo e gli chiede quale ricompensa vorrebbe ottenere. Il cavaliere non ha dubbi e chiede la mano della bellissima figlia del re. La giovane donna non avrebbe niente in contrario, ma il re è molto esigente e dice chiaramente che non gli basta il coraggio: per la sua figliola ci vuole anche una mente logica e riflessiva. In particolare, il re ama molto la matematica e vorrebbe che lo sposo fosse alla sua altezza. Prospetta, perciò, un quiz al cavaliere. Se supererà la prova gli concederà la mano della figlia.
Chiede alla servitù di radunare una quantità enorme di sassolini (dieci mila...) e dieci sacchi in cui inserirli. Al cavaliere chiede di riempire i sacchi con i sassolini in modo che possa rispondere in non più di due minuti alla sua richiesta. Il cavaliere può mettere, a sua scelta, un numero qualsiasi di sassolini all'interno di ogni sacco, ma non più di mille per sacco. Quando il cavaliere avrà fatto la sua scelta, il re chiederà di consegnargli un certo numero di sassolini, inferiore a 1000, entro due minuti. Vuole anche, però, che il cavaliere non tochi più i sassolini dopo che avrà fatto la sua richiesta.
Il cavaliere pensa a lungo, esegue qualche calcolo, e poi inizia a mettere le pietre nei dieci sacchi. Quando ha finito fa sapere al re di essere pronto alla sfida. Il re si siede sul trono e fa la sua richiesta: "Consegnami in due minuti 562 pietre". Il cavaliere non perde tempo e , entro il termine stabilito, porta davanti al re un certo numero di sacchi. La servitù inizia a contare e conferma che la somma delle pietre consegnata dal cavaliere è proprio uguale a 562.
Il re rimane sorpreso dal risultato, ma vuole ripetere la richiesta per esser sicuro che la risposta così precisa e rapida non sia frutto solo di fortuna. Una volte che i sacchi sono stati nuovamente riempiti come all'inizio, chiede al cavaliere: "Consegnami 879 pietre!". In meno di due minuti il cavaliere pone davanti al re un certo numero di sacchi. Nuovamente le pietre vengono contate e risultano proprio 879! Il re è sempre più sbigottito, ma decide di fare ancora una prova. "Dammi esattamente 291 pietre". Il cavaliere, con un ampio sorriso esegue e, ancora una volta, in meno di 2 minuti, consegna al re esattamente 291 pietre.
Il re ammette l'intelligenza e la capacità logica del cavaliere e, soddisfatto, accetta la sua richiesta e i due giovani possono ottenere quanto sperato, grazie al coraggio ma, soprattutto, alla logica.
Si chiede: "Come è riuscito il cavaliere a ottenere un risultato così perfetto in un tempo così breve?"
12 commenti
Potrebbe fare in questo modo:
Mette nel primo sacco un solo sasso. Nel secondo 2 sassi. Nel terzo 4 sassi e così via, sempre raddoppiando fino al decimo sacco in cui metterà 512 sassi.
Fa la lista dei dieci sacchi e dei rispettivi contenuti mettendoli in ordine crescente.
Quando gli viene chiesto di consegnare N sassi divide N per 2 e valuta il resto.
Se il resto della divisione R è zero non considera il primo sacco della lista. Se invece vale 1 lo mette da parte.
Procede dividendo il quoziente Q per 2 e di nuovo osserva il resto. Mette da parte il secondo sacco solo se il resto vale 1.
Procede allo stesso modo con divisioni successive fino a quando la divisione darà quoziente 0.
Consegna i sacchi che ha messo da parte e che nel loro insieme contengono il numero N di sassi richiesto.
Esempio N=291
Sac. cont. N Q. R. ACCUMULO
1. 1 291÷2. 145. 1. 1. 2. 2 145÷2. 72. 1. 2. 3 4. 72÷2. 36. 0. 4 8 36÷2. 18. 0. 5 16 18÷2. 9. 0. 6. 32 9÷2. 4. 1. 32 7 64. 4÷ 2. 2. 0. 8. 128 2÷2 1. 0. 9 256. 1÷2. 0 1. 256
Totale. 291
Magari così si legge meglio...
Totale 291
caro Mau,
il succo è proprio questo! Siamo di fronte a una successione geometrica. Io l'avrei fatto con le differenze.
Il primo sacco da prendere è quello che ha il numero di sassi subito inferiore a 562. Faccio la differenza e trovo:
562 - 512 = 50 metto da parte il decimo sacco che contiene 512
Faccio lo stesso per 50
50 - 32 = 18 metto da parte il sacco che contiene 32
Idem per 18
18 - 16 = 2 metto da parte il sacco che contiene 16
infine 2 - 2 = 0 prendo anche il sacco con 2 e la somma di questi sacchi è la riposta
512 + 32 + 16 + 2 = 562
In poche parole, la successione geometrica di n termini, permette di comporre tutti i numeri tra 1 e n.
Se prendo, ad esempio, 41 basta mettere insieme 32 + 8 + 1.
Buona idea di fare le differenze. Forse è anche più veloce.
Se il nostro giovane cavaliere avesse saputo usare il sistema binario avrebbe forse fatto ancora prima, o mi sbaglio?
caro Francesco...
prova a fare il calcolo e mettilo nei commenti.
Mi sembra che se metto in fila i sacchi
512 - 256 - 128 - 64 - 32- 16- 8 - 4 - 2 - 1
e trasformo il numero richiesto in binario (ad es 123=0001111011) e prendo i sacchi relativi agli 1 è fatta. Ma mi sbaglierò come al solito...
Invece non sbagli, Francesco..
Se guardi la tabella nel mio secondo commento noterai che la colonna dei resti, che ha intestazione R, è esattamente la conversione in binario del numero decimale. Quindi stiamo dicendo la stessa cosa.
ottimo miei prodi!
Vi propongo una serie così strutturata: "il numero successivo è uguale alla somma dei precedenti + 1"
# sacco
#sassi
1
1
2
2
3
4
4
7
5
14
6
28
7
56
8
112
9
224
10
448
Mi pare funzioni, che ne dite?
Ciao Bastiano.
Nel sacco 4 dovrebbero esserci 8 sassi e non 7. Infatti la somma dei precedenti sacchi vale già 7 e devo aggiungere 1.
I valori successivi vanno quindi modificati.
Si viene così a generare la stessa serie, vista in precedenza, delle potenze di 2.
Il risultato è il medesimo perché
2n-1 + 2n-2 + ... +20 = 2n - 1
Da cui: 2n = 2n-1 + 2n-2 + ... +20 + 1
Ossia la regola che hai proposto.
Vedo che gli esponenti non vengono espressi nel formato apice... Riscrivo per chiarezza:
2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^(0) = 2^(n) - 1
da cui ottengo
2^(n) =2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2^(0) + 1