Questo articolo si collega strettamente al metodo di integrazione per parti, che abbiamo descritto QUI. Potremmo addirittura dire che sono la stessa cosa, tranne il fatto che il metodo DI (Derivata Integrale) riesce a velocizzare la soluzione ed è decisamente meno impegnativo per quanto riguarda la scelta della funzione  di cui si vuole la derivata o l'integrale. Per accorgersi della similitudine consiglio vivamente di andare a (ri)leggersi le basi dell'integrazione per parti che si giustifica attraverso la definizione di derivata del prodotto di funzioni, ossia (f(x)g(x))' = f '(x)g(x) + f(x) g'(x).

Il metodo DI restringe i calcoli all'utilizzo di una tabella piuttosto elementare che permette di ottenere il risultato quasi immediatamente. La costruzione della tabella è molto semplice.

Nella prima colonna si mette il segno che parte dal + e si alterna con il -. Nella seconda colonna si inserisce la funzione di cui si vuole la derivata e nella terza la funzione di cui si vuole l'integrale.

La seconda riga cambia il segno e riporta la derivata della funzione f(x), scelta per questo scopo, e l'integrale della funzione g(x).

Segno      Derivata      Integrale

+                  f(x)                 g(x)

-                  f '(x)              ∫g(x) dx

e via dicendo ...

Come scegliamo la funzione della seconda colonna e quella della terza? Basta seguire le lettere di LIATE, dove

L  = Funzioni logaritmiche

I   = Funzioni trigonometriche inverse

A  = Funzioni algebriche

T = Funzioni trigonometriche

E  = Funzioni esponenziali

La funzione da derivare segue questo ordine. In altre parole, se vi è una funzione logaritmica, la si inserisce nella colonna derivata. Se non compare questo tipo di funzione si inserisce la I. Se manca anche questa si inserisce la A. Se vi sono due funzioni del tipo T e/0 E si possono inserire  a piacere in una o nell'altra colonna.

Teniamo presente che questa regola è piuttosto empirica e potrebbe anche non essere sempre valida. Inoltre, a volte, è necessario qualche aggiustamento iniziale. Nel caso vi fosse una funzione iperbolica  sarebbe da inserire dopo la T, oppure si dovrebbe scrivere sotto la sua forma esponenziale.

Definite queste priorità, non resta che proseguire nelle derivate  della seconda colonna fino a raggiunge lo zero. Contemporaneamente si calcolano gli integrali successivi della terza colonna. Raggiunta le derivata uguale a zero, ci si ferma e si  moltiplica la funzione di partenza, e le sue derivate, per gli integrale della riga successiva fino alla riga precedente la comparsa dello derivata uguale a zero.  Moltiplichiamo ancora ciò che resta nell'ultima riga e facciamone l'integrale.  Si sommano tutti questi prodotti tenendo conto del segno che compare nella riga della derivata .

Basta una semplice figura per illustrare il procedimento.

Se la derivata non si annulla ci si ferma quando capitano due situazioni: o la moltiplicazione dei due termini di una riga corrisponde a un integrale semplice oppure - a parte fattori costanti moltiplicativi- si ottiene nuovamente l'integrale di partenza che può, quindi, essere traferito a primo membro. Notiamo anche che nel caso in cui la derivata si annulla, il prodotto delle funzioni dell'ultima riga vale zero, per cui  è inutile eseguirlo dato che l'integrale corrispondente  può essere solo un costante c, fattore che compare comunque, dato che stiamo eseguendo integrali indefiniti.

Il modo migliore  per impratichirsi del metodo è sicuramente quello di fare qualche esempio per i tre casi possibili. Tutto è più semplice di quanto sembri usando le parole...

(1) Derivata che arriva a zero

∫x³ sin(x) dx

Seguendo le priorità sintetizzate da LIATE, non essendovi funzioni logaritmiche e trigonometriche inverse, la funzione da inserire nella colonna derivata è x³, mentre sin(x) viene inserita nella colonna integrale.

Segno          Derivata       Integrale

+                      x³                sin(x)

-                       3x²           - cos(x)

+                       6x            - sin(x)

-                         6                cos(x)

+                        0                sin(x)

Eseguiamo le moltiplicazioni in diagonale non dimenticando il segno corrispondente

- x³cos(x)

3x² sin(x)

6x cos(x)

- 6 sin(x)

Come detto l'ultima riga dà sempre zero e, quindi, come integrale, una costante.

Sommiamo i vari prodotti e otteniamo il risultato voluto:

∫x³ sin(x) dx = - x³ cos(x) + 3x² sin(x) + 6x cos(x) - 6 sin(x) + c

Come si può notare l'integrale non sarebbe stato proprio immediato, dovendo iterare più volte l'integrazione "classica" per parti.

Si consiglia, comunque, prima di concludere, di verificare gli integrali, partendo dal basso e effettuando le derivate, più facili da ricordare e/o eseguire.

(2)    Integrale risolvibile

∫x² ln(x) dx

Verrebbe subito da pensare di inserire x² come funzione da derivare, ma ci si accorgerebbe che ln(x) nella colonna della funzione da integrare comporterebbe qualcosa di non proprio immediato, per cui, seguendo LIATE, poniamo il logaritmo nella colonna della derivata

S            D             I

+         ln(x)         x²

-           1/x        x³/3

Ci possiamo già fermare, in quanto la moltiplicazione lungo l'ultima riga ci dona un integrale immediato (monomio)

Infatti:

∫(1/x) (x³/3) dx = ∫ x²/3 dx = x³/9 + c

Sommando la prima diagonale con questo integrale otteniamo il risultato cercato

∫x² ln(x) dx = ln(x) (x³/3) - x³/9 + c = 1/9 x³ (3 ln(x) - 1) + c

(3)   Integrale di partenza

∫e^x cos(x) dx

Ci troviamo di fronte un esponenziale e una funzione trigonometrica. La scelta della derivata è del tutto libera. Possiamo tranquillamente scambiare le due funzioni e il risultato sarà lo stesso. Verifichiamo...

S               D               I

+              e^x           cos(x)

-               e^x           sin(x)

+              e^x         - cos(x)

Ci possiamo fermare, dato che abbiamo ottenuto, come integrale dell'ultima riga, proprio l'integrale di partenza, cambiato solo di segno (ossia moltiplicato per un fattore costante). A questo aggiungiamo i prodotti delle due diagonali:

∫e^x cos(x) dx =  e^x sin(x)+ e^x cos(x) -∫e^x cos(x)dx

Portiamo l'integrale dell'ultima riga a primo membro e abbiamo:

2∫e^x cos(x) dx  =  e^x sin(x)+ e^x cos(x)

∫e^x cos(x) dx  = (1/2) e^x(sin(x) + cos(x))

Invertendo l'ordine delle due funzioni avremmo.

S               D                   I

+             cos (x)           e^x

-             - sin(x)           e^x

+            - cos (x)         e^x

che porta allo stesso risultato.

 

Ovviamente, le cose non sono sempre così banali e il tutto va condito con un po' di ragionamento, soprattutto per determinare le due funzioni iniziali.

Prendiamo un esempio in cui bisogna aver ben presente le derivate più importanti  per riconoscere le primitive nella colonna dell'integrale. Ribadiamo che ogni funzione successiva in tale colonna deve avere per derivata la funzione della riga precedente.

∫tan²(x) x dx

Scegliamo come funzione da derivare la x e come funzione da integrare tan²(x)

+            x           tan²(x)

nessun problema per le derivate successive di x

+            x         tan²(x)

-            1                ?

+           0               ?

Dedichiamoci alla seconda colonna. Qual è l'integrale di tan²(x)? Dobbiamo pensare a una funzione che dia proprio tan²(x) come derivata. Scriviamo in altro modo la tan²(x)

tan²(x) = sin²(x)/cos²(x) = (1 - cos²(x))/cos²(x) = 1/cos²(x) - 1

La funzione cercata deve essere composta da due parti, una che dia come derivata 1/cos²(x) e una che dia come derivata 1.  1/cos²(x) è la derivata di tan(x), mentre 1 è la derivata di x, per cui nella seconda riga dobbiamo scrivere

tan(x) - x

Adesso dobbiamo trovare la funzione che abbia come derivata tan(x) - x

Scriviamo tan(x) come sin(x)/cos(x). Quale funzione ha questo rapporto come derivata? Non è difficile arrivarci...

ln(cos(x)) = 1/cos(x)(- sin(x))

Perfetto. Chi ha la derivata uguale a x? banale... x²/2

nella terza riga dobbiamo scrivere

- ln(cos(x)) - x²/2

S               D                  I

+               x             tan²(x)

-                1             tan(x) - x

+               0         - ln(cos(x) - x²/2

Moltiplichiamo secondo le diagonali evitando l'integrale dell'ultima riga in quanto compare uno zero nella colonna delle derivate.

∫tan²(x) x dx = x(tan(x) - x) + ln(cos(x) + x²/2) + c

 

Poco fa abbiamo dato l'integrale di ln(x) come funzione non immediata. Tuttavia, applicando il metodo DI riusciamo a trovarlo facilmente.

∫ln(x)dx

Poniamo come funzione da derivare proprio ln(x). Quale sarà la funzione da integrare? Niente di più facile: 1 ! Infatti per avere come derivata 1 basta considerare la funzione x. La tabella è oltremodo facile:

S              D            I

+            ln(x)       1

-             1/x          x

Possiamo fermarci, dato che il prodotto della seconda riga è un integrale molto facile:

∫x/x dx = x + c.

Per cui:

∫ln(x) dx = ln(x) x - x + c= x(ln(x) - 1) + c

Chi ha buona memoria può anche considerare questo integrale come un integrale fondamentale e usarlo di conseguenza.

 

Come detto precedentemente, a volte la possibilità di usare il metodo DI viene un po' nascosta, trovandosi di fronte a una sola funzione. Ecco un esempio abbastanza indicativo

∫e^√x dx

Poniamo g(x) = t = √x

da cui dt = (1/2) x^-1/2 dx

dx = 2x^1/2 dt = 2t dt

e^√x = e^t

∫e^√x dx = ∫e^t 2t dt

 

+           2t              e^t

-            2               e^t

+           0               e^t

2t e^t - 2e^t

2e^t(t - 1)

sostituendo t con √x

∫e^√x dx = 2 e^√x(√x - 1) + c

Concludiamo questo articolo con un integrale che sembrerebbe essere impossibile integrare per parti e, quindi, con il metodo DI... ma con un po' di ragionamento "si può fare!!".

Provate voi ...

∫ln(x)/(1 + ln(x))² dx

si potrebbe pensare di inserire ln(x) nella colonna derivata e il resto nella colonna integrale. Purtroppo la funzione 1/(1 + ln(x))² non è assolutamente facile. Sarebbe l'ideale se essa contenesse una x a denominatore, ossia 1/(x(1 + ln(x))². In realtà è proprio così, in quanto potremmo fare la sostituzione t = 1 + ln(x)

da cui

dt = 1/x dx

E avremmo:

∫(1/x)(1/(1 + ln(x))² dx = ∫(1/t²) dt = - 1/t

ossia

- 1/t = -1/(1 + ln(x))

Peccato... Ma, un momento perché non cambiare apparentemente l'integrale iniziale? Come? moltiplicando e dividendo per x !

Il che comporterebbe la seguente tabella

+           x ln(x)             1/(x(1 + ln(x))²)

-            ln(x) + 1         -1/(1 + ln(x))

Fermiamoci qui e vediamo cosa capita ...

∫ln(x)/(1 + ln(x))² dx =  - x ln(x)/(1 + ln(x) + ∫ (ln(x) + 1)/(1 + ln(x)) dx = - x ln(x)/(1 + ln(x)) + x + c

che si può ancora semplificare portando tutto allo stesso denominatore

∫ln(x)/(1 + ln(x))² dx = - x ln(x) + x + xln(x)/( 1+ ln(x)) + c = x/(1 + ln(x)) + c